Euclid近傍レトラクト

近傍レトラクトならば局所可縮． $\mathbb{R}^n$ は局所可縮（局所可縮空間の定理「凸集合と多様体」）なので、局所可縮な空間の近傍レトラクトは局所可縮である（同記事の定理「開集合とレトラクト」の 2）。
局所可縮ならば近傍レトラクト． $K=\emptyset$ なら $W=\emptyset$ でよいので、$K\neq\emptyset$ とする。$X:=\mathbb{R}^n\setminus K$ に、$K$ に近づくほど小さくなる立方体の胞体構造を入れ、$X$ の大部分から $K$ への写像を骨格ごとに作る。
段 1（立方体への分割）． $k\ge0$ について、頂点の座標がすべて $2^{-k}\mathbb{Z}$ に属する辺の長さ $2^{-k}$ の閉立方体全体を $\mathcal{C}_k$ とする。$\mathcal{A}_0$ を $\mathcal{C}_0$ のうち $K$ と交わらないもの全体、$k\ge1$ について $\mathcal{A}_k$ を $\mathcal{C}_k$ のうち $K$ と交わらず、$j< k$ のどの $\mathcal{A}_j$ の立方体にも含まれないもの全体とし、$\mathcal{A}:=\bigcup_k\mathcal{A}_k$ とおく。次が成り立つ。

1. $\mathcal{A}$ の立方体の和集合は $X$ に等しい。
2. $Q\in\mathcal{A}_k$（$k\ge1$）の各点の $K$ からの距離は $\sqrt n\,2^{1-k}$ 以下である。
3. $\mathcal{A}$ は $X$ の中で局所有限である。
4. 各 $x\in K$ と $\eta>0$ に対し、$\beta>0$ があって、開球 $B(x,\beta)$ と交わる $\mathcal{A}$ の立方体の直径はすべて $\eta$ より小さい。
   詳細

   1：$y\in X$ なら $d(y,K)>0$ なので、$y$ を含む $\mathcal{C}_k$ の立方体で直径 $\sqrt n\,2^{-k}$ が $d(y,K)$ より小さいものは $K$ と交わらない。それが $\mathcal{A}_k$ に入らなければ、定義によりある $\mathcal{A}_j$（$j< k$）の立方体に含まれる。2：$Q$ を含む $\mathcal{C}_{k-1}$ の立方体 $Q'$ が $K$ と交わらなければ、$Q'$ 自身かそれを含む立方体がある $\mathcal{A}_j$（$j\le k-1$）に属し、$Q\notin\mathcal{A}_k$ となって矛盾する。よって $Q'$ は $K$ と交わり、$Q\subset Q'$ の点の $K$ からの距離は $Q'$ の直径 $\sqrt n\,2^{1-k}$ 以下である。3：$y\in X$、$\delta:=d(y,K)$ とする。$B(y,\delta/2)$ の点は $K$ から $\delta/2$ 以上離れているので、これと交わる $Q\in\mathcal{A}_k$（$k\ge1$）は 2 により $\sqrt n\,2^{1-k}\ge\delta/2$ を満たし、$k$ は上から抑えられる。各 $k$ について有界な球と交わる $\mathcal{C}_k$ の立方体は有限個である。4：直径が $\eta$ 以上の $\mathcal{A}$ の立方体は $k$ が上から抑えられるので、$B(x,1)$ と交わるものは有限個であり、どれも $K$ と交わらない閉集合なので $x$ から正の距離にある。$\beta$ をそれらの距離と $1$ より小さくとればよい。

   異なる $\mathcal{A}$ の立方体は内部が交わらず、二つが交わるなら共通部分は小さい方の面である。そこで、$\mathcal{A}$ の立方体の面の相対的な内部（開いた面）のうち包含について極小なものを胞体とすると、$X$ のCW複体の構造が得られる。各胞体の閉包は立方体の面（閉球体と同相）で、その境界は次元の低い胞体の和である。0 胞体は $\mathcal{A}$ の立方体の頂点全体、$n$ 胞体は $\mathcal{A}$ の立方体の内部である。3 により $\mathcal{A}$ は局所有限なので、この CW 複体の位相は $\mathbb{R}^n$ からの相対位相と一致する（Hat02 Appendix, pp. 525–526）。

段 2（写像の構成）． $X$ の部分複体 $Z$ と連続写像 $r\colon Z\to K$ を骨格ごとに作る。$Z$ の 0 胞体は $X$ のすべての 0 胞体とし、$r(v)$ を $v$ に最も近い $K$ の点（$K$ はコンパクトなので存在する。複数あれば一つ選ぶ）とする。$Z^k$ と $r\colon Z^k\to K$ ができたとし、$X$ の $(k+1)$ 胞体 $e$ で境界が $Z^k$ に含まれるものを考える。$r$ の境界 $\partial\bar e$ への制限を $\bar e$ 全体へ連続に延ばした写像 $g\colon\bar e\to K$ の全体を $\Phi_e$ とする。$\Phi_e\neq\emptyset$ のときに限り $e$ を $Z^{k+1}$ に入れ、$r|_{\bar e}$ を次のように選ぶ。$m_e:=\inf_{g\in\Phi_e}\operatorname{diam}g(\bar e)$ とおき、$m_e>0$ なら $\operatorname{diam}r(\bar e)<2m_e$ となる $g\in\Phi_e$ をとる。$m_e=0$ なら境界の像 $r(\partial\bar e)$ の直径も $0$、すなわち一点なので、その点への定値写像をとる。いずれの場合も
$$ \operatorname{diam}r(\bar e)\le2\operatorname{diam}g(\bar e)\qquad(g\in\Phi_e) $$
が成り立つ。$Z:=Z^n$ とすると、$r$ は各閉胞体の上で連続なので、$Z$ 上で連続である。
段 3（$K$ の近くでの評価）． $x\in K$ と $\varepsilon>0$ を固定する。$K$ の中の開球を $B_K(x,\rho):=\{y\in K\mid\lvert y-x\rvert<\rho\}$ と書く。$\rho_n:=\varepsilon$ とし、$i=n,n-1,\dots,0$ の順に、局所可縮性により $B_K(x,\sigma_i)$ が $B_K(x,\rho_i)$ の中で可縮になる $0<\sigma_i\le\rho_i$ を選び、$i\ge1$ なら $\rho_{i-1}:=\sigma_i/5$ とおく。$\beta:=\sigma_0/2$ とし、閉包が開球 $B(x,\beta)\subset\mathbb{R}^n$ に含まれる $X$ の胞体全体を $Y$ とする。$Y$ は部分複体である。
主張：$Y\subset Z$ であり、各 $i$ について $r(Y^i)\subset B_K(x,\sigma_i)$。
$i=0$：$Y$ の頂点 $v$ について、$\lvert r(v)-v\rvert=d(v,K)\le\lvert v-x\rvert<\beta$ なので $\lvert r(v)-x\rvert<2\beta=\sigma_0$。
$i-1$ から $i$：$e$ を $Y$ の $i$ 胞体とする。境界は $Y^{i-1}\subset Z$ に含まれ、$r(\partial\bar e)\subset B_K(x,\sigma_{i-1})$ である。$B_K(x,\sigma_{i-1})$ は $B_K(x,\rho_{i-1})$ の中で可縮なので、球面 $\partial\bar e$ からの写像 $r|_{\partial\bar e}$ は $B_K(x,\rho_{i-1})$ の中で定値写像とホモトピックであり、円板 $\bar e$ 上の $B_K(x,\rho_{i-1})$ に値をとる写像に延びる。よって $\Phi_e\neq\emptyset$ で $e\subset Z$ であり、段 2 の不等式から $\operatorname{diam}r(\bar e)\le2\cdot2\rho_{i-1}$ となる。$r(\bar e)$ は $B_K(x,\sigma_{i-1})\subset B_K(x,\rho_{i-1})$ の点を含むので、$r(\bar e)\subset B_K(x,5\rho_{i-1})=B_K(x,\sigma_i)$ である。
とくに $r(Y)\subset B_K(x,\varepsilon)$。さらに 1 と 4 により、$\beta'\le\beta/2$ を、$B(x,\beta')$ と交わる $\mathcal{A}$ の立方体の直径がすべて $\beta/2$ より小さくなるようにとる。$y\in B(x,\beta')\setminus K$ は、$B(x,\beta')$ と交わる $Q\in\mathcal{A}$ に含まれ、$Q\subset B(x,\beta)$ なので、$y$ を含む胞体の閉包は $Q$ に含まれて $y\in Y$ である。よって
$$ B(x,\beta')\subset Y\cup K,\qquad r\bigl(B(x,\beta')\setminus K\bigr)\subset B_K(x,\varepsilon). $$
段 4（レトラクション）． $\varepsilon=1$ のときの $\beta'$ を各 $x\in K$ についてとり、それらの開球の和を $W$ とする。$W$ は $K$ を含む開集合で $W\subset Z\cup K$ である。$\bar r\colon W\to K$ を $W\setminus K$ 上で $r$、$K$ 上で恒等写像として定める。$W\setminus K$ の点は、$W\setminus K$ に含まれ有限個の閉胞体としか交わらない開球をもち、それらの閉胞体はすべて $Z$ に属するので、$\bar r$ はそこで連続である（貼り合わせの補題）。$x\in K$ では、任意の $\varepsilon>0$ について段 3 の $\beta'$ をとれば、$\bar r(W\cap B(x,\beta'))\subset B_K(x,\varepsilon)$（$K$ の点は $\beta'\le\varepsilon$ より）なので連続である。よって $\bar r$ は $W$ から $K$ へのレトラクションである。$\square$

1 ⇒ 2：$i(X)$ はコンパクトで近傍レトラクトなので、thm-enr-main により局所可縮であり、同相な $X$ も局所可縮である。2 ⇒ 3：埋め込み $j$ について、$j(X)$ はコンパクトで、$X$ と同相なので局所可縮である。thm-enr-main により $j(X)$ は近傍レトラクトである。3 ⇒ 1：存在する埋め込みの一つに 3 を使えばよい。$\square$

1（⇐）：$P$ の頂点が $N$ 個なら、$P$ は $\mathbb{R}^N$ の標準的な $(N-1)$ 単体の部分複体として実現でき、$\lvert P\rvert$ は $\mathbb{R}^N$ のコンパクト集合である。$\lvert P\rvert$ は局所可縮である（局所可縮空間の定理「局所有限な単体複体の多面体」）ので、thm-enr-main により開集合 $W\supset\lvert P\rvert$ からのレトラクション $r$ がある。$A\subset\lvert P\rvert$ を $X$ と同相なレトラクト、$q\colon\lvert P\rvert\to A$ をレトラクションとすると、$q\circ r\colon W\to A$ はレトラクションであり、$A$ と同相な $X$ は ENR である。
1（⇒）：$X$ を $\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合 $K$ とみなす（$X$ が与えられた $\mathbb{R}^n$ の部分集合と同相なら、その像を $K$ とする。cor-enr-intrinsic により $K$ は近傍レトラクトである）。$r\colon W\to K$ をレトラクションとする。$\delta:=d(K,\mathbb{R}^n\setminus W)$ は正である（$W=\mathbb{R}^n$ なら $\delta:=1$）。$K$ を含む $n$ 単体 $\Delta\subset\mathbb{R}^n$ をとり、重心細分をくり返して、すべての単体の直径が $\delta$ より小さい $\Delta$ の細分を得る。その単体のうち $K$ と交わるものとその面の全体を $P$ とすると、$P$ は次元 $n$ 以下の有限単体複体で、$K\subset\lvert P\rvert\subset W$ である。$r|_{\lvert P\rvert}$ が $\lvert P\rvert$ から $K$ へのレトラクションである。
2：1 の $\iota\colon K\hookrightarrow\lvert P\rvert$ と $r|_{\lvert P\rvert}$ について $r\circ\iota=\operatorname{id}_K$ なので、$r_*\circ\iota_*=\operatorname{id}$ となり、$H_i(K)$ は $H_i(\lvert P\rvert)$ の直和因子である。$H_i(\lvert P\rvert)$ は単体ホモロジーと同型であり（Hat02 Theorem 2.27, p. 128）、有限生成で $i>\dim P$ では $0$ である。同様に $r_*\colon\pi_1(\lvert P\rvert,x)\to\pi_1(K,x)$ は全射であり、有限 CW 複体の基本群は有限生成である。1 骨格（有限グラフ）の基本群は有限生成な自由群であり（Hat02 Proposition 1A.2, p. 84）、2 胞体を貼ると商群になり、3 次元以上の胞体を貼っても変わらない（同書 Proposition 1.26, p. 50）からである。よって $\pi_1(K,x)$ も有限生成である。$\square$

1：$X$ を $\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合とみなし、開集合 $W$ からのレトラクションをとる。$W$ は ANR であり（絶対近傍レトラクトの例「凸集合と開集合」の 2）、ANR の近傍レトラクトは ANR である（同記事の命題「開集合とレトラクトへの遺伝」の 2）。
2（⇒）：1 により ANR である。$X$ を $\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合とみなすと、ある $m$ について $X\subset[-m,m]^n$ であり、$X$ はこの立方体の閉集合である。被覆次元は閉部分空間で増えず（被覆次元の命題「閉部分空間の被覆次元」）、$[-m,m]^n$ は $[0,1]^n$ と同相で次元 $n$ をもつ（同記事の定理「立方体の被覆次元」）ので、$\dim X\le n$ である。
2（⇐）：$\dim X=d<\infty$ とする。コンパクト距離化可能空間は可分なので、Menger–Nöbelingの埋め込み定理により埋め込み $j\colon X\to\mathbb{R}^{2d+1}$ がある。$j(X)$ はコンパクトなので閉集合であり、$\mathbb{R}^{2d+1}$ は距離化可能なので、ANR の定義により $j(X)$ は $\mathbb{R}^{2d+1}$ のある開集合のレトラクトである。$\square$

thm-enr-main により、開集合 $W\supset K$ とレトラクション $r\colon W\to K$ がある。
全射：$\alpha\in H^q(K;G)$ に対し $r^*\alpha\in H^q(W;G)$ は $\iota_W^*r^*\alpha=(r\circ\iota_W)^*\alpha=\alpha$ を満たす。
単射：$\gamma\in H^q(U;G)$ が $\iota_U^*\gamma=0$ を満たすとする。$U':=U\cap W$ とし、$F\colon U'\times[0,1]\to\mathbb{R}^n$ を $F(y,t):=(1-t)y+t\,r(y)$ で定める。$F^{-1}(U')$ は $K\times[0,1]$ を含む開集合なので、$[0,1]$ のコンパクト性（チューブ補題）により、$K$ を含む開集合 $V\subset U'$ で $F(V\times[0,1])\subset U'$ となるものがある。$F|_{V\times[0,1]}$ は、包含 $V\hookrightarrow U'$ と、$r|_V$ と包含 $K\hookrightarrow U'$ の合成との間の $U'$ の中のホモトピーである。コホモロジーのホモトピー不変性により
$$ \gamma|_V=(r|_V)^*\bigl(\gamma|_K\bigr)=(r|_V)^*(\iota_U^*\gamma)=0 $$
となり、$\gamma$ の順極限での類は $0$ である。$\square$