Koebeの1/4定理

$w\in\mathbb{C}\setminus f(\mathbb{D})$ を像に属さない任意の点とし、$|w|\geq1/4$ を示す。$f(0)=0$ より $w\neq0$ である。
$$F(z):=\frac{w\,f(z)}{w-f(z)}\qquad(z\in\mathbb{D})$$
とおく。$f(z)\neq w$ だから分母は $0$ にならず、$F$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数である。$F$ は $f$ と Möbius 変換（Möbius変換）$T(u):=wu/(w-u)$ の合成 $F=T\circ f$ であり、$T$ は $\mathbb{C}\setminus\{w\}$ 上で単射（$T(u)=T(u')$ なら $wu(w-u')=wu'(w-u)$、すなわち $w^2(u-u')=0$）だから、$F$ は単葉関数である。$|u|<|w|$ で
$$T(u)=u\cdot\frac{1}{1-u/w}=u+\frac{u^2}{w}+\frac{u^3}{w^2}+\cdots$$
であり、$f(z)=z+a_2z^2+\cdots$ を代入して $z^2$ までの項を比べると
$$F(z)=z+\Bigl(a_2+\frac1w\Bigr)z^2+\cdots$$
である。ゆえに $F(0)=0$、$F'(0)=1$ であり $F\in S$ である。thm-koebe-quarter-theorem-bieberbach を $f$ と $F$ の両方に適用すると $|a_2|\leq2$、$|a_2+1/w|\leq2$ であり、
$$\frac{1}{|w|}=\Bigl|\Bigl(a_2+\frac1w\Bigr)-a_2\Bigr|\leq|a_2+1/w|+|a_2|\leq4$$
から $|w|\geq1/4$ を得る。したがって $|w|<1/4$ なる $w$ はすべて $f(\mathbb{D})$ に属する。最良性は ex-koebe-quarter-theorem-koebe-function による。

$q'/q$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数だから、$0$ を中心とする Taylor 展開 $q'(z)/q(z)=\sum_{n\geq0}c_nz^n$ は $\mathbb{D}$ 全体で収束する（正則関数の Taylor 展開が、中心を含み定義域に含まれる開円板全体で収束することは既知とする。出典 Ahl79 Chapter 4 §3）。これを項別に積分した冪級数 $L(z):=\sum_{n\geq0}\dfrac{c_n}{n+1}z^{n+1}$ は同じ収束半径を持ち（$\limsup|c_n/(n+1)|^{1/n}=\limsup|c_n|^{1/n}$）、冪級数の項別微分（出典 Ahl79 Chapter 2 §2）により $\mathbb{D}$ 上で正則で $L'=q'/q$、$L(0)=0$ を満たす。すなわち $L$ は $q'/q$ の $\mathbb{D}$ 上の 原始関数 である。このとき$(qe^{-L})'=q'e^{-L}-qL'e^{-L}=(q'-q\cdot q'/q)e^{-L}=0$ だから、$qe^{-L}$ は連結な $\mathbb{D}$ 上で定数であり、その値は $q(0)e^{0}=1$ である。ゆえに $q=e^{L}$ であり、$\phi:=e^{L/2}$ は $\phi^2=e^{L}=q$、$\phi(0)=1$ を満たす。

$r>1$ を固定し、$C_r$ を円周 $|z|=r$ を反時計回りに一周する閉曲線 $\theta\mapsto re^{i\theta}$（$0\leq\theta\leq2\pi$）とする。$g$ は単射だから $g\circ C_r$ は 単純閉曲線 であり、開写像定理(複素解析) の記事の系（単射な正則写像の逆写像）により $g'\neq0$ なので $C^1$ 級の正則なパラメータ表示を持つ。Jordan曲線定理（本記事では証明しない。この設定での用い方は Dur83 §2.2 の面積定理の証明に従う）により $\mathbb{C}\setminus g(C_r)$ は有界な成分 $E_r$ と非有界な成分に分かれる。
$g\circ C_r$ の向きが $E_r$ に対して正であることを確かめる。$g(\{|z|>r\})$ は連結な集合で $g(C_r)$ と交わらず（単射性）、$|z|\to\infty$ で $|g(z)|\to\infty$ だから有界でなく、したがって非有界成分に含まれる。よって $w_0\in E_r$ に対し $w_0\notin g(\{|z|\geq r\})$ であり、$\rho\geq r$ について閉曲線 $g\circ C_\rho$ の $w_0$ に関する 回転数 $n(g\circ C_\rho,w_0)$ は $\rho$ によらない（$\rho$ を動かすことは $\mathbb{C}\setminus\{w_0\}$ 内の閉曲線の ホモトピー であり、回転数がホモトピーで変わらないことは既知とする。出典 Ahl79 Chapter 4）。$g(z)/z\to1$（$|z|\to\infty$）だから、$\rho$ が十分大きいとき $g(\rho e^{i\theta})=\rho e^{i\theta}(1+\varepsilon(\theta))$、$|\varepsilon(\theta)|<1/2$ かつ $\rho/2>|w_0|$ とできる。このとき $\rho e^{i\theta}$ と $g(\rho e^{i\theta})$ を結ぶ線分上の点は絶対値が $\rho(1-|\varepsilon(\theta)|)>\rho/2>|w_0|$ なので $w_0$ を通らず、2 つの閉曲線は $\mathbb{C}\setminus\{w_0\}$ 内でホモトピックであり、$n(g\circ C_\rho,w_0)=n(C_\rho,w_0)=1$ である。ゆえに $n(g\circ C_r,w_0)=1$ であり、$g\circ C_r$ は $E_r$ の 境界 を正の向きに一周する。
Greenの定理（本記事では証明しない。出典 Rud76 Chapter 10）により、$C^1$ 級の単純閉曲線 $\gamma$ が囲む有界領域 $E$ の面積は $\operatorname{Area}(E)=\dfrac{1}{2i}\displaystyle\oint_{\gamma}\bar w\,dw$（$\gamma$ は正の向き）で与えられる。$w=g(z)$、$z=re^{i\theta}$ とおくと $dw=g'(z)\,dz=g'(re^{i\theta})\,ire^{i\theta}\,d\theta$ であり、
$$\operatorname{Area}(E_r)=\frac{1}{2i}\int_0^{2\pi}\overline{g(re^{i\theta})}\,g'(re^{i\theta})\,ire^{i\theta}\,d\theta.$$
$g(re^{i\theta})=re^{i\theta}+b_0+\sum_{n\geq1}b_nr^{-n}e^{-in\theta}$、$g'(re^{i\theta})=1-\sum_{n\geq1}nb_nr^{-n-1}e^{-i(n+1)\theta}$ であり、これらの級数は $|z|=r$ 上で 絶対一様収束 する（Laurent 展開が収束環状領域の内部のコンパクト集合上で絶対一様収束することは既知とする。出典 Ahl79 Chapter 5 §1）から、積を展開して項別に積分してよい。$\int_0^{2\pi}e^{im\theta}d\theta$ は $m=0$ のとき $2\pi$、$m\neq0$ のとき $0$ だから、$\theta$ に依存しない項だけが残る。$\overline{g}\cdot g'\cdot ire^{i\theta}$ において $\theta$ に依存しない項は、$re^{-i\theta}\cdot1\cdot ire^{i\theta}=ir^2$ と、各 $n\geq1$ について $\overline{b_n}r^{-n}e^{in\theta}\cdot(-nb_nr^{-n-1}e^{-i(n+1)\theta})\cdot ire^{i\theta}=-in|b_n|^2r^{-2n}$ である。したがって
$$\operatorname{Area}(E_r)=\frac{1}{2i}\cdot2\pi i\Bigl(r^2-\sum_{n\geq1}n|b_n|^2r^{-2n}\Bigr)=\pi\Bigl(r^2-\sum_{n\geq1}n|b_n|^2r^{-2n}\Bigr).$$
面積は非負だから $\sum_{n\geq1}n|b_n|^2r^{-2n}\leq r^2$ である。任意の $N$ について $\sum_{n=1}^{N}n|b_n|^2r^{-2n}\leq r^2$ であり、$r\to1^+$ とすれば $\sum_{n=1}^{N}n|b_n|^2\leq1$、さらに $N\to\infty$ とすれば主張を得る。

$q(z):=f(z)/z$（$z\neq0$）、$q(0):=1$ とおくと、$q(z)=1+a_2z+a_3z^2+\cdots$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数である。$f$ は単射で $f(0)=0$ だから $z\neq0$ で $f(z)\neq0$、すなわち $q$ は $\mathbb{D}$ 上で $0$ をとらない。lem-koebe-quarter-theorem-log により正則関数 $\phi$ で $\phi^2=q$、$\phi(0)=1$ となるものがある。$\phi(u)=1+c_1u+\cdots$ とおくと $\phi(u)^2=1+2c_1u+\cdots=1+a_2u+\cdots$ だから $c_1=a_2/2$ である。
$h(z):=z\,\phi(z^2)$ とおく。$h$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数で、$h(z)^2=z^2q(z^2)=f(z^2)$ を満たし、奇関数 である。$h$ は単射である：$h(z_1)=h(z_2)$ なら $f(z_1^2)=f(z_2^2)$、$f$ の単射性から $z_1^2=z_2^2$、よって $z_1=\pm z_2$ である。$z_1=-z_2$ なら $h(z_1)=h(-z_2)=-h(z_2)=-h(z_1)$ より $h(z_1)=0$、$f(z_1^2)=0$、$f$ の単射性と $f(0)=0$ から $z_1=0=z_2$ である。いずれにせよ $z_1=z_2$ である。また
$$h(z)=z\Bigl(1+\frac{a_2}{2}z^2+\cdots\Bigr)=z+\frac{a_2}{2}z^3+\cdots$$
である。
$G(z):=1/h(1/z)$（$|z|>1$）とおく。$h$ の零点は $0$ だけ（$h(z)=0$ なら $f(z^2)=0$ で $z=0$）だから $G$ は $\Delta$ 上の正則関数で、単射写像 $z\mapsto1/z$、$h$、$u\mapsto1/u$ の合成として単射である。$1/\phi(u^2)$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数で Taylor 展開 $1-\dfrac{a_2}{2}u^2+\cdots$（偶関数）を持つから、
$$G(z)=\frac{z}{\phi(1/z^2)}=z\Bigl(1-\frac{a_2}{2}z^{-2}+\cdots\Bigr)=z-\frac{a_2}{2}z^{-1}+b_3z^{-3}+\cdots$$
であり、これは thm-koebe-quarter-theorem-area の形の Laurent 展開（$b_0=0$、$b_1=-a_2/2$）である。面積定理により $|b_1|^2\leq\sum_{n\geq1}n|b_n|^2\leq1$、すなわち $|a_2|/2\leq1$ である。

まず $\lambda_\Omega(w_0)$ が $F$ によらないことを見る。$\tilde F$ を同じ条件を満たす別の写像とすると、$\psi:=F^{-1}\circ\tilde F$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への単射な正則全射（$\mathbb{D}$ の自己同型）で $\psi(0)=0$ を満たす。$0$ を固定する $\mathbb{D}$ の自己同型は回転 $z\mapsto e^{i\theta}z$ に限る（Schwarz の補題による。本記事では証明しない。出典 Ahl79 Chapter 4 §3、Dur83 Chapter 1）から $|\psi'(0)|=1$ であり、$\tilde F=F\circ\psi$ より $|\tilde F'(0)|=|F'(0)|\,|\psi'(0)|=|F'(0)|$ である。
$F'(0)\neq0$ である（開写像定理(複素解析) の記事の系（単射な正則写像の逆写像））。$f(z):=(F(z)-w_0)/F'(0)$ とおくと $f\in S$ であり、thm-koebe-quarter-theorem-main により $f(\mathbb{D})\supset B(0,1/4)$、すなわち $\Omega=F(\mathbb{D})\supset B(w_0,|F'(0)|/4)$ である。ゆえに $\operatorname{dist}(w_0,\partial\Omega)\geq|F'(0)|/4=1/(4\lambda_\Omega(w_0))$ であり、これが主張である。