Hamiltonベクトル場
概要
Hamiltonベクトル場（Hamiltonian vector field）とは、シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ の上の滑らかな関数 $H$ に対し、$\iota_{X_H}\omega=dH$ で定まるベクトル場 $X_H$ である。Darboux 座標では積分曲線が Hamilton の運動方程式 $\dot x_i=\partial H/\partial y_i$、$\dot y_i=-\partial H/\partial x_i$ の解になり、$H$ は積分曲線の上で一定で、流れは $\omega$ を保つ。$\omega$ を保つベクトル場は局所的には Hamilton ベクトル場で、$M$ のすべてのそのようなベクトル場が Hamilton ベクトル場であることは $H^1_{dR}(M)=0$ と同値である。$H$ が固有写像なら流れは完備である。
前提知識: シンプレクティック多様体, Poisson括弧, Lie微分, de Rhamコホモロジー
Hamilton ベクトル場（Hamiltonian vector field）とは、シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ の上の滑らかな関数 $H$ に対し、
$$
\omega(X_H,\cdot)=dH
$$
で定まるベクトル場 $X_H$ のことである。古典力学では $M$ が相空間（位置 $q$ と運動量 $p$ の空間）、$H$ がエネルギーで、$\omega=\sum_idq_i\wedge dp_i$ のとき $X_H$ の積分曲線が Hamilton の運動方程式
$$
\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}
$$
の解になる。Riemann 多様体の勾配ベクトル場 $\operatorname{grad}H$ は計量 $g$ を使って $g(\operatorname{grad}H,\cdot)=dH$ で定まり、$H$ が最も速く増える向きを指す。Hamilton ベクトル場は計量の代わりに交代的な形式 $\omega$ を使うので、向きが「$H$ の等位集合に沿う」向きになり、$H$ は流れに沿って変化しない。
この記事では、Hamilton ベクトル場を定義して Darboux 座標での形と典型例を述べ、流れがシンプレクティック形式を保つこと、シンプレクティック形式を保つベクトル場が局所的には Hamilton ベクトル場であり、大域的にそうなるための障害が 1 次の de Rham コホモロジーにあることを示す。さらに、$H$ が固有写像なら流れが全時間で定義されること、2 つのシンプレクティックベクトル場の Lie 括弧がいつも Hamilton ベクトル場になることを証明する。
定義
以下、$(M,\omega)$ を $2n$ 次元のシンプレクティック多様体とする（シンプレクティック多様体）。すなわち $\omega$ は閉じた 2 次微分形式で、各点 $p$ で $\omega_p$ は $T_pM$ の非退化な交代形式である。多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で境界のないものとし、関数とベクトル場は滑らか（$C^\infty$ 級）とする。ベクトル場 $X$ による内部積を $\iota_X$ と書く（$\iota_X\omega=\omega(X,\cdot)$）。
$H\in C^\infty(M)$ に対し、
$$
\iota_{X_H}\omega=dH\qquad(\text{すなわち、すべてのベクトル場 }Y\text{ について }\omega(X_H,Y)=dH(Y)=YH)
$$
を満たすベクトル場 $X_H$ を、$H$ の Hamilton ベクトル場 という。ベクトル場 $X$ が Hamilton ベクトル場（大域的に Hamilton）であるとは、ある $H\in C^\infty(M)$ で $X=X_H$ となることをいい、このような $H$ を $X$ の Hamilton 関数 という。組 $(M,\omega,H)$ を Hamilton 系、$X_H$ の流れを Hamilton の流れ という。
$\omega_p$ は非退化なので、$v\mapsto\omega_p(v,\cdot)$ は $T_pM$ から $T_p^*M$ への線形同型であり、$X_H(p)$ はただ 1 つに定まる。局所座標では、$X_H$ の成分は $\omega$ の成分の行列（正則で、成分は滑らか）の逆行列を $dH$ の成分に掛けたものなので、$X_H$ は滑らかである。定義から次がわかる。
- $H\mapsto X_H$ は線形で、$X_{fg}=fX_g+gX_f$ である（$\iota_{fX_g+gX_f}\omega=f\,dg+g\,df=d(fg)$）。
- $X_H=0$ であることは $dH=0$、すなわち $H$ が局所定数（各連結成分の上で定数）であることと同値である。とくに Hamilton 関数は、各連結成分ごとの定数の差を除いて一意である。
- $X_H$ の零点は、$dH_p=0$ となる点、すなわち $H$ の 臨界点 である。
符号の規約は文献によって異なり、$\iota_{X_H}\omega=-dH$ と定める本もある。この記事は シンプレクティック多様体・Poisson括弧 の記事、Lee13 p. 574、CdS06 Definition 18.1（p. 105）と同じ規約をとる。
$M$ の局所座標 $(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)$ で $\omega=\sum_idx_i\wedge dy_i$ となるもの（Darboux 座標）の上で、
$$
X_H=\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{\partial H}{\partial y_i}\frac{\partial}{\partial x_i}-\frac{\partial H}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial y_i}\Bigr)
$$
である。したがって曲線 $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ が $X_H$ の積分曲線であることは、Hamilton の運動方程式
$$
\dot x_i=\frac{\partial H}{\partial y_i}(x,y),\qquad\dot y_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i}(x,y)\qquad(i=1,\dots,n)
$$
と同値である。
$X=\sum_i(a_i\,\partial/\partial x_i+b_i\,\partial/\partial y_i)$ とおくと、$\iota_X(dx_i\wedge dy_i)=a_i\,dy_i-b_i\,dx_i$ なので $\iota_X\omega=\sum_i(a_i\,dy_i-b_i\,dx_i)$ である。これが $dH=\sum_i(\partial_{x_i}H\,dx_i+\partial_{y_i}H\,dy_i)$ に等しいことは、$a_i=\partial H/\partial y_i$、$b_i=-\partial H/\partial x_i$ と同値である。後半は積分曲線の定義 $\dot\gamma=X_H(\gamma)$ を成分で書いたものである。$\square$
Darboux の定理（シンプレクティック多様体 の定理「Darboux の定理」）により、どの点のまわりにも Darboux 座標があるので、Hamilton ベクトル場は局所的にはいつでも上の式で計算できる。同じ式は Poisson括弧 の命題「Darboux 座標での表示」にもあり、Lee13 (22.9)（p. 575）、CdS06 §18.2（p. 107）にあたる。
$\mathbb{R}^{2n}$ に標準の内積を入れ、$J\partial_{x_i}=\partial_{y_i}$、$J\partial_{y_i}=-\partial_{x_i}$ とおくと、上の式から
$$
J X_H=\sum_i\Bigl(\frac{\partial H}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i}+\frac{\partial H}{\partial y_i}\frac{\partial}{\partial y_i}\Bigr)=\operatorname{grad}H
$$
である。$J^2=-1$ なので $X_H=-J\operatorname{grad}H$ であり、$J$ は各 $(x_i,y_i)$ 平面の $90^\circ$ 回転なので、Hamilton ベクトル場は勾配と直交する。
例
- 調和振動子：$\mathbb{R}^2$（座標 $(x,y)$、$\omega=dx\wedge dy$）で $H=\frac12(x^2+y^2)$ とおくと、$X_H=y\,\partial_x-x\,\partial_y$ である。$(x_0,y_0)$ を通る積分曲線は
$$ \varphi_t(x_0,y_0)=(x_0\cos t+y_0\sin t,\ -x_0\sin t+y_0\cos t) $$
で（$t$ で微分すると $\dot x=y$、$\dot y=-x$）、流れは原点のまわりの時計回りの回転であり、円 $x^2+y^2=$ 一定 を保つ。 - 振り子：$\mathbb{R}^2$ で $H=\frac12y^2-\cos x$ とおくと、$\dot x=y$、$\dot y=-\sin x$、すなわち $\ddot x=-\sin x$ である。$x$ は振り子の角度、$y$ は角速度にあたる。$X_H$ の零点は $(k\pi,0)$（$k\in\mathbb{Z}$）で、$H$ の臨界点に一致する。
- Newton の運動方程式：$\mathbb{R}^{2n}=T^*\mathbb{R}^n$（座標 $(q,p)$、$\omega=\sum_idq_i\wedge dp_i$）で、$m>0$ と滑らかな関数 $V\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ について $H=\frac1{2m}\lvert p\rvert^2+V(q)$ とおく。$(q,p)$ は Darboux 座標なので、Hamilton の運動方程式は $\dot q=p/m$、$\dot p=-\nabla V(q)$ であり、$q$ について $m\ddot q=-\nabla V(q)$（Newton の運動方程式）と同値である。
- 球面の回転：単位球面 $S^2\subset\mathbb{R}^3$ に面積形式 $\omega$（外向きの法線で向きを入れた面積要素）を入れる。極を除いた部分の座標 $(\theta,h)$、$(\sqrt{1-h^2}\cos\theta,\sqrt{1-h^2}\sin\theta,h)$ では $\omega=d\theta\wedge dh$ である。高さ関数 $H=h$ について $\iota_{\partial_\theta}(d\theta\wedge dh)=dh$ なので $X_H=\partial_\theta$ であり、これは $\mathbb{R}^3$ の成分で $(-y,x,0)$ と書けて極では $0$ になる。流れは $z$ 軸のまわりの回転で、零点は北極と南極、すなわち $h$ の最大点と最小点である。
4 の面積形式の確かめを開く
4 の $\omega=d\theta\wedge dh$ は、$\partial_\theta=(-r\sin\theta,r\cos\theta,0)$、$\partial_h=(-\frac hr\cos\theta,-\frac hr\sin\theta,1)$（$r=\sqrt{1-h^2}$）が直交し、長さが $r$ と $1/r$ なので面積要素が $d\theta\,dh$ になることと、$(\theta,h)=(0,0)$ で法線 $(1,0,0)$、$\partial_\theta$、$\partial_h$ が正の向きに並ぶことからわかる（Archimedes の定理：球面の帯の面積は高さの差に比例する）。この例は CdS06 pp. 105–106 にある。
流れとシンプレクティック形式
ベクトル場 $X$ が シンプレクティックベクトル場 であるとは、$\mathcal{L}_X\omega=0$ であることをいう（$\mathcal{L}_X$ は Lie微分）。$X$ が 局所 Hamilton ベクトル場 であるとは、各点 $p$ に開近傍 $U$ と $H_U\in C^\infty(U)$ があって、$U$ の上で $X=X_{H_U}$（$(U,\omega|_U)$ での Hamilton ベクトル場）となることをいう。
Lie微分 の命題「流れによる不変性と Lie 微分」により、$X$ がシンプレクティックベクトル場であることは、$X$ の流れ $\varphi_t$ が定義される範囲で $\varphi_t^*\omega=\omega$ となることと同値である。
$X$ を $M$ の上のベクトル場とする。
- $\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)$ である。したがって、$X$ がシンプレクティックベクトル場であることと、1 次形式 $\iota_X\omega$ が閉形式であることは同値である。
- Hamilton ベクトル場はシンプレクティックベクトル場である。とくに $X_H$ の流れ $\varphi_t$ は、定義される範囲で $\varphi_t^*\omega=\omega$、$\varphi_t^*(\omega^n)=\omega^n$ を満たす。
- $X$ がシンプレクティックベクトル場であることと、局所 Hamilton ベクトル場であることは同値である。
- $M$ のすべてのシンプレクティックベクトル場が Hamilton ベクトル場であることは、$H^1_{dR}(M)=0$ と同値である。
1．Lie微分 の定理「Cartan の公式」と $d\omega=0$ により $\mathcal{L}_X\omega=d\iota_X\omega+\iota_Xd\omega=d(\iota_X\omega)$ である。
2．$\iota_{X_H}\omega=dH$ は閉形式（$d(dH)=0$）なので、1 により $\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$ であり、定義の後の段落から $\varphi_t^*\omega=\omega$ である。引き戻しは外積を保つので $\varphi_t^*(\omega^n)=(\varphi_t^*\omega)^n=\omega^n$ である。
3．$X$ が局所 Hamilton ベクトル場なら、各点の近傍 $U$ の上で $\iota_X\omega=dH_U$ は閉形式である。閉形式であることは各点の近傍で決まるので $\iota_X\omega$ は閉形式で、1 により $X$ はシンプレクティックベクトル場である。逆に $\iota_X\omega$ が閉形式であるとする。点 $p$ のまわりの座標 $\psi\colon U\to\mathbb{R}^{2n}$ で、像が原点中心の開球（星型の開集合）になるものをとる。引き戻しは外微分と可換なので $(\psi^{-1})^*(\iota_X\omega)$ は開球の上の閉形式であり、de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」の 2 により完全形式 $dh$ である。$H_U:=h\circ\psi$ とおくと $U$ の上で $\iota_X\omega=dH_U$ であり、$\omega$ の非退化性による一意性から $X=X_{H_U}$ である。
4．$H^1_{dR}(M)=0$ とし、$X$ をシンプレクティックベクトル場とする。1 により $\iota_X\omega$ は閉形式なので、ある $H\in C^\infty(M)$ で $\iota_X\omega=dH$ となり、一意性から $X=X_H$ である。逆に、すべてのシンプレクティックベクトル場が Hamilton ベクトル場であるとし、$\alpha$ を閉じた 1 次形式とする。$\iota_X\omega=\alpha$ となるベクトル場 $X$ が（$X_H$ と同じ理由で）ただ 1 つあり、1 により $\mathcal{L}_X\omega=d\alpha=0$ である。仮定から $X=X_H$ となる $H$ があり、$\alpha=\iota_{X_H}\omega=dH$ は完全形式である。よって $H^1_{dR}(M)=0$ である。$\square$
2 の $\omega^n$ の保存は、相空間の体積が時間発展で変わらないという Liouville の定理にあたる（シンプレクティック多様体 の命題「Hamilton の流れの保存則」も参照）。4 の条件は、たとえば $M=\mathbb{R}^{2n}$ で満たされる（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」の 3）。一般には、シンプレクティックベクトル場が Hamilton ベクトル場とは限らない（ex-hvf-counterexamples の 1 行目のトーラス）。この定理の 3・4 は Lee13 Proposition 22.17（pp. 575–576）と同じ主張である。CdS06 §18.1（pp. 105–106）は 1〜3 と、4 のうち $H^1_{dR}(M)=0$ ならすべてのシンプレクティックベクトル場が Hamilton ベクトル場であるという向きを述べている。1 の式は Lee13 (22.10)（p. 575）である。
等位集合と保存量
$H\in C^\infty(M)$ とする。
- $X_HH=0$ である。したがって $H$ は $X_H$ の各積分曲線の上で一定である。
- $dH_p\ne0$ となる点 $p$（$H$ の正則点）では $X_H(p)\ne0$ であり、$X_H(p)$ は $\ker dH_p$、すなわち $p$ の近くでの等位集合 $H^{-1}(H(p))$（超曲面）の接空間に属する。
- $n\ge1$ で、$M$ が空でなくコンパクトなら、$X_H$ は少なくとも 2 つの零点をもつ。
1．$X_HH=dH(X_H)=\omega(X_H,X_H)=0$（$\omega$ は交代的）である。積分曲線 $\gamma$ について、連鎖律から $\frac{d}{dt}H(\gamma(t))=dH(\dot\gamma(t))=(X_HH)(\gamma(t))=0$ である。
2．$\omega_p(X_H(p),\cdot)=dH_p\ne0$ なので $X_H(p)\ne0$ である。$dH_p(X_H(p))=0$ は 1 による。$dH_p\ne0$ なら、陰関数定理により $p$ の近くの $H^{-1}(H(p))$ は $M$ の超曲面で、その $p$ での接空間は $\ker dH_p$ である。
3．$X_H$ の零点は $H$ の臨界点である（定義の後の注意）。$n\ge1$ より $\dim M=2n\ge2$ なので、臨界点 の系「コンパクトな多様体の上の関数の臨界点」により $H$ は少なくとも 2 つの臨界点をもつ。$\square$
1 はエネルギー保存則である。一般の関数 $f$ が積分曲線に沿ってどう変わるかは Poisson括弧 の命題「時間発展の式」が述べ、$\frac{d}{dt}f(\gamma(t))=\{f,H\}(\gamma(t))$ である（$\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)$）。とくに $f$ が保存量（すべての積分曲線の上で一定）であることは $\{f,H\}=0$ と同値である。1 の主張は Lee13 Proposition 22.16（p. 575）である。
勾配ベクトル場の流れでは $H$ が増え続けるのに対し、Hamilton の流れは $H$ の等位集合の中を動く。この違いから、次の完備性の判定が出る。
$H\colon M\to\mathbb{R}$ が固有写像（任意のコンパクト集合の逆像がコンパクト）であるとする。とくに $M$ がコンパクトならこれが成り立つ。このとき $X_H$ は完備（すべての積分曲線が $\mathbb{R}$ 全体で定義される）であり、その流れ $\{\varphi_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ は、$\varphi_0=\mathrm{id}$、$\varphi_{s+t}=\varphi_s\circ\varphi_t$、$\varphi_t^*\omega=\omega$、$H\circ\varphi_t=H$ を満たすシンプレクティック同相写像の族である。
$p\in M$ を通る極大な積分曲線を $\gamma\colon J\to M$（$J$ は $0$ を含む開区間）とする。prop-hvf-level の 1 により $\gamma(J)\subset H^{-1}(H(p))$ であり、$H$ が固有なのでこれはコンパクトである。$b:=\sup J< \infty$ と仮定すると、脱出補題（Lee13 Lemma 9.19、p. 217：上限が有限な極大積分曲線は、$t_0\in J$ について $\gamma([t_0,b))$ がどのコンパクト集合にも含まれない）に反する。下限も同様で、$J=\mathbb{R}$ である。完備なベクトル場の流れは $\varphi_0=\mathrm{id}$、$\varphi_{s+t}=\varphi_s\circ\varphi_t$ を満たし、各 $\varphi_t$ は逆写像 $\varphi_{-t}$ をもつ微分同相写像である。thm-hvf-symplectic の 2 と prop-hvf-level の 1 から $\varphi_t^*\omega=\omega$、$H\circ\varphi_t=H$ である。$M$ がコンパクトなら、閉集合の逆像は閉集合でコンパクトなので $H$ は固有である。$\square$
固有性は十分条件で、必要条件ではない。調和振動子の $H=\frac12(x^2+y^2)$ や、ex-hvf-examples の 3 で $V$ が下に有界な固有写像の場合の $H=\frac1{2m}\lvert p\rvert^2+V(q)$ は固有で、流れは完備である。振り子の $H=\frac12y^2-\cos x$ は $x$ 方向に固有でないが、等位集合 $H=c$ の上では $\lvert\dot x\rvert=\lvert y\rvert\le\sqrt{2(c+1)}$、$\lvert\dot y\rvert\le1$ と速さが有界なので、積分曲線は有限時間で発散せず、流れは完備である。一方、固有でない $H$ では流れが完備とは限らない（ex-hvf-counterexamples の 2 行目）。
Lie 括弧
ベクトル場の Lie 括弧は $[X,Y]h=X(Yh)-Y(Xh)$ とする（Lie括弧）。2 つのシンプレクティックベクトル場の Lie 括弧は、シンプレクティックであるだけでなく、つねに Hamilton ベクトル場になる。
$X,Y$ をシンプレクティックベクトル場とすると、
$$
[X,Y]=X_{\omega(Y,X)}
$$
である。とくに $[X,Y]$ は Hamilton ベクトル場である。$Y=X_f$（$f\in C^\infty(M)$）のときは $[X,X_f]=X_{Xf}$ である。
$\alpha:=\iota_Y\omega$ とおく。thm-hvf-symplectic の 1 により $\alpha$ は閉形式である。ベクトル場 $Z$ をとる。Lie微分 の命題「テンソル場の Lie 微分の公式」を 2 次形式 $\omega$ に当てると、$\mathcal{L}_X\omega=0$ から
$$
0=(\mathcal{L}_X\omega)(Y,Z)=X\bigl(\omega(Y,Z)\bigr)-\omega([X,Y],Z)-\omega(Y,[X,Z])
$$
であり、$\omega([X,Y],Z)=X\bigl(\alpha(Z)\bigr)-\alpha([X,Z])$ を得る。同じ命題を 1 次形式 $\alpha$ に当てると、右辺は $(\mathcal{L}_X\alpha)(Z)$ である。Cartan の公式（Lie微分 の定理「Cartan の公式」）と $d\alpha=0$ から $\mathcal{L}_X\alpha=d(\iota_X\alpha)+\iota_Xd\alpha=d\bigl(\alpha(X)\bigr)=d\bigl(\omega(Y,X)\bigr)$ である。よって $\iota_{[X,Y]}\omega=d\bigl(\omega(Y,X)\bigr)$ であり、一意性から $[X,Y]=X_{\omega(Y,X)}$ である。$Y=X_f$ なら $\omega(X_f,X)=df(X)=Xf$ である。$\square$
$X=X_f$、$Y=X_g$ とすると $\omega(X_g,X_f)=\{g,f\}=-\{f,g\}$ なので、$[X_f,X_g]=X_{-\{f,g\}}=-X_{\{f,g\}}$ となり、Poisson括弧 の系「Hamilton ベクトル場の Lie 括弧」（そこでは Jacobi 恒等式から導いている）と一致する。この命題により、シンプレクティックベクトル場の全体 $\mathfrak{X}_\omega(M)$ はベクトル場の Lie 環の部分 Lie 環で、Hamilton ベクトル場の全体 $\mathfrak{X}_{\mathrm{Ham}}(M)$ は $\mathfrak{X}_\omega(M)$ のイデアルであり、$[\mathfrak{X}_\omega(M),\mathfrak{X}_\omega(M)]\subset\mathfrak{X}_{\mathrm{Ham}}(M)$ が成り立つ。CdS06 Proposition 18.3・Corollary 18.4（p. 108）にあたる。
$f,H\in C^\infty(M)$ について、次は同値である。
- $f$ は $X_H$ の各積分曲線の上で一定である（$f$ は $H$ の保存量）。
- $H$ は $X_f$ の各積分曲線の上で一定である（$H$ は $f$ の Hamilton の流れで不変）。
- $\{f,H\}=0$。
このとき $[X_H,X_f]=0$ である。
$X_Hf=df(X_H)=\omega(X_f,X_H)=\{f,H\}$、$X_fH=dH(X_f)=\omega(X_H,X_f)=-\{f,H\}$ である。1 は「すべての積分曲線の上で $f$ の微分が $0$」なので $X_Hf=0$ と同値であり（各点を通る積分曲線の $t=0$ の微分を見ればよい）、同様に 2 は $X_fH=0$ と同値である。よって 1・2・3 は同値である。このとき prop-hvf-bracket により $[X_H,X_f]=X_{X_Hf}=X_{\{f,H\}}=X_0=0$ である。$\square$
たとえば Poisson括弧 の例「角運動量」の中心力の場合、$H$ は角運動量 $L_3=q_1p_2-q_2p_1$ の流れ（$q$ と $p$ を同時に $z$ 軸のまわりに回す回転）で不変であり、それが $L_3$ の保存と同値である。回転対称性が角運動量の保存を生む、という Noether の定理の Hamilton 系での形である。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $H^1_{dR}(M)=0$（thm-hvf-symplectic の 4） | トーラス $T^2$ の $\partial_{\theta_1}$ | シンプレクティックベクトル場は Hamilton ベクトル場である |
| $H$ が固有（prop-hvf-complete） | $\mathbb{R}^2$ の $H=x^2y$ | $X_H$ は完備である |
| $\omega$ が閉形式（非退化は残す） | $\{x_1>-1\}\subset\mathbb{R}^4$ の $dx_1\wedge dy_1+(1+x_1)\,dx_2\wedge dy_2$ と $H=y_1$ | Hamilton の流れは $\omega$ を保つ |
| $\omega$ が非退化（閉形式は残す） | $\mathbb{R}^4$ の $dx_1\wedge dy_1$ と $H=x_2$ | $\iota_X\omega=dH$ となる $X$ がある |
確かめを開く
1 行目：$T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ に座標 $(\theta_1,\theta_2)$ から $\omega=d\theta_1\wedge d\theta_2$ を入れる（平行移動で不変なので well-defined）。$X=\partial_{\theta_1}$ について $\iota_X\omega=d\theta_2$ は閉形式なので、thm-hvf-symplectic の 1 により $X$ はシンプレクティックベクトル場である。$X=X_H$ なら $dH=d\theta_2$ で、閉曲線 $\sigma(s)=(0,s)$（$0\le s\le1$）に沿って積分すると $\int_\sigma dH=H(\sigma(1))-H(\sigma(0))=0$ だが $\int_\sigma d\theta_2=1$ となり矛盾する。よって $X$ は Hamilton ベクトル場でない。$H^1_{dR}(T^2)\ne0$ であり、仮定の 4 が外れている。なお局所的には $X=X_{\theta_2}$（$\theta_2$ を局所的な関数とみる）であり、thm-hvf-symplectic の 3 のとおり局所 Hamilton ベクトル場である。
2 行目：$\omega=dx\wedge dy$、$H=x^2y$ とすると、prop-hvf-darboux により $X_H=x^2\partial_x-2xy\,\partial_y$ である。$(1,0)$ を通る積分曲線は $\gamma(t)=\bigl(1/(1-t),0\bigr)$（$t< 1$）で、$\dot x=x^2$、$\dot y=-2xy=0$ を満たし、$t\to1$ で発散するので $t\ge1$ に延びない。$H^{-1}(0)$ は 2 本の座標軸の和でコンパクトでなく、$H$ は固有でない。
3 行目：$c:=1+x_1>0$ とおくと、$\omega$ は各点で非退化だが $d\omega=dx_1\wedge dx_2\wedge dy_2\ne0$ である。$X=\partial_{x_1}$ について $\iota_X\omega=dy_1=dH$ なので、$X$ は $\iota_X\omega=dH$ を満たす（非退化なのでただ 1 つ）。その流れ $\varphi_t(x_1,y_1,x_2,y_2)=(x_1+t,y_1,x_2,y_2)$ について $\varphi_t^*\omega=dx_1\wedge dy_1+(1+x_1+t)\,dx_2\wedge dy_2\ne\omega$（$t\ne0$）である。thm-hvf-symplectic の 1 の計算 $\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)$ は $d\omega=0$ を使っており、ここでは $\mathcal{L}_X\omega=\iota_Xd\omega=dx_2\wedge dy_2\ne0$ となる。
4 行目：$X=\sum_i(a_i\partial_{x_i}+b_i\partial_{y_i})$ について $\iota_X(dx_1\wedge dy_1)=a_1\,dy_1-b_1\,dx_1$ は $dx_1,dy_1$ の 1 次結合なので、$dH=dx_2$ に等しくなりえない。$\partial_{x_2}$ は $\omega$ の核に入り、$\omega$ は退化している。
補足
- 時間に依存する Hamilton 関数：$H_t$ が時刻 $t$ にも滑らかに依存するとき、各時刻の $X_{H_t}$ がつくる時間依存のベクトル場の流れも、時間に依存する流れについての Lie 微分の公式を使うと、thm-hvf-symplectic の 2 と同じようにシンプレクティック同相写像になる（この記事では証明しない）。こうして得られる写像を Hamilton 同相写像といい、その固定点の個数についての Arnold 予想と Floer ホモロジーは Floer理論 で扱う。
- 完全可積分系：$2n$ 次元のシンプレクティック多様体の上で、$H$ を含む $n$ 個の互いに Poisson 可換な関数が独立なら、その等位集合のコンパクトで連結な成分はトーラスで、$X_H$ の流れはその上の直線運動になる（Liouville–Arnoldの定理）。cor-hvf-noether により、これらの関数の Hamilton ベクトル場は互いに可換である。
- 文献：定義と Darboux 座標での式は Lee13 pp. 574–575（(22.9)）、CdS06 Definition 18.1（p. 105）と §18.2（p. 107）、Hamilton の運動方程式は Lee13 (22.11)（p. 576）、エネルギー保存は Lee13 Proposition 22.16（p. 575）、シンプレクティックベクトル場との関係は Lee13 Proposition 22.17（pp. 575–576）と CdS06 Definition 18.2（p. 106）、球面とトーラスの例は CdS06 pp. 105–106、Lie 括弧は CdS06 Proposition 18.3・Corollary 18.4（p. 108）による。完備性の判定は脱出補題（Lee13 Lemma 9.19、p. 217）から、保存量と対称性の同値は定義から直接示した。
関連項目
- 前提: シンプレクティック多様体, Poisson括弧, Lie微分, de Rhamコホモロジー
- 比較: 臨界点, 余接束
- 直後に読む: Liouville–Arnoldの定理, Floer理論
- 発展: シンプレクティック幾何学, Morse理論
参考文献
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