Koebeの1/4定理

$w\in\mathbb{C}\setminus f(\mathbb{D})$ を像に属さない任意の点とし、$|w|\geq1/4$ を示す。$f(0)=0$ より $w\neq0$ である。
$$F(z):=\frac{w\,f(z)}{w-f(z)}\qquad(z\in\mathbb{D})$$
とおく。$f(z)\neq w$ だから分母は $0$ にならず、$F$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数である。$F$ は $f$ と Möbius 変換（Möbius変換）$T(u):=wu/(w-u)$ の合成 $F=T\circ f$ であり、$T$ は $\mathbb{C}\setminus\{w\}$ 上で単射（$T(u)=T(u')$ なら $wu(w-u')=wu'(w-u)$、すなわち $w^2(u-u')=0$）だから、$F$ は単葉関数である。$|u|<|w|$ で
$$T(u)=u\cdot\frac{1}{1-u/w}=u+\frac{u^2}{w}+\frac{u^3}{w^2}+\cdots$$
であり、$f(z)=z+a_2z^2+\cdots$ を代入して $z^2$ までの項を比べると
$$F(z)=z+\Bigl(a_2+\frac1w\Bigr)z^2+\cdots$$
である。ゆえに $F(0)=0$、$F'(0)=1$ であり $F\in S$ である。thm-koebe-quarter-theorem-bieberbach を $f$ と $F$ の両方に適用すると $|a_2|\leq2$、$|a_2+1/w|\leq2$ であり、
$$\frac{1}{|w|}=\Bigl|\Bigl(a_2+\frac1w\Bigr)-a_2\Bigr|\leq|a_2+1/w|+|a_2|\leq4$$
から $|w|\geq1/4$ を得る。したがって $|w|<1/4$ なる $w$ はすべて $f(\mathbb{D})$ に属する。最良性は ex-koebe-quarter-theorem-koebe-function による。

$q'/q$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数だから、$0$ を中心とする Taylor 展開 $q'(z)/q(z)=\sum_{n\geq0}c_nz^n$ は $\mathbb{D}$ 全体で収束する（正則関数の Taylor 展開が、中心を含み定義域に含まれる開円板全体で収束することは既知とする。出典 Ahl66 Chapter 5 §1.2、pp. 177–178）。これを項別に積分した冪級数 $L(z):=\sum_{n\geq0}\dfrac{c_n}{n+1}z^{n+1}$ は同じ収束半径を持ち（$\limsup|c_n/(n+1)|^{1/n}=\limsup|c_n|^{1/n}$）、冪級数の項別微分（出典 Ahl66 Chapter 2 §2）により $\mathbb{D}$ 上で正則で $L'=q'/q$、$L(0)=0$ を満たす。すなわち $L$ は $q'/q$ の $\mathbb{D}$ 上の 原始関数 である。このとき$(qe^{-L})'=q'e^{-L}-qL'e^{-L}=(q'-q\cdot q'/q)e^{-L}=0$ だから、$qe^{-L}$ は連結な $\mathbb{D}$ 上で定数であり、その値は $q(0)e^{0}=1$ である。ゆえに $q=e^{L}$ であり、$\phi:=e^{L/2}$ は $\phi^2=e^{L}=q$、$\phi(0)=1$ を満たす。

$q(z):=f(z)/z$（$z\neq0$）、$q(0):=1$ とおくと、$q(z)=1+a_2z+a_3z^2+\cdots$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数である。$f$ は単射で $f(0)=0$ だから $z\neq0$ で $f(z)\neq0$、すなわち $q$ は $\mathbb{D}$ 上で $0$ をとらない。lem-koebe-quarter-theorem-log により正則関数 $\phi$ で $\phi^2=q$、$\phi(0)=1$ となるものがある。$\phi(u)=1+c_1u+\cdots$ とおくと $\phi(u)^2=1+2c_1u+\cdots=1+a_2u+\cdots$ だから $c_1=a_2/2$ である。
$h(z):=z\,\phi(z^2)$ とおく。$h$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数で、$h(z)^2=z^2q(z^2)=f(z^2)$ を満たし、奇関数（グラフの平行移動と対称移動） である。$h$ は単射である：$h(z_1)=h(z_2)$ なら $f(z_1^2)=f(z_2^2)$、$f$ の単射性から $z_1^2=z_2^2$、よって $z_1=\pm z_2$ である。$z_1=-z_2$ なら $h(z_1)=h(-z_2)=-h(z_2)=-h(z_1)$ より $h(z_1)=0$、$f(z_1^2)=0$、$f$ の単射性と $f(0)=0$ から $z_1=0=z_2$ である。いずれにせよ $z_1=z_2$ である。また
$$h(z)=z\Bigl(1+\frac{a_2}{2}z^2+\cdots\Bigr)=z+\frac{a_2}{2}z^3+\cdots$$
である。
$G(z):=1/h(1/z)$（$|z|>1$）とおく。$h$ の零点は $0$ だけ（$h(z)=0$ なら $f(z^2)=0$ で $z=0$）だから $G$ は $\Delta$ 上の正則関数で、単射写像 $z\mapsto1/z$、$h$、$u\mapsto1/u$ の合成として単射である。$1/\phi(u^2)$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数で Taylor 展開 $1-\dfrac{a_2}{2}u^2+\cdots$（偶関数。グラフの平行移動と対称移動）を持つから、
$$G(z)=\frac{z}{\phi(1/z^2)}=z\Bigl(1-\frac{a_2}{2}z^{-2}+\cdots\Bigr)=z-\frac{a_2}{2}z^{-1}+b_3z^{-3}+\cdots$$
であり、これは上の面積定理の形の Laurent 展開（$b_0=0$、$b_1=-a_2/2$）である。面積定理（面積定理(単葉関数)）により $|b_1|^2\leq\sum_{n\geq1}n|b_n|^2\leq1$、すなわち $|a_2|/2\leq1$ である。

まず $\lambda_\Omega(w_0)$ が $F$ によらないことを見る。$\tilde F$ を同じ条件を満たす別の写像とすると、$\psi:=F^{-1}\circ\tilde F$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への単射な正則全射（$\mathbb{D}$ の自己同型）で $\psi(0)=0$ を満たす。$0$ を固定する $\mathbb{D}$ の自己同型は回転 $z\mapsto e^{i\theta}z$ に限る（Schwarz の補題による。本記事では証明しない。出典 Ahl66 Chapter 4 §3、Dur83 Chapter 1）から $|\psi'(0)|=1$ であり、$\tilde F=F\circ\psi$ より $|\tilde F'(0)|=|F'(0)|\,|\psi'(0)|=|F'(0)|$ である。
$F'(0)\neq0$ である（開写像定理(複素解析) の記事の系（単射な正則写像の逆写像））。$f(z):=(F(z)-w_0)/F'(0)$ とおくと $f\in S$ であり、thm-koebe-quarter-theorem-main により $f(\mathbb{D})\supset B(0,1/4)$、すなわち $\Omega=F(\mathbb{D})\supset B(w_0,|F'(0)|/4)$ である。ゆえに $\operatorname{dist}(w_0,\partial\Omega)\geq|F'(0)|/4=1/(4\lambda_\Omega(w_0))$ であり、これが主張である。