掛谷の問題

1. 直径 $1$ の円板。針を直径に重ねて置き、円の中心のまわりに $180^\circ$ 回せばよい。針の両端はいつも円周の上にある。面積は $\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac\pi4\approx0.785$ である。
2. 1 辺 $1$ の正方形 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(1,1)$、$D(0,1)$。針の端を $P$、$Q$ とし、はじめ $P=A$、$Q=B$ に置く（$\overrightarrow{PQ}$ は右向き）。

• $P=A$ を軸に、$Q$ を $B$ から $D$ まで回す（$\overrightarrow{PQ}$ は上向きになる）。
• $Q=D$ を軸に、$P$ を $A$ から $C$ まで回す（$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{CD}$ は左向きになる）。
• 針を下へ $1$ だけ平行移動して、$P=B$、$Q=A$ にする。
  回している途中の針は、軸の頂点から正方形の内側へ向かう長さ $1$ の線分である。軸の頂点からその向きに進んで、軸の頂点を含まない 2 辺のどちらかに当たるまでの長さは、針が軸の頂点を通る 2 辺のうち近い方となす角を $\varphi$（$0\le\varphi\le45^\circ$）として $\dfrac1{\cos\varphi}\ge1$ なので、針は正方形の中にある（lem-kak-pivot と同じ理由）。針は辺 $AB$ にもどり、両端が入れかわった。面積は $1$ である。

1. 1 辺 $1$ の正三角形。高さは $\dfrac{\sqrt3}2\approx0.866$ である。ある辺に垂直な向きの線分を考えると、線分の両端のその辺からの距離はどちらも $0$ 以上、高さ以下なので、線分の長さ（両端の距離の差）は高さ以下である（ex-kak-cx-height で詳しく述べる）。長さ $1$ の針はこの向きに入らない。したがって 1 辺 $1$ の正三角形の中では針を回せない。
2. 1 辺 $1$ の正方形。どの向きにも、中心を通る長さ $1$ の線分が入る（中心から辺までの距離は $\dfrac12$ 以上）。この向きの判定では回せないことは分からず、実際に ex-kak-start (2) で回せた。

prf-kak-triangle の座標で、各段の終わりの針の両端を計算する。辺 $AB$ の向きの単位ベクトルは $\dfrac{\sqrt3}2\left(-\dfrac1{\sqrt3},-1\right)=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。
(1) 段 1 の終わり：$P=A(0,1)$、$Q=A+\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}2\right)=\left(-\dfrac12,\,1-\dfrac{\sqrt3}2\right)\approx(-0.5,\,0.134)$。
(2) 段 2 の終わり：$Q=B\approx(-0.577,\,0)$、$P=B+\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)\approx(-0.077,\,0.866)$。$P$ は辺 $AB$ の上にあり、$A$ から $\dfrac2{\sqrt3}-1\approx0.155$ だけ離れている。
(3) 段 3 の終わり：$Q=B$、$P=B+(1,0)\approx(0.423,\,0)$。段 4 の終わり：$P=C\approx(0.577,\,0)$、$Q=C-(1,0)\approx(-0.423,\,0)$。
針の長さはどの段でも $1$ である。例えば (1) では $\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2=1$ である。

1. $t=0$：$D(0)=\left(\dfrac12+\dfrac14,\,0\right)=\left(\dfrac34,\,0\right)$。原点からの距離は $\dfrac34$ で、尖点（とがった点）である。$t=\dfrac{2\pi}3$、$\dfrac{4\pi}3$ でも、原点から $\dfrac34$ の尖点になる。例えば $D\left(\dfrac{2\pi}3\right)=\left(-\dfrac14-\dfrac18,\ \dfrac{\sqrt3}4+\dfrac{\sqrt3}8\right)=\dfrac34\left(\cos120^\circ,\sin120^\circ\right)$ である。
2. $t=\pi$：$D(\pi)=\left(-\dfrac12+\dfrac14,\,0\right)=\left(-\dfrac14,\,0\right)$。原点からの距離は $\dfrac14$ で、2 つの尖点の間の辺の、原点に最も近い点である。$t=\dfrac\pi3$ でも $D\left(\dfrac\pi3\right)=\left(\dfrac14-\dfrac18,\ \dfrac{\sqrt3}4-\dfrac{\sqrt3}8\right)=\left(\dfrac18,\,\dfrac{\sqrt3}8\right)$ で、原点からの距離は $\sqrt{\dfrac1{64}+\dfrac3{64}}=\dfrac14$ である。

1. $\varphi=0$：針は $\left(-\dfrac14,0\right)$ から $\left(\dfrac34,0\right)$ まで。$\dfrac{\cos0}2=\dfrac12$ なので、lem-kak-inside (2) の $F$ が $0$ になる重根は $s=\dfrac12$、つまり端 $\left(\dfrac34,0\right)$（尖点）である。
2. $\varphi=\dfrac\pi2$：$D\left(\dfrac\pi2\right)=\left(-\dfrac14,\dfrac12\right)$、$D\left(\dfrac{3\pi}2\right)=\left(-\dfrac14,-\dfrac12\right)$ で、針は直線 $x=-\dfrac14$ の上の長さ $1$ の線分である。中点は $M\left(\dfrac\pi2\right)=\left(-\dfrac14,0\right)=D(\pi)$ で、$\cos\dfrac{3\pi}2=0$ なので重根は $s=0$、針はこの中点でデルトイドの辺に接している。
3. $\varphi=\dfrac\pi6$：向き $\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12\right)$、中点 $M=\left(\dfrac18,-\dfrac{\sqrt3}8\right)$。端は $M\pm\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12\right)$ で、$+$ の方は $\left(\dfrac18+\dfrac{\sqrt3}4,\ -\dfrac{\sqrt3}8+\dfrac14\right)\approx(0.558,\,0.033)$ である。これは $D\left(\dfrac\pi6\right)=\left(\dfrac{\sqrt3}4+\dfrac18,\ \dfrac14-\dfrac{\sqrt3}8\right)$ と一致する。重根は $s=\dfrac{\cos(\pi/2)}2=0$ で、中点 $M=D\left(-\dfrac\pi3\right)$ で辺に接する。

1 辺 $1$ の正三角形 $ABC$ から作る幅 $1$ の Reuleaux の三角形（各頂点を中心とする半径 $1$ の 3 つの円板の共通部分。定幅図形）を考える。面積は $\dfrac{\pi-\sqrt3}2$ である（定幅図形）。
針の端を $P$、$Q$ とし、はじめ $P=A$、$Q=B$ に置く。$P=A$ を軸に $Q$ を弧 $BC$（中心 $A$、半径 $1$）に沿って $C$ まで動かし、次に $Q=C$ を軸に $P$ を弧 $AB$（中心 $C$）に沿って $B$ まで動かし、最後に $P=B$ を軸に $Q$ を弧 $CA$（中心 $B$）に沿って $A$ まで動かす。どの段でも針は、Reuleaux の三角形の 2 点（軸の頂点と弧の上の点）を結ぶ線分で、Reuleaux の三角形は凸（3 つの円板の共通部分）なので中に入る。$\overrightarrow{PQ}$ の向きは、$\overrightarrow{AB}$（$0^\circ$）、$\overrightarrow{AC}$（$60^\circ$）、$\overrightarrow{BC}$（$120^\circ$）、$\overrightarrow{BA}$（$180^\circ$）と変わり、最後は $P=B$、$Q=A$ で両端が入れかわった。

高さ $h<1$ の正三角形 $ABC$ で、辺 $BC$ を $x$ 軸、$A$ を $(0,h)$ におく。辺 $BC$ に垂直な向き（$y$ 軸の向き）の線分を三角形の中にとると、両端の $y$ 座標はどちらも $0$ 以上 $h$ 以下（三角形の点の $y$ 座標の範囲）で、両端の $x$ 座標は等しいので、線分の長さは $y$ 座標の差で $h$ 以下である。$h<1$ なので、$y$ 軸の向きの針は三角形に入らない。prop-kak-direction により、この三角形の中では針を回せない。thm-kak-triangle の高さ $1$ は、正三角形の中で回すためにはこれ以上小さくできない。

デルトイドの面積 $\dfrac\pi8\approx0.3927$ は、高さ $1$ の正三角形の面積 $\dfrac1{\sqrt3}\approx0.5774$ より小さい。デルトイドの 2 つの尖点 $D(0)$、$D\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ を結ぶ線分の中点 $\dfrac12\left(\dfrac34-\dfrac38,\ \dfrac{3\sqrt3}8\right)=\left(\dfrac3{16},\,\dfrac{3\sqrt3}{16}\right)$ は、原点から $\dfrac38$ の距離にある。この向き（偏角 $60^\circ$）でのデルトイドの点は $D\left(\dfrac\pi3\right)=\left(\dfrac18,\dfrac{\sqrt3}8\right)$ で、原点から $\dfrac14<\dfrac38$ なので、中点はデルトイドの外にある（lem-kak-inside (1)）。中の 2 点を結ぶ線分がはみ出すので、デルトイドは凸でない。凸な図形の中での最小（正三角形）という結果は、凸という条件を外すと成り立たない。