Wittenbauerの平行四辺形

方針：$E$ を原点とすると、$A$、$C$ は対角線 $AC$ の向きの直線の上に、$B$、$D$ は対角線 $BD$ の向きの直線の上にある。平面の点を「$AC$ の向きの成分」と「$BD$ の向きの成分」の 2 つの数で表すと、4 本の直線はどれも、片方の成分が一定の直線になる。
段 1（座標をとる）。$E$ を原点とし、$\vec p=\overrightarrow{AC}$、$\vec q=\overrightarrow{BD}$ とおく。$\vec p$、$\vec q$ は $\vec 0$ でなく平行でないので、平面のどのベクトルも $x\vec p+y\vec q$（$x$、$y$ は実数）とただ 1 通りに書ける（位置ベクトルと内分点）。$A$、$C$ は $E$ を通る直線 $AC$ の上にあるので、実数 $\alpha$、$\gamma$ を使って $\vec a=\alpha\vec p$、$\vec c=\gamma\vec p$ と書ける。同じく $\vec b=\beta\vec q$、$\vec d=\delta\vec q$ と書ける。$\vec c-\vec a=\vec p$ から $\gamma-\alpha=1$、$\vec d-\vec b=\vec q$ から $\delta-\beta=1$ である。
段 2（$\ell_B$ と $\ell_D$）。$\ell_B$ が通る 2 点は
$$ \frac{\vec a+2\vec b}3=\frac\alpha3\vec p+\frac{2\beta}3\vec q,\qquad \frac{2\vec b+\vec c}3=\frac\gamma3\vec p+\frac{2\beta}3\vec q $$
で、$\vec q$ の係数がどちらも $\dfrac{2\beta}3$ である。2 点の差は $\dfrac{\gamma-\alpha}3\vec p=\dfrac13\vec p\ne\vec 0$ なので、$\ell_B$ は $\vec p$ に平行、つまり対角線 $AC$ に平行で、$\ell_B$ の点はどれも $\vec q$ の係数が $\dfrac{2\beta}3$ である。$\ell_D$ が通る 2 点 $\dfrac{\vec c+2\vec d}3$、$\dfrac{2\vec d+\vec a}3$ も同じく $\vec q$ の係数が $\dfrac{2\delta}3$ で、$\ell_D$ は $AC$ に平行である。
段 3（$\ell_A$ と $\ell_C$）。$\ell_A$ が通る 2 点は
$$ \frac{2\vec a+\vec b}3=\frac{2\alpha}3\vec p+\frac\beta3\vec q,\qquad \frac{2\vec a+\vec d}3=\frac{2\alpha}3\vec p+\frac\delta3\vec q $$
で、$\vec p$ の係数がどちらも $\dfrac{2\alpha}3$ である。差は $\dfrac{\delta-\beta}3\vec q=\dfrac13\vec q$ なので、$\ell_A$ は対角線 $BD$ に平行である。同じく $\ell_C$ の点はどれも $\vec p$ の係数が $\dfrac{2\gamma}3$ で、$\ell_C$ は $BD$ に平行である。
段 4（平行四辺形と頂点）。段 2・段 3 から、4 本の直線は
$$ \ell_A\colon x=\frac{2\alpha}3,\qquad \ell_C\colon x=\frac{2\gamma}3,\qquad \ell_B\colon y=\frac{2\beta}3,\qquad \ell_D\colon y=\frac{2\delta}3 $$
（点 $x\vec p+y\vec q$ の係数についての式）である。$\alpha\ne\gamma$、$\beta\ne\delta$ なので、$\ell_A$ と $\ell_C$ は異なる平行な 2 本、$\ell_B$ と $\ell_D$ も異なる平行な 2 本で、4 本は平行四辺形を作る。$\ell_A$ と $\ell_B$ の交点は $x=\dfrac{2\alpha}3$、$y=\dfrac{2\beta}3$ の点
$$ \frac{2\alpha}3\vec p+\frac{2\beta}3\vec q=\frac23(\alpha\vec p+\beta\vec q)=\frac23(\vec a+\vec b) $$
である。残りの 3 つの頂点も同じである。
段 5（中心）。平行四辺形の中心は、向かい合う頂点 $\dfrac23(\vec a+\vec b)$ と $\dfrac23(\vec c+\vec d)$ の中点で、$\dfrac13(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)$ である。$\square$

thm-wb-para の (ii) により、Wittenbauer の平行四辺形の 4 頂点は、Varignon の平行四辺形の 4 頂点 $\dfrac12(\vec a+\vec b)$、$\dfrac12(\vec b+\vec c)$、$\dfrac12(\vec c+\vec d)$、$\dfrac12(\vec d+\vec a)$ を、$E$ を中心に $\dfrac43$ 倍した点である。$\dfrac43$ 倍の拡大は面積を $\left(\dfrac43\right)^2=\dfrac{16}9$ 倍にする。Varignon の平行四辺形の面積は四角形 $ABCD$ の面積の $\dfrac12$ である（Varignonの定理 の定理「Varignon の定理」、単純な四角形の場合）。よって Wittenbauer の平行四辺形の面積は、四角形 $ABCD$ の面積の $\dfrac{16}9\cdot\dfrac12=\dfrac89$ である。$\square$

方針：四角形を対角線 $AC$ で 2 つの三角形に分け、lem-wb-plate で重心を書く。対角線の交点 $E$ が線分 $BD$ を面積の比 $S_1:S_2$ に内分することを使うと、thm-wb-para の (iii) の中心の式と一致する。
段 1（分け方と $E$ の位置）。頂点の名前を $A\to B\to C\to D\to A$ の順にずらしても、四角形も Wittenbauer の平行四辺形も変わらない。そこで、対角線 $AC$ が四角形を三角形 $ABC$ と三角形 $ACD$ に分けるように名前をつける。2 つの三角形は直線 $AC$ の反対側にあるので、$B$ と $D$ は直線 $AC$ の反対側にある。よって線分 $BD$ は直線 $AC$ と交わり、その交点が $E$ である。$E$ は線分 $BD$ の上の、$B$ とも $D$ とも異なる点である。
段 2（面積の比）。$S_1=\triangle ABC$、$S_2=\triangle ACD$ とする。2 つの三角形は底辺 $AC$ を共有するので、面積の比は $B$、$D$ から直線 $AC$ までの距離の比である。直線 $BD$ と直線 $AC$ のなす角を $\varphi$ とすると、$B$ から直線 $AC$ までの距離は $EB\sin\varphi$、$D$ からの距離は $ED\sin\varphi$ である。よって $S_1:S_2=EB:ED$ で、正の数 $k$ を使って $S_1=k\cdot EB$、$S_2=k\cdot ED$ と書ける。
段 3（板の重心の式）。三角形の板の重心は頂点の平均なので、$\vec g_1=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}3$、$\vec g_2=\dfrac{\vec a+\vec c+\vec d}3$ である。lem-wb-plate により
$$ \vec g=\frac{S_1\vec g_1+S_2\vec g_2}{S_1+S_2}=\frac{\vec a+\vec c}3+\frac13\cdot\frac{S_1\vec b+S_2\vec d}{S_1+S_2} $$
である（$S_1\vec g_1+S_2\vec g_2=(S_1+S_2)\dfrac{\vec a+\vec c}3+\dfrac{S_1\vec b+S_2\vec d}3$ による）。
段 4（$E$ を原点にする）。ここからは $E$ を原点とする。$E$ は線分 $BD$ の上にあるので、$\vec b$ と $\vec d$ は逆向きで、長さは $EB$、$ED$ である。よって $\vec d=-\dfrac{ED}{EB}\vec b$、つまり $ED\cdot\vec b+EB\cdot\vec d=\vec 0$ である。これを使うと
$$ (S_1+S_2)(\vec b+\vec d)=k(EB+ED)(\vec b+\vec d)=k\left(EB\cdot\vec b+ED\cdot\vec d\right)+k\underbrace{\left(ED\cdot\vec b+EB\cdot\vec d\right)}_{=\vec 0}=S_1\vec b+S_2\vec d $$
である。したがって $\dfrac{S_1\vec b+S_2\vec d}{S_1+S_2}=\vec b+\vec d$ で、段 3 から
$$ \vec g=\frac{\vec a+\vec c}3+\frac{\vec b+\vec d}3=\frac13(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d) $$
である。これは thm-wb-para の (iii) の中心と一致する。
段 5（原点を変える）。原点を別の点にとると、$E$ から見た位置ベクトルは $\vec a-\vec e$ などになる。段 4 の式は $\vec g-\vec e=\dfrac13\bigl((\vec a-\vec e)+(\vec b-\vec e)+(\vec c-\vec e)+(\vec d-\vec e)\bigr)$ となり、整理すると $\vec g=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d-\vec e}3$ である。$\square$