内測度

同義語：Lebesgue内測度inner measureLebesgue inner measure

概要

前提知識: Lebesgue測度, 外測度, 上限と下限

Lebesgue 外測度 $\lambda^*(E)$ は、集合 $E$ を外側から可算個の開区間で覆い、その長さの和の下限として $E$ の大きさを測る。これと対になるのが、$E$ の内側に入る可測集合の測度の上限として測る内測度（inner measure）$\lambda_*(E)$ である。外側から測った値と内側から測った値は、可測でない集合では一致しないことがあり、外測度が有限な集合については「Lebesgue 可測である」ことと「内測度と外測度が等しい」ことが同値になる。可測性の定義（Carathéodory の条件）は抽象的だが、内測度を使うと「内側からも外側からも同じ大きさに測れる」という直観的な言い換えが得られる。
内測度はすべての部分集合に定まるが、測度ではない。互いに交わらない集合について、和の内測度は内測度の和以上になる（優加法的）が、等しいとは限らない。この記事では、内測度の定義と表し方、可測性の判定、外測度による表示、優加法性を証明し、Vitali 集合と Jordan 内測度との比較を例として扱う。

定義

以下、$\lambda^*$ は $\mathbb{R}$ の Lebesgue 外測度、$\mathcal{L}$ は Lebesgue 可測集合全体、$\lambda=\lambda^*|_{\mathcal{L}}$ は Lebesgue 測度とし（Lebesgue測度の定義「外測度」「Lebesgue可測集合とLebesgue測度」）、「可測」は Lebesgue 可測を意味する。値は $[0,\infty]$ にとり、$\infty$ を含む大小と和は通常どおりに扱う。

内測度

$E\subset\mathbb{R}$ に対し
$$ \lambda_*(E):=\sup\{\lambda(A)\mid A\in\mathcal{L},\ A\subset E\}\in[0,\infty] $$
を $E$ の Lebesgue 内測度（Lebesgue inner measure）、または単に内測度という。$\emptyset\subset E$ なので上限をとる集合は空でない。

外測度も、可測集合を使って同じ形に書ける。$E\subset A$、$A\in\mathcal{L}$ なら外測度の単調性から $\lambda^*(E)\le\lambda(A)$ である。逆に $E$ の開区間による被覆 $(I_k)$ の和 $U=\bigcup_kI_k$ は可測な開集合で、$\lambda(U)\le\sum_k\ell(I_k)$ である。したがって
$$ \lambda^*(E)=\inf\{\lambda(A)\mid A\in\mathcal{L},\ E\subset A\} $$
であり、内測度はこの式の「外から」を「内から」に、下限を上限に替えたものである（下の prop-inm-representation で詳しく示す）。

区間・有理数・無理数

可測集合 $E$ では $E$ 自身が上限をとる集合に入り、そこに入る $A$ は $\lambda(A)\le\lambda(E)$ を満たすので、$\lambda_*(E)=\lambda(E)=\lambda^*(E)$ である。たとえば $\lambda_*([0,1])=1$、$\lambda_*(\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$、$\lambda_*([0,1]\setminus\mathbb{Q})=1$ である（$\mathbb{Q}$ は可算なので零集合であり、$[0,1]\setminus\mathbb{Q}$ は可測で測度 $1$ である。Lebesgue測度の例「区間・有理数・無理数・Cantor集合」）。

内測度と外測度の表し方

任意の $E\subset\mathbb{R}$ について
$$ \begin{aligned} \lambda_*(E)&=\sup\{\lambda(B)\mid B\subset E,\ B\text{ は Borel 集合}\}=\sup\{\lambda(K)\mid K\subset E,\ K\text{ はコンパクト}\},\\ \lambda^*(E)&=\inf\{\lambda(A)\mid A\in\mathcal{L},\ E\subset A\}=\inf\{\lambda(B)\mid E\subset B,\ B\text{ は Borel 集合}\}=\inf\{\lambda(U)\mid E\subset U,\ U\text{ は開集合}\} \end{aligned} $$
が成り立つ。特に $\lambda_*(E)\le\lambda^*(E)$ である。

包含の順に上限・下限を比べる

要点：コンパクト集合・Borel 集合・可測集合の順に範囲が広がるので、上限・下限の間には一方向の不等式がある。逆向きは、内側は可測集合のコンパクト集合による近似、外側は開区間の被覆の和が開集合であることによる。

詳しい証明を開く

内測度。コンパクト集合は閉集合なので Borel 集合であり、Borel 集合は可測である（Lebesgue測度の命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」）。上限をとる範囲は、コンパクト集合・Borel 集合・可測集合の順に広がるので、上限もこの順に大きくなり、最後は $\lambda_*(E)$ である。逆に、$A\in\mathcal{L}$、$A\subset E$ とすると、Lebesgue測度の命題「コンパクト集合による内側からの近似」により $\lambda(A)$ は $A$ に含まれるコンパクト集合の測度の上限であり、それらは $E$ にも含まれる。よってコンパクト集合についての上限は $\lambda(A)$ 以上であり、$A$ について上限をとると $\lambda_*(E)$ 以上である。3 つの上限はすべて等しい。

外測度。$A\in\mathcal{L}$、$E\subset A$ なら、外測度の単調性（Lebesgue測度の命題「単調性と平行移動・拡大」の 1）により $\lambda^*(E)\le\lambda^*(A)=\lambda(A)$ である。下限をとる範囲は、開集合・Borel 集合・可測集合の順に広がるので、

$$\lambda^*(E)\le\inf_{A\in\mathcal{L}}\lambda(A)\le\inf_{B\text{ Borel}}\lambda(B)\le\inf_{U\text{ 開}}\lambda(U)$$

である（いずれも $E$ を含むものについての下限）。逆に、$(I_k)$ を $E$ を覆う開区間の列とすると、$U:=\bigcup_kI_k$ は $E$ を含む開集合であり、測度の可算劣加法性と区間の測度が長さであることから $\lambda(U)\le\sum_k\lambda(I_k)=\sum_k\ell(I_k)$ である。被覆について下限をとると、開集合についての下限は $\lambda^*(E)$ 以下である。よって 4 つの量はすべて等しい。

最後の不等式。$A\subset E\subset A'$（$A,A'\in\mathcal{L}$）なら $\lambda(A)\le\lambda(A')$ なので、上限と下限をとって $\lambda_*(E)\le\lambda^*(E)$ である。$\square$

上限・下限は実際に達成される。次の命題の $F$ を $E$ の可測核、$G$ を可測包という。

可測核と可測包

任意の $E\subset\mathbb{R}$ について、Borel 集合 $F$、$G$ で
$$ F\subset E\subset G,\qquad\lambda(F)=\lambda_*(E),\qquad\lambda(G)=\lambda^*(E) $$
となるものがある。$F$ はコンパクト集合の可算和、$G$ は開集合の可算個の共通部分としてとれる。

近似列の和と共通部分

prop-inm-representation により、各 $k\ge1$ についてコンパクト集合 $K_k\subset E$ で $\lambda(K_k)\ge\min\{\lambda_*(E)-\frac1k,\,k\}$ となるもの、開集合 $U_k\supset E$ で $\lambda(U_k)\le\lambda^*(E)+\frac1k$ となるものがとれる（$\lambda^*(E)=\infty$ なら $U_k:=\mathbb{R}$ とする）。$k$ ごとに 1 つずつ選ぶので、可算選択公理を使う。$F:=\bigcup_kK_k$、$G:=\bigcap_kU_k$ とおくと、どちらも Borel 集合で $F\subset E\subset G$ である。$F$ は $E$ に含まれる可測集合なので $\lambda(F)\le\lambda_*(E)$ であり、すべての $k$ で $\lambda(F)\ge\lambda(K_k)$ なので $\lambda(F)\ge\lambda_*(E)$ である。同様に $\lambda^*(E)\le\lambda(G)\le\lambda(U_k)\le\lambda^*(E)+\frac1k$ から $\lambda(G)=\lambda^*(E)$ である。$\square$

内測度は外測度と同じく、平行移動で変わらず、$c\neq0$ 倍の拡大で $\lvert c\rvert$ 倍になる：$\lambda_*(E+t)=\lambda_*(E)$、$\lambda_*(cE)=\lvert c\rvert\lambda_*(E)$。$A\mapsto A+t$、$A\mapsto cA$ は $E$ に含まれる可測集合と $E+t$、$cE$ に含まれる可測集合を 1 対 1 に対応させ、測度をそれぞれ $1$ 倍、$\lvert c\rvert$ 倍するからである（Lebesgue測度の命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」の 2）。

可測性の判定

内測度の最も重要な性質は、可測性を内外の一致で言い換えられることである。

内測度と外測度による可測性の判定

$E\subset\mathbb{R}$ が $\lambda^*(E)<\infty$ を満たすとする。このとき、$E$ が Lebesgue 可測であるための必要十分条件は $\lambda_*(E)=\lambda^*(E)$ である。

可測核と可測包の差は零集合

$E$ が可測なら、ex-inm-basic のとおり $\lambda_*(E)=\lambda(E)=\lambda^*(E)$ である。
逆に $\lambda_*(E)=\lambda^*(E)<\infty$ とする。prop-inm-kernel-hull の $F\subset E\subset G$ をとると、$\lambda(F)=\lambda(G)<\infty$ である。$F\subset G$ はどちらも可測で $\lambda(F)<\infty$ なので、
$$ \lambda(G\setminus F)=\lambda(G)-\lambda(F)=0 $$
である（Lebesgue測度の命題「測度の単調性と連続性」の 1）。$E\setminus F\subset G\setminus F$ なので $\lambda^*(E\setminus F)=0$ であり、外測度 $0$ の集合は可測である（Lebesgue測度の定理「Carathéodoryの定理」）。よって $E=F\cup(E\setminus F)$ は可測集合 2 つの和として可測である。$\square$

証明から、外測度が有限な集合 $E$ が可測なら、$E$ はコンパクト集合の可算和 $F$ と零集合 $E\setminus F$ の和に分かれることも分かる。仮定 $\lambda^*(E)<\infty$ は外せない（ex-inm-table の 1 行目）。外測度が無限大の集合には、有界な部分ごとに判定を当てればよい。

有界な部分ごとの判定

$E\subset\mathbb{R}$ が Lebesgue 可測であるための必要十分条件は、すべての $m\ge1$ について $\lambda_*(E\cap[-m,m])=\lambda^*(E\cap[-m,m])$ が成り立つことである。

$E$ が可測なら $E\cap[-m,m]$ も可測なので、ex-inm-basic により等式が成り立つ。逆に等式が成り立てば、$\lambda^*(E\cap[-m,m])\le2m<\infty$ なので thm-inm-criterion により $E\cap[-m,m]$ はすべて可測であり、その可算和 $E$ も可測である。$\square$

外測度による表示

有限な測度の可測集合の中では、内測度は補集合の外測度で書ける。

補集合の外測度による表示

$A\in\mathcal{L}$、$\lambda(A)<\infty$、$E\subset A$ とする。このとき
$$ \lambda_*(E)=\lambda(A)-\lambda^*(A\setminus E) $$
である。

両側から押さえる

$B\in\mathcal{L}$、$B\subset E$ とする。$A\setminus B$ は可測で $A\setminus E$ を含むので、$\lambda^*(A\setminus E)\le\lambda(A\setminus B)=\lambda(A)-\lambda(B)$ である。よって $\lambda(B)\le\lambda(A)-\lambda^*(A\setminus E)$ であり、$B$ について上限をとると左辺 $\le$ 右辺である。
逆に、prop-inm-kernel-hull により可測集合 $H\supset A\setminus E$ で $\lambda(H)=\lambda^*(A\setminus E)$ となるものをとる。$A\setminus H$ は可測であり、$x\in A$、$x\notin H$ なら $x\notin A\setminus E$ なので $x\in E$、すなわち $A\setminus H\subset E$ である。$A\subset(A\setminus H)\cup H$ から $\lambda(A)\le\lambda(A\setminus H)+\lambda(H)$ なので
$$ \lambda_*(E)\ge\lambda(A\setminus H)\ge\lambda(A)-\lambda^*(A\setminus E) $$
である。$\square$

$A$ として $E$ を含む有界な区間をとれば、内測度は外測度だけから
$$ \lambda_*(E)=(c-b)-\lambda^*\bigl((b,c)\setminus E\bigr)\qquad(E\subset(b,c)) $$
と計算できる。Tao11 Exercise 1.2.18（p. 40）は、$\mathbb{R}^d$ の有界な集合について、この右辺の形（区間の代わりに基本集合を使う）を内測度の定義として採っている。

外測度だけによる可測性の判定

$b< c$ とし、$E\subset(b,c)$ とする。$E$ が Lebesgue 可測であるための必要十分条件は
$$ \lambda^*(E)+\lambda^*\bigl((b,c)\setminus E\bigr)=c-b $$
である。

prop-inm-complement（$A=(b,c)$）により、左辺は $\lambda^*(E)+(c-b)-\lambda_*(E)$ に等しい。よって条件は $\lambda^*(E)=\lambda_*(E)$ と同値であり、$\lambda^*(E)\le c-b<\infty$ なので、thm-inm-criterion によりこれは $E$ の可測性と同値である。$\square$

Carathéodory の条件は、調べる集合 $E$ で任意の集合を 2 つに切ったとき外測度が足し算になることを要求する。この系は、有界な $E$ については、$E$ を含む 1 つの区間 $(b,c)$ を $E$ で切ったとき（2 片は $E$ と $(b,c)\setminus E$）だけ確かめればよいことを示している。

優加法性

外測度は可算劣加法的である。内測度は逆向きの不等式を満たす。

内測度の優加法性と外測度との不等式

$E_1,E_2,\dots\subset\mathbb{R}$ が互いに交わらなければ、$\displaystyle\lambda_*\Bigl(\bigcup_kE_k\Bigr)\ge\sum_k\lambda_*(E_k)$ である。
任意の $E,F\subset\mathbb{R}$ について $\lambda_*(E\cup F)\le\lambda_*(E)+\lambda^*(F)$ である。
$E,F\subset\mathbb{R}$ が交わらなければ、$\lambda_*(E)+\lambda^*(F)\le\lambda^*(E\cup F)$ である。
したがって、交わらない $E,F$ について
$$ \lambda_*(E)+\lambda_*(F)\le\lambda_*(E\cup F)\le\lambda_*(E)+\lambda^*(F)\le\lambda^*(E\cup F)\le\lambda^*(E)+\lambda^*(F) $$
が成り立つ。

可測核と可測包を組み合わせる

要点：1 は可測核の和、2 は $F$ の可測包を $B$ から除くこと、3 は $E\cup F$ の可測包から $E$ の可測核を除くと $F$ を含むことによる。

詳しい証明を開く

1. prop-inm-kernel-hull により可測集合 $F_k\subset E_k$ で $\lambda(F_k)=\lambda_*(E_k)$ となるものをとる。$F_k$ は互いに交わらない可測集合で、和は $\bigcup_kE_k$ に含まれるので、可算加法性から $\lambda_*\bigl(\bigcup_kE_k\bigr)\ge\lambda\bigl(\bigcup_kF_k\bigr)=\sum_k\lambda_*(E_k)$ である。

2. 可測集合 $H\supset F$ で $\lambda(H)=\lambda^*(F)$ となるものをとる。$B\in\mathcal{L}$、$B\subset E\cup F$ とすると、$B\setminus H$ は可測で $E$ に含まれる（$F\subset H$ だから）。$B\subset(B\setminus H)\cup H$ なので $\lambda(B)\le\lambda(B\setminus H)+\lambda(H)\le\lambda_*(E)+\lambda^*(F)$ である。$B$ について上限をとればよい。

3. 可測集合 $G\supset E\cup F$ で $\lambda(G)=\lambda^*(E\cup F)$ となるもの、可測集合 $K\subset E$ で $\lambda(K)=\lambda_*(E)$ となるものをとる。$F\subset G$ で、$F$ は $E\supset K$ と交わらないので $F\subset G\setminus K$ である。$K\subset G$ なので $\lambda(G)=\lambda(K)+\lambda(G\setminus K)\ge\lambda_*(E)+\lambda^*(F)$ である。最後の連鎖の両端の不等式は 1 と外測度の劣加法性である。$\square$

1 の不等号は等号になるとは限らない（ex-inm-vitali）。したがって内測度は $\mathbb{R}$ のすべての部分集合の上の測度ではない。一方、可測集合の上では内測度も外測度も $\lambda$ に一致し、可算加法的である。

例：Vitali 集合

Vitali 集合は、内測度と外測度が異なる集合の代表例である。$V$ を $(0,1]$ に含まれる Vitali 集合、すなわち $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ の代表系とする（Vitali集合の定義「Vitali集合」。存在には選択公理を使う）。$\mathbb{R}$ は互いに交わらない $V+q$（$q\in\mathbb{Q}$）の和である。

Vitali 集合の内測度と外測度

$\lambda_*(V)=0$ かつ $\lambda^*(V)>0$ である。さらに $(0,1]\setminus V$ について
$$ \lambda_*(V)+\lambda_*\bigl((0,1]\setminus V\bigr)=1-\lambda^*(V)<1=\lambda_*\bigl((0,1]\bigr) $$
であり、内測度は交わらない 2 つの集合についても加法的でない。同じく $\lambda^*(V)+\lambda^*\bigl((0,1]\setminus V\bigr)=1+\lambda^*(V)>1$ であり、外測度も加法的でない。
確かめ：$A\in\mathcal{L}$、$A\subset V$ とする。$q\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$ について $A+q\subset(0,2]$ であり、これらは $V+q$ に含まれるので互いに交わらず、測度はすべて $\lambda(A)$ に等しい。可算無限個の $q$ について和をとると $\sum_q\lambda(A)\le\lambda((0,2])=2$ なので $\lambda(A)=0$ であり、$\lambda_*(V)=0$ である。また $x\in(0,1]$ は $x=v+q$（$v\in V$、$q\in\mathbb{Q}$）と書け、$v\in(0,1]$ なので $q\in(-1,1)$ である。よって $(0,1]\subset\bigcup_{q\in\mathbb{Q}\cap(-1,1)}(V+q)$ であり、外測度の可算劣加法性と平行移動不変性（Lebesgue測度の定理「外測度の可算劣加法性」、命題「単調性と平行移動・拡大」）から $1\le\sum_q\lambda^*(V)$ となるので、$\lambda^*(V)>0$ である。等式は prop-inm-complement（$A=(0,1]$）から $\lambda_*((0,1]\setminus V)=1-\lambda^*(V)$、$\lambda^*((0,1]\setminus V)=1-\lambda_*(V)=1$ を得て代入すればよい（2 つ目は、$(0,1]\setminus V$ の補集合が $V$ であることから、同じ命題を $E=V$ に当てた式による）。

$\lambda^*(V)$ の値は代表の選び方による。Vitali集合の定理「内測度0・外測度最大の集合」は、選択公理を使って、どの可測集合 $A$ についても $\lambda_*(D\cap A)=0$、$\lambda^*(D\cap A)=\lambda(A)$ となる集合 $D$ を作っている。内測度と外測度の差が最大になる例である（GO03 第 8 章 Example 12、p. 94）。

Jordan 内測度との比較

Jordan測度は、有界な集合を有限個の区間の和（基本集合）で内側と外側から近似する。$\mathbb{R}$ の有界な集合 $E$ の Jordan 内測度 $m_*(E)$ と Jordan 外測度 $m^*(E)$ は、$E$ に含まれる基本集合、$E$ を含む基本集合の長さの上限・下限である（Jordan測度の定義「Jordan測度」の $d=1$ の場合）。Lebesgue の内測度・外測度は、近似に使う集合を基本集合から可測集合に広げたものである。

Jordan 内測度・外測度との大小

$\mathbb{R}$ の有界な集合 $E$ について
$$ m_*(E)\le\lambda_*(E)\le\lambda^*(E)\le m^*(E) $$
である。特に、$E$ が Jordan 可測なら $E$ は Lebesgue 可測で、$\lambda(E)$ は Jordan 測度に等しい。

基本集合は可測集合である

基本集合 $A$ は有限個の区間の和なので可測であり、互いに交わらない区間の和に分けると $\lambda(A)$ は区間の長さの和、すなわち基本集合の長さ $m(A)$ に等しい。$E$ に含まれる基本集合は $E$ に含まれる可測集合なので $m_*(E)\le\lambda_*(E)$ であり、$E$ を含む基本集合 $B$ については $\lambda^*(E)\le\lambda(B)=m(B)$ なので $\lambda^*(E)\le m^*(E)$ である。中央の不等式は prop-inm-representation である。$E$ が Jordan 可測なら両端が等しく有限なので 4 つの値はすべて等しく、thm-inm-criterion により $E$ は Lebesgue 可測で $\lambda(E)=\lambda_*(E)=m_*(E)$ である。$\square$

最後の主張は Jordan測度の定理「Lebesgue測度による判定」の 2 と同じ内容で、ここでは内測度を使って別に示した。各値の違いは次の表のとおりである。

集合 $E$	$m_*(E)$	$\lambda_*(E)$	$\lambda^*(E)$	$m^*(E)$
$[0,1]$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\mathbb{Q}\cap[0,1]$	$0$	$0$	$0$	$1$
$[0,1]\setminus\mathbb{Q}$	$0$	$1$	$1$	$1$
Cantor 集合	$0$	$0$	$0$	$0$
Vitali 集合 $V\subset(0,1]$	$0$	$0$	$\lambda^*(V)>0$	$\lambda^*(V)$ 以上

表の値の確かめ

長さが正の区間はどれも有理数と無理数の両方を含むので、$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ も $[0,1]\setminus\mathbb{Q}$ も長さが正の区間を含まない。$V$ も長さが正の区間 $I$ を含まない。含むとすると、$x\in I$ と $0$ でない有理数 $q$ で $x+q\in I$ となるものがとれ、$x$ と $x+q$ は差が有理数の $V$ の 2 点になって代表系であることに反する。したがって、これらの集合に含まれる基本集合は有限個の点からなり、Jordan 内測度は $0$ である。$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ を含む基本集合 $B$ について、$[0,1]\setminus B$ は有限個の区間の和で有理数を含まないので有限集合であり、$m(B)\ge1$ となる。$\lambda_*$ と $\lambda^*$ の値は ex-inm-basic と ex-inm-vitali、Cantor 集合の値は Lebesgue測度の例「区間・有理数・無理数・Cantor集合」（長さ $3^{-n}$ の閉区間 $2^n$ 個で覆えるので、Jordan 外測度も $(2/3)^n$ 以下である）による。

$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ では Jordan の内外が食い違うが、Lebesgue の内外は一致する。可算個の集合で近似することを許すと、Jordan 可測でない集合の多くが可測になる。Vitali 集合は、可算個で近似しても内外が一致しない集合である。

反例：期待しがちな含意

期待しがちな含意	反例	成り立たなくなること
内測度と外測度が等しければ可測（外測度が $\infty$ でもよい）	$V\cup[2,\infty)$	内外とも $\infty$ だが可測でない
内測度が $0$ の集合は零集合である	Vitali 集合 $V$	$\lambda_(V)=0$ だが $\lambda^(V)>0$
内測度は交わらない 2 集合について加法的	$V$ と $(0,1]\setminus V$	和の内測度 $1$ が内測度の和 $1-\lambda^*(V)$ より大きい
内測度は Jordan 内測度に等しい	$[0,1]\setminus\mathbb{Q}$	Jordan 内測度 $0$、内測度 $1$

表の反例の確かめ

1 行目：$E:=V\cup[2,\infty)$ は $[2,\infty)$ を含むので $\lambda_*(E)\ge\lambda([2,\infty))=\infty$ であり、$\lambda_*(E)=\lambda^*(E)=\infty$ である。$E$ が可測なら $E\cap(0,1]=V$ も可測になるが、$V$ は可測でない（ex-inm-vitali と thm-inm-criterion。$\lambda_*(V)\ne\lambda^*(V)$ で $\lambda^*(V)\le1$）。よって thm-inm-criterion の仮定 $\lambda^*(E)<\infty$ は外せない。2・3 行目は ex-inm-vitali、4 行目は ex-inm-jordan-table である。

補足

一般の測度空間

測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ でも、$E\subset X$ について $\mu_*(E):=\sup\{\mu(A)\mid A\in\mathcal{F},\ A\subset E\}$、$\mu^*(E):=\inf\{\mu(A)\mid A\in\mathcal{F},\ E\subset A\}$ と定めることができる。prop-inm-kernel-hull（可測核・可測包）と prop-inm-complement は、コンパクト集合・開集合の代わりに $\mathcal{F}$ の元の近似列をとり、その和と共通部分を考える同じ証明で成り立つ（prop-inm-complement では $\mu(A)<\infty$ を仮定する）。thm-inm-criterion の証明は、さらに「$\mu^*$ が $0$ の集合は $\mathcal{F}$ に属する」（測度が完備である）ことを使っている。完備でない測度、たとえば Borel 集合全体の上の Lebesgue 測度では、内外が一致しても $\mathcal{F}$ に属するとは限らない（Cantor 集合の部分集合で Borel でないものは、内外とも $0$ である。Lebesgue測度の命題「Borel集合でないLebesgue可測集合」）。

出典

内測度の定義と、prop-inm-representation の Borel 集合・コンパクト集合・開集合による表し方は GO03 第 8 章の冒頭（pp. 84–85）にある（同書は証明を他の文献に委ねている）。コンパクト集合（閉有界集合）による定義で可測集合では内外が一致すること、内測度がすべての部分集合の上の測度でないことは Axl26 Exercises 2D の 24（p. 61）、cor-inm-outer-only は同じ節の 12（p. 61）にある。Vitali 集合による非可測集合の構成は GO03 第 8 章 Example 11（pp. 92–93）にある。