Dirichlet形式(確率論)
概要
Dirichlet形式(確率論)（Dirichlet form）とは、測度空間の上の $L^2$ の稠密な部分空間で定義された非負対称な閉形式 $\mathcal E$ のうち、$u$ を $(0\vee u)\wedge1$ に切り詰めてもエネルギーが増えないものである。閉形式は非正の自己随伴作用素 $L$ と対称な強連続縮小半群 $e^{tL}$ に 1 対 1 に対応し、切り詰めの条件は半群が $0\le f\le1$ を保つことと同値である。典型例は Brown 運動に対応する $\frac12\int\lvert\nabla u\rvert^2\,dx$ である。正則な形式は拡散・跳躍・消滅の 3 項に分解され、対称 Markov 過程を 2 次形式で調べる基礎になる。
Dirichlet 形式（Dirichlet form）は、測度空間 $(X,m)$ の上の $L^2(X;m)$ の閉じた非負対称双線形形式のうち、関数を $0$ と $1$ の間に切り詰めてもエネルギーが増えないものである。代表例は Dirichlet 積分 $\frac12\int\lvert\nabla u\rvert^2\,dx$ で、これは Brown 運動に対応する。
閉形式、非正の自己随伴作用素、対称な強連続縮小半群は互いに 1 対 1 に対応する（thm-dir-correspondence）。切り詰めの条件は、この対応のもとで半群が $0\le f\le1$ を保つこと、すなわち半群が Markov 的であることと同値になる（thm-dir-criterion、Den60 定理 1、p. 266）。こうして対称 Markov 過程の問題を、$L^2$ の 2 次形式の問題に書き直すことができる。形式は生成作用素の定義域より広い空間で意味をもつので、推移確率がなめらかでない場合や、係数が微分できない場合にも扱える。
この記事では、上の 2 つの定理を完全に証明する。有限集合の上では形式を完全に決定し（prop-dir-finite）、平行移動で不変な形式では拡散・跳躍の分解を計算する（ex-dir-levy）。一般の正則な形式の分解（Beurling–Deny の公式、thm-dir-bd-formula）と過程の存在は引用する。過程の側の計算、すなわち形式の定義域の関数に沿う分解は 福島分解 で扱う。
この語は、Gårdingの不等式 で楕円型作用素に付随する形式を呼ぶ「Dirichlet 形式」とは別の概念である。あちらは強圧性を問題にし、こちらは Markov 性を問題にする。
定義
$(X,\mathcal B,m)$ を $\sigma$ 有限な測度空間とし、$H:=L^2(X;m)$（実数値）、内積を $(\cdot,\cdot)$ と書く。$a\vee b:=\max\{a,b\}$、$a\wedge b:=\min\{a,b\}$ とする。
$\mathcal F\subset H$ を稠密な部分空間、$\mathcal E\colon\mathcal F\times\mathcal F\to\mathbb R$ を対称な双線形形式で $\mathcal E(u,u)\ge0$ を満たすものとする。$\alpha>0$ について
$$
\mathcal E_\alpha(u,v):=\mathcal E(u,v)+\alpha(u,v)
$$
とおく。$\mathcal F$ が内積 $\mathcal E_1$ について完備であるとき、$(\mathcal E,\mathcal F)$ は閉形式であるという。
閉形式 $(\mathcal E,\mathcal F)$ が Markov 的であるとは、任意の $u\in\mathcal F$ について $Uu:=(0\vee u)\wedge1\in\mathcal F$ かつ
$$
\mathcal E(Uu,Uu)\le\mathcal E(u,u)
$$
が成り立つことをいう。Markov 的な閉形式を Dirichlet 形式という。
$\varphi\colon\mathbb R\to\mathbb R$ が $\varphi(0)=0$、$\lvert\varphi(a)-\varphi(b)\rvert\le\lvert a-b\rvert$ を満たすとき、$\varphi$ を正規縮小（normal contraction）という。$a\mapsto(0\vee a)\wedge1$ は正規縮小であり、これを単位縮小と呼ぶ。文献によって定義の条件は単位縮小（Ooi25 §2、p. 3）であったり、すべての正規縮小（Den60 定義 5、p. 265）であったりする。閉形式についてはこの 2 つは同値である（thm-dir-criterion）。
$H$ の上の有界線形作用素 $S$ が、$f\in H$、$0\le f\le1$（$m$-a.e.）ならば $0\le Sf\le1$（$m$-a.e.）を満たすとき、$S$ は Markov 的であるという（文献の sub-Markov にあたる。$S1=1$ は要求しない）。$f\ge0$ ならば $Sf\ge0$ であるとき、$S$ は正値性を保つという。
$X$ が有限集合なら $S1$ が意味をもつ。$S$ が Markov 的であることは $S$ の行列の成分が非負で行の和が $1$ 以下であることにあたる。行の和が $1$ より小さい分は、過程が消滅する確率である。
形式・作用素・半群の対応
$(\mathcal E,\mathcal F)$ を閉形式とする。
- 非正の自己随伴作用素 $L$ が一意に存在して、$\mathcal F=D(\sqrt{-L})$、$\mathcal E(u,v)=(\sqrt{-L}\,u,\sqrt{-L}\,v)$ である。とくに $D(L)\subset\mathcal F$ で、$u\in D(L)$、$v\in\mathcal F$ について $\mathcal E(u,v)=(-Lu,v)$ である。
- $G_\alpha:=(\alpha-L)^{-1}$（$\alpha>0$）は、$f\in H$ について $\mathcal E_\alpha(G_\alpha f,v)=(f,v)$（$v\in\mathcal F$）を満たす $\mathcal F$ の唯一の元 $G_\alpha f$ を与える。
- $T_t:=e^{tL}$ を $L$ の生成する対称な縮小半群とする。$u\in H$ について $\frac1t(u-T_tu,u)$ は $t\downarrow0$ で単調に増加し、
$$ \mathcal F=\Bigl\{u\in H:\lim_{t\downarrow0}\tfrac1t(u-T_tu,u)<\infty\Bigr\},\qquad\mathcal E(u,v)=\lim_{t\downarrow0}\tfrac1t(u-T_tu,v) $$
である。 - 逆に、$H$ の上の対称な強連続半群 $T_t$ で $\| T_t\|\le1$ のものの生成作用素は非正の自己随伴作用素であり、3 の式は閉形式を定める。
こうして閉形式、非正の自己随伴作用素、対称な強連続縮小半群は互いに 1 対 1 に対応する。
要点：$(\mathcal F,\mathcal E_1)$ の上の Riesz の表現で $G_1$ を作り、$L:=1-G_1^{-1}$ とおく。$\mathcal F$ と $D(\sqrt{1-L})$ は $D(L)$ の完備化として一致する。残りはスペクトル定理の計算である。
詳しい証明を開く
$G$ の構成。 $\| v\|^2\le\mathcal E_1(v,v)$ なので、$f\in H$ について $v\mapsto(f,v)$ は $(\mathcal F,\mathcal E_1)$ の有界線形汎関数である。Riesz の表現定理により $\mathcal E_1(Gf,v)=(f,v)$（$v\in\mathcal F$）を満たす $Gf\in\mathcal F$ が唯一つある。$\| Gf\|^2\le\mathcal E_1(Gf,Gf)=(f,Gf)\le\| f\|\,\| Gf\|$ から $\| G\|\le1$ である。$(g,Gf)=\mathcal E_1(Gg,Gf)$ は $f,g$ について対称なので $G$ は対称で、$(f,Gf)=\mathcal E_1(Gf,Gf)\ge0$ である。$Gf=0$ なら $(f,v)=0$（$v\in\mathcal F$）で、$\mathcal F$ の稠密性から $f=0$ である。よって $G$ は単射な有界自己随伴作用素で、値域は稠密である（値域の直交補空間は $\ker G=0$）。$G^{-1}$ は自己随伴で、$u=Gf$ について $(G^{-1}u,u)=(f,Gf)=\mathcal E_1(u,u)\ge\| u\|^2$ である。$L:=1-G^{-1}$ とおくと $L$ は非正の自己随伴作用素で、$u=Gf\in D(L)$、$v\in\mathcal F$ について $\mathcal E_1(u,v)=(f,v)=((1-L)u,v)$、すなわち $\mathcal E(u,v)=(-Lu,v)$ である。
定義域の一致。 $v\in\mathcal F$ が $D(L)=GH$ に $\mathcal E_1$ で直交すれば、$(f,v)=\mathcal E_1(Gf,v)=0$（$f\in H$）から $v=0$ である。よって $D(L)$ は $(\mathcal F,\mathcal E_1)$ で稠密である。一方、スペクトル定理により $D(L)$ は $D(\sqrt{1-L})$ でグラフノルムについて稠密である。$u\in D(L)$ で $\mathcal E_1(u,u)=((1-L)u,u)=\|\sqrt{1-L}\,u\|^2$ なので、2 つのノルムは $D(L)$ の上で一致し、どちらも $H$ のノルム以上である。$\mathcal F$ と $D(\sqrt{1-L})$ はともに完備なので、どちらも「このノルムで Cauchy な $D(L)$ の列の $H$ での極限」の全体に等しい。よって $\mathcal F=D(\sqrt{1-L})=D(\sqrt{-L})$ で、$\mathcal E_1(u,u)=\|\sqrt{1-L}\,u\|^2=\|\sqrt{-L}\,u\|^2+\| u\|^2$ である。偏極して 1 の式を得る。一意性：1 の式を満たす $L'$ についても $D(L')$ の上で $\mathcal E(u,v)=(-L'u,v)$ なので、$\mathcal E_1(u,v)=((1-L')u,v)$ となり $(1-L')^{-1}=G$ である。
2。 $\alpha$ についても $u:=(\alpha-L)^{-1}f\in D(L)$ は $\mathcal E_\alpha(u,v)=((\alpha-L)u,v)=(f,v)$ を満たす。$\mathcal E_\alpha$ は $\mathcal F$ の同値な内積なので、この性質をもつ元は唯一つである。
3。 $\sigma_u$ を $-L$ のスペクトル測度 $(E_\lambda u,u)$ とすると $\frac1t(u-T_tu,u)=\int_{[0,\infty)}\frac{1-e^{-\lambda t}}t\,d\sigma_u(\lambda)$ である。$\frac{1-e^{-\lambda t}}t$ は $t\downarrow0$ で $\lambda$ に単調に増加するので、単調収束定理により極限は $\int\lambda\,d\sigma_u(\lambda)$ で、これが有限であることは $u\in D(\sqrt{-L})$ と同値である。$u,v\in\mathcal F$ についての式は偏極による。
4。 生成作用素 $L$ は稠密に定義され、$(T_tu,v)=(u,T_tv)$ を微分して対称である。$(Lu,u)=\lim_{t\downarrow0}\frac1t(T_tu-u,u)\le0$ である。Hille–吉田の定理により $1-L$ は全射なので、対称かつ $\operatorname{ran}(1-L)=H$ から $L$ は自己随伴である（$(1-L)^{-1}$ は単射な有界自己随伴作用素である）。$(\mathcal E,\mathcal F)$ を $\mathcal F:=D(\sqrt{-L})$、$\mathcal E(u,v):=(\sqrt{-L}u,\sqrt{-L}v)$ で定めると、$\sqrt{1-L}$ が閉作用素なので閉形式である。$\square$
$G_\alpha f$ は変分問題の解でもある。$f\in H$ について、$\Phi(v):=\mathcal E(v,v)+\alpha\| v-f/\alpha\|^2$（$v\in\mathcal F$）とおくと、$w:=G_\alpha f$ と $z\in\mathcal F$ について $\Phi(w+z)-\Phi(w)=\mathcal E_\alpha(z,z)$ である。実際、$\Phi(v)=\mathcal E_\alpha(v,v)-2(f,v)+\| f\|^2/\alpha$ で、$\mathcal E_\alpha(w,z)=(f,z)$ である。よって $w$ は $\Phi$ の唯一の最小点である（Den60 p. 262）。次の定理の証明の鍵はこの事実である。
Markov 性の特徴づけ
$S$ を $H$ の上の対称で Markov 的な有界作用素とする。$A_1,\dots,A_n\in\mathcal B$ を互いに素で測度有限な集合、$B:=\bigcup_iA_i$、$u=\sum_ia_i1_{A_i}$ とし、
$$
b_{ij}:=(S1_{A_i},1_{A_j})\ge0,\qquad c_i:=\int_{A_i}(1-S1_B)\,dm\ge0
$$
とおくと、$b_{ij}=b_{ji}$ であり
$$
(u-Su,u)=\sum_ic_ia_i^2+\frac12\sum_{i,j}b_{ij}(a_i-a_j)^2
$$
である。
$0\le1_{A_i}\le1$ と $0\le 1_B\le1$ から $b_{ij}\ge0$、$S1_B\le1$ である。$S1_B=\sum_jS1_{A_j}$ より $m(A_i)=c_i+\sum_jb_{ij}$ である。よって
$$
(u-Su,u)=\sum_ia_i^2m(A_i)-\sum_{i,j}a_ia_jb_{ij}=\sum_ic_ia_i^2+\sum_{i,j}b_{ij}a_i^2-\sum_{i,j}a_ia_jb_{ij}
$$
で、$b_{ij}$ の対称性から $\sum_{i,j}b_{ij}a_i^2=\frac12\sum_{i,j}b_{ij}(a_i^2+a_j^2)$ である。$\square$
$(\mathcal E,\mathcal F)$ を閉形式、$T_t$、$G_\alpha$ を対応する半群とレゾルベントとする。
- 次は同値である：(a) すべての $t>0$ で $T_t$ は正値性を保つ。(b) すべての $\alpha>0$ で $G_\alpha$ は正値性を保つ。(c) $u\in\mathcal F$ なら $\lvert u\rvert\in\mathcal F$ で $\mathcal E(\lvert u\rvert,\lvert u\rvert)\le\mathcal E(u,u)$。
- 次は同値である：(a) すべての $t>0$ で $T_t$ は Markov 的である。(b) すべての $\alpha>0$ で $\alpha G_\alpha$ は Markov 的である。(c) $(\mathcal E,\mathcal F)$ は Dirichlet 形式である。(d) 任意の正規縮小 $\varphi$ と $u\in\mathcal F$ について $\varphi\circ u\in\mathcal F$ で $\mathcal E(\varphi\circ u,\varphi\circ u)\le\mathcal E(u,u)$。
1 の (a)⇒(c)． $T:=T_t$ とする。$u=u^+-u^-$ と書くと $(\lvert u\rvert,T\lvert u\rvert)-(u,Tu)=4(u^+,Tu^-)\ge0$ である。$\|\,\lvert u\rvert\,\|=\| u\|$ なので $(\lvert u\rvert-T\lvert u\rvert,\lvert u\rvert)\le(u-Tu,u)$ である。$t$ で割って $t\downarrow0$ とし、thm-dir-correspondence の 3 を使う。
1 の (c)⇒(b)． $f\ge0$、$w:=G_\alpha f$ とする。$g:=f/\alpha\ge0$ について各点で $\lvert\,\lvert w\rvert-g\rvert\le\lvert w-g\rvert$ なので、(c) と合わせて $\Phi(\lvert w\rvert)\le\Phi(w)$ である。最小点の一意性から $w=\lvert w\rvert\ge0$ である。
1 の (b)⇒(a)． $T_tf=\lim_{n\to\infty}(\tfrac ntG_{n/t})^nf$（強連続半群 の指数公式）で、正値な関数の全体は $H$ で閉じている。
2 の (a)⇒(d)． $T:=T_t$ とする。lem-dir-simple を $S=T$ に当てる。$\varphi\circ u=\sum_i\varphi(a_i)1_{A_i}$ で、$\varphi(a_i)^2\le a_i^2$、$(\varphi(a_i)-\varphi(a_j))^2\le(a_i-a_j)^2$、$c_i,b_{ij}\ge0$ なので、単関数 $u$ について $(\varphi\circ u-T(\varphi\circ u),\varphi\circ u)\le(u-Tu,u)$ である。測度有限な集合の上の単関数は $H$ で稠密で、$\lvert\varphi\circ u-\varphi\circ u_n\rvert\le\lvert u-u_n\rvert$ なので、不等式はすべての $u\in H$ で成り立つ。$u\in\mathcal F$ なら $\frac1t(\varphi\circ u-T_t(\varphi\circ u),\varphi\circ u)\le\frac1t(u-T_tu,u)\le\mathcal E(u,u)$ で、$t\downarrow0$ として thm-dir-correspondence の 3 から結論を得る。
2 の (d)⇒(c)． 単位縮小は正規縮小である。
2 の (c)⇒(b)． $f\in H$、$0\le f\le1$ とし、$w:=G_\alpha(\alpha f)$ は $\Phi(v)=\mathcal E(v,v)+\alpha\| v-f\|^2$ の最小点である。$Uf=f$ で $U$ は 1-Lipschitz なので $\lvert Uw-f\rvert\le\lvert w-f\rvert$ であり、(c) と合わせて $\Phi(Uw)\le\Phi(w)$ である。一意性から $w=Uw$、すなわち $0\le\alpha G_\alpha f\le1$ である。
2 の (b)⇒(a)． 1 の (b)⇒(a) と同じ指数公式による。$[0,1]$ に値をもつ関数の全体は $H$ で閉じている（$H$ の収束列は a.e. 収束する部分列をもつ）。$\square$
Den60 補題 4（p. 265）は (d) から (b)・(a) への向きを変分問題で示し、定理 1（p. 266）は逆向きも含めて対応を述べている。lem-dir-simple の恒等式は、$\mathcal E^{(t)}(u,u):=\frac1t(u-T_tu,u)$ がそれ自身「跳躍と消滅だけからなる」形をしていることを述べている。Dirichlet 形式はこの形の極限である。これが下の Beurling–Deny の公式の背景である。
同じ恒等式から、有界な元の全体は積で閉じていることが分かる。
$(\mathcal E,\mathcal F)$ を Dirichlet 形式とする。$u,v\in\mathcal F\cap L^\infty$ なら $uv\in\mathcal F$ で、
$$
\sqrt{\mathcal E(uv,uv)}\le\| u\|_\infty\sqrt{\mathcal E(v,v)}+\| v\|_\infty\sqrt{\mathcal E(u,u)}
$$
である。
証明を開く
$u=\sum a_i1_{A_i}$、$v=\sum a_i'1_{A_i}$ を共通の分割の単関数とする。$a_ia_i'-a_ja_j'=a_i(a_i'-a_j')+a_j'(a_i-a_j)$ である。lem-dir-simple の右辺は、成分 $\sqrt{c_i}a_i$ と $\sqrt{b_{ij}/2}(a_i-a_j)$ をもつベクトルの長さの 2 乗なので、$\sqrt{(u-Su,u)}=:\lvert u\rvert_S$ は単関数の上で半ノルムであり、ベクトルの成分ごとの評価と三角不等式から $\lvert uv\rvert_S\le\| u\|_\infty\lvert v\rvert_S+\| v\|_\infty\lvert u\rvert_S$ である。一般の $u,v\in\mathcal F\cap L^\infty$ については、$H$ で収束する単関数の列 $u_n\to u$、$v_n\to v$ を $\| u_n\|_\infty\le\| u\|_\infty$、$\| v_n\|_\infty\le\| v\|_\infty$ となるようにとる（切り詰めればよい）。$u_nv_n\to uv$（$H$ で）なので不等式は $S=T_t$ について $u,v$ に延びる。$t$ で割って $t\downarrow0$ とする。$\square$
有限集合の場合
$X$ を有限集合、$m$ を各点で正の測度とする。$\mathcal F$ はすべての関数で、閉性と稠密性は自動的に成り立つ。形式は対称な半正定値行列 $Q$ で $\mathcal E(u,v)=\sum_{x,y}Q_{xy}u(x)v(y)$ と書ける。
$(\mathcal E,\mathcal F)$ が Dirichlet 形式であるためには、$x\ne y$ で $Q_{xy}\le0$、かつ各 $x$ で $\kappa(x):=\sum_yQ_{xy}\ge0$ であることが必要十分である。このとき $b(x,y):=-Q_{xy}$（$x\ne y$）とおくと
$$
\mathcal E(u,u)=\sum_x\kappa(x)u(x)^2+\frac12\sum_{x\ne y}b(x,y)(u(x)-u(y))^2
$$
であり、生成作用素は $Lu(x)=-\frac1{m(x)}\sum_yQ_{xy}u(y)$ である。$L$ は遷移率 $q(x,y)=b(x,y)/m(x)$、消滅率 $\kappa(x)/m(x)$ の連続時間 Markov連鎖 の生成作用素である。
必要性． $x\ne y$、$\varepsilon>0$ とし $u=1_{\{x\}}-\varepsilon1_{\{y\}}$ とおくと $Uu=1_{\{x\}}$ なので $Q_{xx}\le Q_{xx}-2\varepsilon Q_{xy}+\varepsilon^2Q_{yy}$、すなわち $Q_{xy}\le\varepsilon Q_{yy}/2$ である。$\varepsilon\to0$ で $Q_{xy}\le0$ である。また $u=1+\varepsilon1_{\{x\}}$ とおくと $Uu=1$ なので $\mathcal E(1,1)\le\mathcal E(1,1)+2\varepsilon\mathcal E(1,1_{\{x\}})+\varepsilon^2Q_{xx}$ であり、$\varepsilon\to0$ で $\kappa(x)=\mathcal E(1,1_{\{x\}})\ge0$ である。
十分性と表示． 表示の式は展開すれば確かめられる。右辺の各項は単位縮小で増えない。生成作用素の式は $\mathcal E(u,v)=(-Lu,v)$ による。$\square$
Beurling–Deny の公式
ここから $X$ を局所コンパクトで可分な距離空間、$m$ を台が $X$ 全体の正の Radon 測度とする。$\mathcal F\cap C_c(X)$ が $\mathcal E_1$ ノルムで $\mathcal F$ に稠密で、かつ一様ノルムで $C_c(X)$ に稠密であるとき、Dirichlet 形式は正則であるという。容量と準連続な修正 $\tilde u$ の定義は 福島分解 のとおりである（正則な形式では各 $u\in\mathcal F$ が準連続な修正をもつ）。形式が強局所的であるとは、コンパクトな台をもつ $u,v$ で $v$ が $\operatorname{supp}u$ の近傍で定数のとき $\mathcal E(u,v)=0$ となることをいう。
正則な Dirichlet 形式 $(\mathcal E,\mathcal F)$ は、$u,v\in\mathcal F$ について
$$
\mathcal E(u,v)=\mathcal E^{(c)}(u,v)+\iint_{X\times X\setminus d}(\tilde u(x)-\tilde u(y))(\tilde v(x)-\tilde v(y))\,J(dx,dy)+\int_X\tilde u\tilde v\,dk
$$
と書ける。ここで $d$ は対角線、$\mathcal E^{(c)}$ は強局所的で Markov 的な対称形式、$J$ は $X\times X\setminus d$ の上の対称な正の Radon 測度（跳躍測度）、$k$ は $X$ の上の正の Radon 測度（消滅測度）で、$J$、$k$ は容量 $0$ の集合に質量をもたない。3 つ組 $(\mathcal E^{(c)},J,k)$ は $\mathcal E$ から一意に定まる。
この記事では証明しない。主張の形は LY15 (2.1)（p. 3）にあり、確率論的な解釈は CFTYZ04 pp. 5–6 にある。$C_c(X)$ の一様稠密な部分空間の上で単位縮小の作用する正値形式についての分解は All75 定理 1（p. 3）が証明している。同論文の序（p. 1）によれば、分解そのものは Beurling と Deny が証明なしに述べていた。
筋は有限の場合と同じである。台が交わらない $f,g\ge0$ について単位縮小から $\mathcal E(f,g)\le0$ が従う（prop-dir-finite の必要性の議論。All75 p. 2 の (iii)）ので、$(f,g)\mapsto-\mathcal E(f,g)$ は台が交わらない関数の組の上の正の双線形形式であり、対角線の外の Radon 測度を定める。これが $2J$ である（LY15 (2.2)）。$k$ は台の近傍で $1$ になる関数との形式の値の下限から定まり、残りが局所的な部分である。
3 つの項は過程の 3 つの動きに対応する（CFTYZ04 pp. 5–6）。
| 項 | 過程の動き | 有限集合（prop-dir-finite） | ex-dir-levy |
|---|---|---|---|
| $\mathcal E^{(c)}$ | 連続な動き（拡散） | $0$ | $\frac12\int A\nabla u\cdot\nabla u\,dx$ |
| $J$ | 跳躍 | $J(\{(x,y)\})=\frac12b(x,y)$ | $\frac12\nu(dz-x)\,dx$ |
| $k$ | 内部での消滅 | $k(\{x\})=\kappa(x)$ | $0$ |
$J$ の係数の $\frac12$ は、順序対 $(x,y)$ と $(y,x)$ を両方数えることによる。文献によって $J$ の正規化は異なる。
対称 Markov 過程との対応
$X$ の上の Markov 過程の推移関数 $p_t$ が $m$ について対称なら、$p_t$ は $H$ の上の対称で Markov 的な作用素に延びる。これが強連続なら thm-dir-correspondence の 4 と thm-dir-criterion により Dirichlet 形式が定まる。福島分解 の記事はこの形の定義から出発している。$p_t1=1$ の過程では、この形式の値は過程の増分の 2 乗平均の小時間極限 $\mathcal E(u,u)=\lim_{t\downarrow0}\frac1{2t}E_m[(u(X_t)-u(X_0))^2]$ で表される（同記事）。
逆向きは深い定理である。正則な Dirichlet 形式には、それに対応する $m$ 対称な Hunt 過程が存在する（Ooi25 §2、p. 3。この記事では証明しない）。さらに、$X$ が局所コンパクトでない場合にも、擬正則（quasi-regular）な形式の枠組みで対応が拡張されている（CFTYZ04 p. 4）。
例
$X=\mathbb R^d$、$m$ を Lebesgue 測度とする。$A$ を半正定値対称行列、$\nu$ を $\mathbb R^d\setminus\{0\}$ の上の対称な測度で $\int(1\wedge\lvert y\rvert^2)\,\nu(dy)<\infty$ を満たすものとし、
$$
\psi(\xi):=\frac12\xi\cdot A\xi+\int(1-\cos\xi\cdot y)\,\nu(dy)
$$
とおく。$e^{-t\psi}$ を Fourier 変換とする対称な確率測度の族 $\mu_t$ があり、$T_tu=u*\mu_t$ は Markov 的な対称半群である（$\mu_t$ の存在はこの記事では証明しない）。これは対称な Lévy 過程の半群である。Fourier 変換 $\hat u$ を $H$ のユニタリ変換に正規化すると $\widehat{T_tu}=e^{-t\psi}\hat u$ なので、
$$
\frac1t(u-T_tu,u)=\int\frac{1-e^{-t\psi(\xi)}}t\lvert\hat u(\xi)\rvert^2\,d\xi\uparrow\int\psi(\xi)\lvert\hat u(\xi)\rvert^2\,d\xi
$$
である（Den60 補題 3、p. 264）。よって $\mathcal F=\{u\in H:\int\psi\lvert\hat u\rvert^2<\infty\}$、$\mathcal E(u,u)=\int\psi\lvert\hat u\rvert^2\,d\xi$ であり、thm-dir-criterion から Dirichlet 形式である。
Plancherelの定理により $\int\lvert u(x+y)-u(x)\rvert^2\,dx=2\int(1-\cos\xi\cdot y)\lvert\hat u(\xi)\rvert^2\,d\xi$ なので、Tonelli の定理から $u\in C_c^\infty(\mathbb R^d)$ について
$$
\mathcal E(u,u)=\frac12\int A\nabla u\cdot\nabla u\,dx+\frac12\iint(u(x+y)-u(x))^2\,\nu(dy)\,dx
$$
である。これは thm-dir-bd-formula の分解そのもので、$k=0$ である。
- $A=I$、$\nu=0$：$\mathcal F=H^1(\mathbb R^d)$、$\mathcal E(u,u)=\frac12\int\lvert\nabla u\rvert^2\,dx$、$L=\frac12\Delta$ で、過程は Brown運動 である。
- $A=0$、$\nu(dy)=c\lvert y\rvert^{-d-\alpha}dy$（$0<\alpha<2$）：$\psi(\xi)=c'\lvert\xi\rvert^\alpha$、$\mathcal F=H^{\alpha/2}(\mathbb R^d)$ で、過程は対称 $\alpha$ 安定過程である。
$\Omega\subset\mathbb R^d$ を有界領域とし、$H=L^2(\Omega)$、$\mathcal E(u,v)=\frac12\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx$ とする。$\mathcal F=H^1_0(\Omega)$ でも $\mathcal F=H^1(\Omega)$ でも閉形式で、$Uu=u^+-(u-1)^+$ と Sobolev空間の連鎖律 から $\lvert\nabla Uu\rvert\le\lvert\nabla u\rvert$（a.e.）なので Dirichlet 形式である。生成作用素はそれぞれ Dirichlet 条件、Neumann 条件の $\frac12\Delta$ である。過程は前者では境界で消滅する Brown 運動、後者では（境界がなめらかなら）反射壁 Brown 運動である（過程との対応はこの記事では証明しない）。形式を指定するとは式だけでなく定義域を指定することであり、境界条件は定義域に入っている。
$(\mathcal E,\mathcal F)$ を Dirichlet 形式、$V\ge0$ を有界可測関数とすると、$\mathcal E^V(u,v):=\mathcal E(u,v)+\int Vuv\,dm$ は $\mathcal F$ の上の Dirichlet 形式である（$\lvert Uu\rvert\le\lvert u\rvert$）。生成作用素は $L-V$ である。一般の測度 $k$ を足した形式と過程の消滅の関係は 加法的汎関数 で扱う。
反例
prop-dir-finite の行列では $X=\{1,2\}$、$m=(1,1)$ とする。
| 破る条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 閉であること | $\mathcal F=C_c(\mathbb R)\subset L^2(\mathbb R)$、$\mathcal E(u,u)=u(0)^2$ | 単位縮小では増えないが、閉形式に延びず、対応する半群がない |
| 非対角成分 $\le0$ | $Q_{11}=Q_{22}=1$、$Q_{12}=\frac12$ | $\mathcal E(\lvert u\rvert,\lvert u\rvert)\le\mathcal E(u,u)$ が破れ、$T_t$ は正値性を保たない |
| 行の和 $\ge0$ | $Q_{11}=1$、$Q_{22}=5$、$Q_{12}=-2$ | 正値性は保つが、$T_t$ は $1$ を超える値を作り、Markov 的でない |
| 定義域が切り詰めで閉じること | $\mathcal F=H^2(\mathbb R)$、$\mathcal E(u,u)=\int\lvert u''\rvert^2\,dx$ | 閉形式だが $Uu\notin\mathcal F$ となる $u$ があり、Markov 的でない |
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1 行目：$\mathcal F$ は稠密で、$\mathcal E$ は非負対称で、$(Uu)(0)^2\le u(0)^2$、$Uu\in\mathcal F$ である。閉形式への延長がないこと：$u_n\in C_c(\mathbb R)$ を $u_n(0)=1$、$\| u_n\|\to0$ となるようにとると $\mathcal E(u_n-u_m,u_n-u_m)=0$ で、$(u_n)$ は $\mathcal E_1$ で Cauchy である。$\mathcal E$ の閉形式 $\bar{\mathcal E}$ への延長があれば極限は $0$ で、$\bar{\mathcal E}(u_n,u_n)\to0$ となるが、$\mathcal E(u_n,u_n)=1$ である。
2 行目：$Q$ は固有値 $3/2,1/2$ をもち正定値である。$u=(1,-1)$ で $\mathcal E(u,u)=1$、$\mathcal E(\lvert u\rvert,\lvert u\rvert)=3$ である。thm-dir-criterion の 1 により正値性が破れる。実際 $T_t=e^{-tQ}$ の非対角成分は $-\frac t2+O(t^2)<0$ である。
3 行目：$Q$ の行列式は $1$、跡は $6$ で正定値である。非対角成分は負なので $T_t$ の成分は非負である（$e^{-tQ}=e^{-5t}e^{t(5-Q)}$、$5-Q$ の成分は非負）。第 1 行の和は $-1$ である。$u=(2,1)$ で $Uu=(1,1)$、$\mathcal E(u,u)=1$、$\mathcal E(Uu,Uu)=2$ である。$T_t1$ の第 1 成分は $1+t+O(t^2)>1$ である。
4 行目：Fourier 変換で $\mathcal E(u,u)=\int\lvert\xi\rvert^4\lvert\hat u\rvert^2\,d\xi$ となり閉形式である。$u\in C_c^\infty(\mathbb R)$ を $(-\frac12,\frac12)$ の上で $u(x)=x+1$ となるようにとる。$Uu$ は $x<0$ の近くで $x+1$、$x>0$ の近くで $1$ なので、導関数が $0$ で跳び、$Uu\notin H^2(\mathbb R)$ である。2 階微分を含む形式は、局所的でも Markov 的にならない。
関連項目
- 前提: 自己随伴作用素, 強連続半群, Hille–吉田の定理, Markov連鎖
- 比較: Gårdingの不等式, 容量(ポテンシャル論)
- 直後に読む: 加法的汎関数, 福島分解
- 関連: Brown運動, Laplace作用素
参考文献
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