解析集合(複素解析)

要点：すべて局所的な主張なので、各点の近くの定義関数を組み合わせればよい。

1. $f^m\in I_p(X)$ なら $f^m$ の代表は $A\cap W$ で $0$ なので $f$ も $0$ である。
2. $X=(A,p)$、$A\cap W=Z(f_1,\dots,f_k)$ とすると $f_j\in I_p(X)$ だから、$V_p(I_p(X))\subset V_p((f_1,\dots,f_k))=X$ である。逆に $I_p(X)=(g_1,\dots,g_l)$ とすると、有限個の $g_i$ は $p$ の共通の近傍で $A$ の上で $0$ になるので、$X\subset(Z(g_1,\dots,g_l),p)=V_p(I_p(X))$ である。
3. $X\subset Y$ なら $Y$ の上で $0$ になる関数は $X$ の上でも $0$ になる。逆に $I_p(Y)\subset I_p(X)$ なら、2 により $X=V_p(I_p(X))\subset V_p(I_p(Y))=Y$ である。
4. 3 によりイデアルの増加列 $I_p(X_1)\subset I_p(X_2)\subset\cdots$ が得られ、$\mathcal{O}_p$ は Noether 環なのである番号から先で一定である。3 により芽も一定である。$\square$

1. $p\in A$ なので定数 $1$ は $I_p(X)$ に入らず、$I_p(X)\ne\mathcal{O}_p$ である。$I_p(X)$ が素イデアルで、$X=X_1\cup X_2$、$X\ne X_1$、$X\ne X_2$ とする。prop-as-germ の 3 により $f_i\in I_p(X_i)\setminus I_p(X)$（$i=1,2$）がとれる。$f_1f_2$ は $X_1\cup X_2=X$ の上で $0$ なので $I_p(X)$ に入り、素イデアルであることに反する。逆に $X$ が既約で $fg\in I_p(X)$ とする。$X=(X\cap V_p((f)))\cup(X\cap V_p((g)))$ であり（$X$ の各点で $f$ か $g$ が $0$）、どちらも解析集合の芽である（prop-as-basic の 2）。既約性から一方、たとえば $X=X\cap V_p((f))$ となり、$X\subset V_p((f))$、すなわち $f\in I_p(X)$ である。
2. 存在：有限個の既約な芽の和に表せない空でない解析集合の芽があったとする。prop-as-germ の 4 により、そのような芽の中に包含について極小なもの $X$ がある（極小なものがなければ真の減少列が無限に続く）。$X$ は既約でないので $X=X_1\cup X_2$、$X_i\subsetneq X$ と書け、極小性から $X_1$、$X_2$ は既約な芽の有限和に表せるので、$X$ も表せて矛盾する。表した和から、ほかの項に含まれる項を除けば条件を満たす。一意性：$X=\bigcup_iX_i=\bigcup_jY_j$ を条件を満たす 2 つの表し方とする。$X_i=\bigcup_j(X_i\cap Y_j)$ と $X_i$ の既約性から $X_i\subset Y_j$ となる $j$ があり、同様に $Y_j\subset X_k$ となる $k$ がある。$X_i\subset X_k$ から $i=k$、よって $X_i=Y_j$ である。最後の等式は、$f$ が $X$ の上で $0$ になることと各 $X_i$ の上で $0$ になることが同値であることによる。$\square$

Weierstrassの予備定理 の補題「根の個数は $z'$ によらない」により、$\rho>0$ と多重円板 $\Delta'_0$ を小さくとって、各 $z'\in\Delta'_0$ について $h(z',\cdot)$ が $D(\rho)$ にちょうど $b$ 個の零点を重複度こみでもつようにできる。同じ補題を半径 $\rho/2$ に使うと、多重円板 $\Delta'_1$ があって、$z'\in\Delta'_1$ なら $D(\rho/2)$ にもちょうど $b$ 個の零点がある。$\Delta'\subset\Delta'_0\cap\Delta'_1$ を原点中心の多重円板とすると、$z'\in\Delta'$ について $D(\rho)$ 内の $b$ 個の零点はすべて $D(\rho/2)$ に入るので、$Z\subset\Delta'\times D(\rho/2)$ で、各縦の円板の上の $Z$ の点は $b$ 個以下である。
連結性：$R:=\Delta'\times\{\rho/2<|w|<\rho\}$ は連結集合の直積なので連結で、$Z$ と交わらない。$(z',w)\in P\setminus Z$ をとると、$D(\rho)$ から有限個の点を除いた集合は弧状連結なので、$\{z'\}\times D(\rho)$ の中で $Z$ を避けて $(z',w)$ と $R$ の点を結べる。よって $P\setminus Z$ のすべての点は $P\setminus Z$ の中で連結集合 $R$ とつながり、$P\setminus Z$ は連結である。稠密性：各縦の円板から有限個の点を除いた集合はその円板で稠密なので、$P\setminus Z$ は $P$ で稠密である。$\square$

1. $A$ の内部を $A^\circ$ とし、$A^\circ$ が $\Omega$ の中で閉じていることを示す。$x\in\Omega$ を $A^\circ$ の触点とすると、$A$ は閉集合なので $x\in A$ である。$x$ の連結な近傍 $U$（球）と $f_1,\dots,f_k\in\mathcal{O}(U)$ で $A\cap U=Z(f_1,\dots,f_k)$ となるものをとる。$U\cap A^\circ$ は空でない開集合で、その上で各 $f_j$ は $0$ だから、一致の定理 により $f_j$ は $U$ 全体で $0$ であり、$U\subset A$、$x\in A^\circ$ である。$A^\circ$ は開かつ閉で、$\Omega$ は連結、$A^\circ\subset A\ne\Omega$ なので $A^\circ=\emptyset$ である。
2. 段階 1：各点のよい近傍。 各 $x\in\Omega$ に、$x$ の開近傍 $P_x\subset\Omega$ で、$P_x\setminus A$ が空でなく連結で $P_x$ の中で稠密なものがあることを示す。$x\notin A$ なら $\Omega\setminus A$ に含まれる球をとればよい。$x\in A$ のとき、1 の $U$、$f_j$ をとる。1 により $A$ は $U$ を含まないので、ある $f_j$ は $U$ 上で恒等的に $0$ でなく、一致の定理により $x$ での芽も $0$ でない。$h:=f_j$ とおき、$x$ を原点に平行移動する。Weierstrassの予備定理 の補題「一般の関数を $w$ 正則にする座標変換」により、線形な座標変換で $h$ は $w$ について $b$ 次の正則になり、$h(x)=0$ だから $b\ge1$ である。lem-as-polydisc の $P\subset U$ をとると、$A\cap P\subset Z(h)\cap P$ だから
   $$ P\setminus Z(h)\subset P\setminus A\subset P $$
   である。$P\setminus Z(h)$ は連結で $P$ の中で稠密なので、$P\setminus A$ は $P$ で稠密で、連結集合 $P\setminus Z(h)$ とその閉包の間にあるから連結である。$P_x:=P$ とおけばよい。

段階 2：大域的な連結性。 $\Omega\setminus A=U_1\cup U_2$（$U_1,U_2$ は交わらない開集合）とする。$i=1,2$ について、段階 1 の性質をもつ近傍 $P$ で $P\setminus A\subset U_i$ となるものがとれる点 $x\in\Omega$ の全体を $V_i$ とおく。

• $V_1\cup V_2=\Omega$：$P_x\setminus A$ は連結なので $U_1$ か $U_2$ に含まれる。
• $V_i$ は開集合：$P$ が $x$ に対して条件を満たせば、$P$ の各点 $y$ に対しても同じ $P$ が条件を満たす。
• $V_1\cap V_2=\emptyset$：$x$ に対し $P\setminus A\subset U_1$、$P'\setminus A\subset U_2$ となる $P,P'$ があれば、$P\cap P'$ は空でない開集合なので、1 により $A$ に含まれない点をもち、その点は $U_1\cap U_2$ に入って矛盾する。
  $\Omega$ は連結なので、たとえば $V_2=\emptyset$ である。$U_2$ の各点 $y$ は $U_2$ に含まれる球を近傍としてもつので $y\in V_2$ であり、$U_2=\emptyset$ である。よって $\Omega\setminus A$ は連結である。$\square$

$A$ は閉集合で内部が空なので $\Omega\setminus A$ は稠密であり、一意性はこれから従う。存在は局所的に示せばよく、局所的な延長は稠密な集合の上で $f$ と一致するので貼り合わさる。$x\in A$ をとり、prf-as-connected の段階 1 のように $x$ の連結な近傍 $U$ と $U$ 上で恒等的に $0$ でない $h\in\mathcal{O}(U)$ を、$A\cap U\subset Z(h)$ で $f$ が $U\setminus A$ で有界となるようにとる。$f$ を $U\setminus Z(h)$ に制限すると、有界な正則関数なので、零点集合を越える Riemann の拡張定理（Leb26t Theorem 1.6.1、p. 40。1 変数の Riemannの拡張定理 を縦の円板ごとに使う）により $F_U\in\mathcal{O}(U)$ で $U\setminus Z(h)$ の上で $f$ と一致するものがある。$U\setminus Z(h)$ は $U\setminus A$ で稠密で、$F_U$ と $f$ はともに $U\setminus A$ の上で連続なので、$U\setminus A$ の上で $F_U=f$ である。$\square$