調和関数

$\partial_i|x|^t=t|x|^{t-2}x_i$ であり、もう一度 $x_i$ で微分すると $t|x|^{t-2}+t(t-2)|x|^{t-4}x_i^2$ である。$i$ について足すと $nt|x|^{t-2}+t(t-2)|x|^{t-2}=t(t+n-2)|x|^{t-2}$。$t=2-n$ で $0$ になる。$n=2$ では $\partial_i\log|x|=x_i/|x|^2$、$\partial_i^2\log|x|=1/|x|^2-2x_i^2/|x|^4$ で、$i=1,2$ の和は $2/|x|^2-2/|x|^2=0$ である。$\square$

段 1（滑らかさ）．$\mathbb{R}^n$ 上の関数 $\eta$ を、$|x|<1$ で $\eta(x)=c\exp\bigl(1/(|x|^2-1)\bigr)$、$|x|\ge1$ で $\eta(x)=0$ と定める。定数 $c>0$ は $\int\eta\,dV=1$ となるように選ぶ。$\eta$ は $C^\infty$ 級で、$|x|$ だけで決まる。$\varepsilon>0$ に対し $\eta_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)$ とおくと、$\eta_\varepsilon$ も $C^\infty$ 級で回転対称、台は $\overline B(0,\varepsilon)$ に含まれ、$\int\eta_\varepsilon\,dV=1$ である。$\eta_\varepsilon(y)=g_\varepsilon(|y|)$ と書く。

$\Omega_\varepsilon:=\{x\in\Omega\mid\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega\}$ は開集合である。$x\in\Omega_\varepsilon$ に対して$$u_\varepsilon(x):=\int_{\Omega}u(z)\,\eta_\varepsilon(x-z)\,dV(z)$$とおく。$x$ を $\Omega_\varepsilon$ の中で少し動かしても被積分関数の台は $\Omega$ の一つのコンパクト集合に収まり、$\eta_\varepsilon$ の偏導関数はすべて有界なので、積分記号の下で何回でも微分できて $u_\varepsilon\in C^\infty(\Omega_\varepsilon)$ である。一方、$z=x+y$ と置き換え、rem-hf-integration の 1 と仮定を使うと$$u_\varepsilon(x)=\int_{B(0,\varepsilon)}u(x+y)\,g_\varepsilon(|y|)\,dV(y)=nV(B)\int_0^\varepsilon\rho^{n-1}g_\varepsilon(\rho)\Bigl(\int_Su(x+\rho\zeta)\,d\sigma(\zeta)\Bigr)d\rho=u(x)\,nV(B)\int_0^\varepsilon\rho^{n-1}g_\varepsilon(\rho)\,d\rho$$であり、最後の積分因子は同じ公式で $\int\eta_\varepsilon\,dV=1$ に等しい。よって $\Omega_\varepsilon$ 上で $u=u_\varepsilon$ であり、$u$ は $\Omega_\varepsilon$ 上 $C^\infty$ 級である。$\Omega=\bigcup_{\varepsilon>0}\Omega_\varepsilon$ だから $u\in C^\infty(\Omega)$ である。

段 2（調和性）．実部と虚部に分けて $u$ は実数値としてよい。$a\in\Omega$ をとり、$\overline B(a,R)\subset\Omega$ とする。仮定から lem-hf-spherical-mean の $\phi$ は $[0,R]$ で定数 $u(a)$ なので $\phi'=0$、すなわち $0< r< R$ で $\int_{B(a,r)}\Delta u\,dV=0$ である。$\Delta u$ は連続だから、$r\to0$ として$$\Delta u(a)=\lim_{r\to0}\frac{1}{V(B)r^n}\int_{B(a,r)}\Delta u\,dV=0$$を得る。$\square$

$M':=\sup_\Omega u$（$+\infty$ も許す）とし、$u(x_k)\to M'$ となる点列 $x_k\in\Omega$ をとる。$\Omega$ は有界なので、部分列をとって $x_k\to x^*\in\overline\Omega$ としてよい。

$x^*\in\partial\Omega$ なら、仮定から $M'=\lim u(x_k)\le\limsup_{x\to x^*}u(x)\le M$ である。

$x^*\in\Omega$ なら、連続性から $u(x^*)=M'$ であり、$M'$ は有限で、$u$ は $x^*$ で最大値をとる。$x^*$ を含む $\Omega$ の連結成分 $W$ は連結な開集合なので、thm-hf-maximum-principle により $W$ 上で $u\equiv M'$ である。$W$ は有界で空でない開集合だから $\mathbb{R}^n$ 全体ではなく、境界点 $\xi\in\partial W$ がある（$\mathbb{R}^n$ は連結なので、空でも全体でもない開集合は閉集合でない）。$\xi$ は $\Omega$ の点ではない：もし $\xi\in\Omega$ なら、$\xi$ を含む連結成分は $W$ と交わる開集合なので $W$ に等しく、$\xi\in W$ となるが、開集合 $W$ の境界点は $W$ に属さない。よって $\xi\in\partial\Omega$ であり、$W$ の中から $\xi$ に近づけると $u=M'$ なので $M'\le\limsup_{x\to\xi}u(x)\le M$ である。

どちらの場合も $M'\le M$ である。最後の主張は、$M:=\max_{\partial\Omega}u$ とすれば $u$ の連続性から仮定が成り立つことによる。$\square$

$\overline B(a,r)\subset\Omega$ とすると、thm-hf-mean-value により $\partial B(a,r)$ 上の $u$ の平均は $0$ である。したがって $u$ は $\partial B(a,r)$ 上で恒等的に $0$ であるか、正の値と負の値の両方をとる。後者の場合、球面 $\partial B(a,r)$ は連結なので（$n\ge2$）、中間値の定理により $\partial B(a,r)$ 上に零点がある。いずれにせよ、十分小さいすべての $r>0$ について $\partial B(a,r)$ 上に零点がある。$\square$

$k$ についての帰納法で示す。

$k=1$ のとき、$\alpha$ は $i$ 番目の座標の 1 階偏微分 $\partial_i$ である。cor-hf-smooth により $\partial_iu$ は調和なので、$0<\rho< R$ について thm-hf-mean-value の球上の平均の式と発散定理（rem-hf-integration の 3、$w=u\,e_i$）から$$\partial_iu(a)=\frac{1}{V(B)\rho^n}\int_{B(a,\rho)}\partial_iu\,dV=\frac{1}{V(B)\rho^n}\int_{\partial B(a,\rho)}u\,\nu_i\,dS$$である。$|u\,\nu_i|\le M$ と $\partial B(a,\rho)$ の面積 $nV(B)\rho^{n-1}$ から $|\partial_iu(a)|\le nM/\rho$ であり、$\rho\to R$ として $|\partial_iu(a)|\le nM/R$ を得る。

$k\ge2$ とし、$k-1$ まで主張が正しいとする。$\alpha=e_i+\beta$、$|\beta|=k-1$ と分け、$\rho:=R/k$ とおく。$y\in B(a,\rho)$ なら $B(y,R-\rho)\subset B(a,R)$ なので、帰納法の仮定を $y$ を中心とする半径 $R-\rho=R(k-1)/k$ の球に当てはめて$$|D^\beta u(y)|\le M\Bigl(\frac{n(k-1)}{R(k-1)/k}\Bigr)^{k-1}=M\Bigl(\frac{nk}{R}\Bigr)^{k-1}$$である。$D^\beta u$ は調和なので、$k=1$ の場合を $D^\beta u$ と球 $B(a,\rho)$ に当てはめると$$|D^\alpha u(a)|=|\partial_i(D^\beta u)(a)|\le\frac{n}{\rho}\cdot M\Bigl(\frac{nk}{R}\Bigr)^{k-1}=M\Bigl(\frac{nk}{R}\Bigr)^k$$となる。$\square$

$k$ を $p$ より大きい最小の整数とする。$|\alpha|=k$、$a\in\mathbb{R}^n$、$R>0$ について、$B(a,R)$ 上で $|u|\le A\bigl(1+(|a|+R)^p\bigr)$ だから、thm-hf-derivative-estimate より$$|D^\alpha u(a)|\le A\bigl(1+(|a|+R)^p\bigr)\Bigl(\frac{nk}{R}\Bigr)^k\longrightarrow0\qquad(R\to\infty)$$である（$k>p$ による）。よって $k$ 階の偏導関数はすべて恒等的に $0$ である。$x$ を固定して $g(t):=u(tx)$ とおくと $g^{(k)}(t)=\sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha!}D^\alpha u(tx)\,x^\alpha=0$ なので、Taylorの定理により $u(x)=g(1)=\sum_{j< k}g^{(j)}(0)/j!=\sum_{|\alpha|< k}\frac{D^\alpha u(0)}{\alpha!}x^\alpha$ となり、$u$ は次数 $k-1$ 以下、すなわち $p$ 以下の多項式である。$\square$

$u$ はコンパクト集合上の一様収束極限なので連続である。$\overline B(a,r)\subset\Omega$ とすると、球面 $a+rS$ 上で $u_m\to u$ は一様だから、thm-hf-mean-value の等式 $u_m(a)=\int_Su_m(a+r\zeta)\,d\sigma$ で極限をとって $u(a)=\int_Su(a+r\zeta)\,d\sigma$ である。thm-hf-mean-value-converse により $u$ は調和である。$K\subset\Omega$ をコンパクト集合とし、$3R:=\operatorname{dist}(K,\mathbb{R}^n\setminus\Omega)$（$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら $R=1$）とおくと、$K_R:=\{x\mid\operatorname{dist}(x,K)\le R\}$ はコンパクトで $\Omega$ に含まれる。$a\in K$ なら $B(a,R)\subset K_R$ なので、thm-hf-derivative-estimate を調和関数 $u_m-u$ に当てはめて $|D^\alpha(u_m-u)(a)|\le\sup_{K_R}|u_m-u|\,(n|\alpha|/R)^{|\alpha|}$ であり、右辺は $a\in K$ によらず $0$ に収束する。$\square$

$y\in B(a,R)$ なら $B(y,R)\subset B(a,2R)$ なので、thm-hf-derivative-estimate から $|\alpha|=k$ のとき$$|D^\alpha u(y)|\le M\Bigl(\frac{nk}{R}\Bigr)^k\qquad(y\in B(a,R))$$である。また多項定理から $\sum_{|\alpha|=k}\frac{|h^\alpha|}{\alpha!}=\frac{(|h_1|+\dots+|h_n|)^k}{k!}\le\frac{(\sqrt n\,|h|)^k}{k!}$ であり、$e^k=\sum_j k^j/j!\ge k^k/k!$ から $k^k/k!\le e^k$ である。

絶対収束．上の 2 つの評価から$$\sum_{|\alpha|=k}\frac{|D^\alpha u(a)|}{\alpha!}|h^\alpha|\le M\Bigl(\frac{nk}{R}\Bigr)^k\frac{(\sqrt n|h|)^k}{k!}\le M\Bigl(\frac{e\,n^{3/2}|h|}{R}\Bigr)^k$$であり、$|h|< R/(e\,n^{3/2})$ なら右辺の $k$ についての和は収束する。

和が $u(a+h)$ に等しいこと．$|h|< R/(e\,n^{3/2})$ とし、$g(t):=u(a+th)$ とおく。$g$ は $C^\infty$ 級で $g^{(j)}(t)=\sum_{|\alpha|=j}\frac{j!}{\alpha!}D^\alpha u(a+th)h^\alpha$ である。1 変数の Lagrange 剰余つきの Taylorの定理 により、ある $\theta\in(0,1)$ について$$u(a+h)-\sum_{|\alpha|< k}\frac{D^\alpha u(a)}{\alpha!}h^\alpha=\frac{g^{(k)}(\theta)}{k!}=\sum_{|\alpha|=k}\frac{D^\alpha u(a+\theta h)}{\alpha!}h^\alpha$$である。$a+\theta h\in B(a,R)$ なので、右辺の絶対値は上と同じ計算で $M\bigl(e\,n^{3/2}|h|/R\bigr)^k$ 以下であり、$k\to\infty$ で $0$ に収束する。$\square$

平行移動して $a=0$ とする。$(x,y)\in D$ について、原点と $(x,0)$ を結ぶ線分と、$(x,0)$ と $(x,y)$ を結ぶ線分は $D$ に含まれる（どちらの線分の点も原点からの距離が $|(x,y)|$ 以下）ので$$v(x,y):=\int_0^yu_x(x,t)\,dt-\int_0^xu_y(s,0)\,ds$$が定まる。$u$ は $C^2$ 級なので、積分記号の下で微分して$$v_y=u_x,\qquad v_x=\int_0^yu_{xx}(x,t)\,dt-u_y(x,0)=-\int_0^yu_{yy}(x,t)\,dt-u_y(x,0)=-u_y(x,y)$$である（$u_{xx}=-u_{yy}$ を使った）。よって $u,v$ は $C^1$ 級で Cauchy–Riemann の方程式を満たし、正則関数 の記事の「Cauchy–Riemann の方程式」により $u+iv$ は正則である。$v$ の調和性は prop-hf-holomorphic-parts による。$v_1,v_2$ が両方とも共役調和関数なら、$i(v_1-v_2)=(u+iv_1)-(u+iv_2)$ は実部が $0$ の正則関数で、Cauchy–Riemann の方程式から $v_1-v_2$ の偏導関数は $0$ なので、連結な $D$ 上で定数である。$\square$

$f=u+iv$ が $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上で正則だとすると、Cauchy–Riemann の方程式から $f'=u_x+iv_x=u_x-iu_y=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac1z$ である。単位円周 $\gamma(t)=e^{it}$（$0\le t\le2\pi$）に沿って積分すると、$f$ は $f'$ の原始関数なので $\oint_\gamma f'(z)\,dz=f(\gamma(2\pi))-f(\gamma(0))=0$ である。一方 $\oint_\gamma\frac{dz}{z}=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}}\,dt=2\pi i\ne0$ で、矛盾する。$\square$