対称代数

同義語：symmetric algebra

概要

前提知識: テンソル積, 多項式環, 次数付き環

体 $K$ 上の多項式環 $K[x_1,\dots,x_n]$ は、変数 $x_1,\dots,x_n$ という座標を 1 組選んで書かれている。座標を選ばずに、ベクトル空間 $V$ そのものから「$V$ の元を変数とし、変数どうしは可換に掛け合わせる多項式の環」を作ったものが対称代数 $\operatorname{Sym}(V)$ であり、$V$ の基底を選ぶと多項式環に戻る。一般に、可換環 $R$ 上の加群 $M$ の対称代数は、$M$ から生成される可換 $R$ 代数のうち、可換性とそこから従う関係のほかには何の関係も課さない「最も自由な」ものである（thm-symalg-universal）。双対空間の対称代数 $\operatorname{Sym}(V^*)$ は $V$ の上の多項式関数の環になるので（thm-symalg-functions）、ベクトル空間やベクトル束を「空間」として扱う代数幾何では、アフィン空間やベクトル束の全空間を $\operatorname{Spec}\operatorname{Sym}$、射影空間束を $\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}$ として作る（最後の節「層の対称代数」）。

定義

以下、$R$ は単位元 $1$ をもつ可換環、加群は $R$ 加群、$\otimes$ は $\otimes_R$ とする。環 $A$（可換とは限らない）と環準同型 $R\to A$ で像が $A$ の中心（すべての元と可換な元の全体）に入るものの組を $R$ 代数 といい、$R$ 代数の準同型とは、$R\to A$ と両立する環準同型のこととする。

テンソル代数

$R$ 加群 $M$ について、$T^0(M):=R$、$T^k(M):=M^{\otimes k}=M\otimes\cdots\otimes M$（$k$ 個、$k\ge1$）とおき、
$$ T(M):=\bigoplus_{k\ge0}T^k(M) $$
に、純テンソルの上で
$$ (x_1\otimes\cdots\otimes x_k)\cdot(y_1\otimes\cdots\otimes y_l):=x_1\otimes\cdots\otimes x_k\otimes y_1\otimes\cdots\otimes y_l $$
となる積を入れたものを $M$ の テンソル代数（tensor algebra）という。$T^0(M)=R$ の元との積は $R$ の作用とする。

$T(M)$ は $T^kT^l\subset T^{k+l}$ を満たす $R$ 代数であるが、$M$ が $2$ 個以上の元からなる基底をもつ自由加群なら可換でない（$e_1\otimes e_2\ne e_2\otimes e_1$）。

詳細

積は、テンソル積の記事の命題「単位・可換・結合の同型」の結合の同型 $T^k(M)\otimes T^l(M)\cong T^{k+l}(M)$ で定まる双線形写像 $T^k(M)\times T^l(M)\to T^{k+l}(M)$ を足し合わせたものであり、結合的で $1\in R=T^0(M)$ を単位元にもつ。$e_1\otimes e_2$ と $e_2\otimes e_1$ は $M\otimes M$ の基底の異なる元である（テンソル積の記事の系「自由加群とのテンソル積」。$R\ne0$ とする）。

テンソル代数の普遍性

$A$ を $R$ 代数、$f\colon M\to A$ を $R$ 線形写像とする。このとき $R$ 代数の準同型 $\tilde f\colon T(M)\to A$ で、$M=T^1(M)$ への制限が $f$ になるものがただ 1 つ存在する。

要点：$T^k(M)$ 上では $x_1\otimes\cdots\otimes x_k\mapsto f(x_1)\cdots f(x_k)$ と定めるしかなく、これはテンソル積の普遍性で矛盾なく定まる。

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一意性：$T^k(M)$ は純テンソル $x_1\otimes\cdots\otimes x_k=x_1\cdots x_k$（$T(M)$ の積）で生成されるので、$T(M)$ は $R$ 代数として $T^1(M)=M$ で生成される。$R$ 代数の準同型は生成元での値で決まる。

存在：$k\ge1$ について、写像 $M^k\to A$、$(x_1,\dots,x_k)\mapsto f(x_1)\cdots f(x_k)$ は各変数について $R$ 線形である（$R$ の像は $A$ の中心にあるので、スカラーを積の外に出せる）。テンソル積の普遍性により $R$ 線形写像 $\tilde f_k\colon T^k(M)\to A$ が定まる。$\tilde f_0\colon R\to A$ を構造射とし、$\tilde f:=\sum_k\tilde f_k$ とおく。$\tilde f$ は純テンソルどうしの積を積に送り、積は双線形なので、$T(M)$ の任意の 2 元の積を積に送る。$\square$

対称代数

$R$ 加群 $M$ について、$T(M)$ の元 $x\otimes y-y\otimes x$（$x,y\in M$）全体で生成される両側イデアルを $I(M)$ とし、
$$ \operatorname{Sym}(M):=T(M)/I(M) $$
を $M$ の 対称代数（symmetric algebra）という。$T^k(M)$ の像を $\operatorname{Sym}^k(M)$ と書き、$M$ の $k$ 次の対称冪（$k$-th symmetric power）という。純テンソル $x_1\otimes\cdots\otimes x_k$ の像を $x_1x_2\cdots x_k$ と書き、合成 $M=T^1(M)\to\operatorname{Sym}(M)$ を $\iota$ と書く。

$\operatorname{Sym}(M)$ を $S(M)$、$S^\bullet(M)$、係数環を明示して $\operatorname{Sym}_R(M)$ とも書く。$\operatorname{Sym}^k(M)$ を $k$ 次の対称積と呼ぶ文献もある。

次数と可換性

$I(M)=\bigoplus_{k\ge2}I_k$（$I_k:=I(M)\cap T^k(M)$）であり、$\operatorname{Sym}(M)=\bigoplus_{k\ge0}\operatorname{Sym}^k(M)$ は次数付き環である。$\operatorname{Sym}^0(M)=R$ であり、$\iota$ は同型 $M\cong\operatorname{Sym}^1(M)$ を与える。
$I_k$ は、$x_1\otimes\cdots\otimes x_k-x_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes x_{\sigma(k)}$（$x_i\in M$、$\sigma$ は $\{1,\dots,k\}$ の置換）全体で生成される $T^k(M)$ の部分加群である。したがって $\operatorname{Sym}^k(M)=T^k(M)/I_k$ であり、$x_1\cdots x_k=x_{\sigma(1)}\cdots x_{\sigma(k)}$ が成り立つ。
$\operatorname{Sym}(M)$ は可換 $R$ 代数であり、$R$ 代数として $\iota(M)$ で生成される。

要点：$I(M)$ は次数 $2$ の斉次元で生成される両側イデアルなので、$T(M)$ の次数を受け継ぐ。生成元 $\iota(M)$ どうしが可換なので $\operatorname{Sym}(M)$ は可換である。

詳しい証明を開く

1. 両側イデアル $I(M)$ は、$a\otimes(x\otimes y-y\otimes x)\otimes b$（$a,b$ は純テンソル、$x,y\in M$）の $R$ 線形結合の全体である（$T(M)$ は純テンソルで $R$ 上張られるので）。$a\in T^i(M)$、$b\in T^j(M)$ ならこの元は $T^{i+j+2}(M)$ に入る。よって $I(M)$ の元の各次数の成分はまた $I(M)$ に入り、$I(M)=\bigoplus_kI_k$、$I_0=I_1=0$ である。したがって $\operatorname{Sym}(M)=\bigoplus_kT^k(M)/I_k$ で、$T^kT^l\subset T^{k+l}$ から $\operatorname{Sym}^k\operatorname{Sym}^l\subset\operatorname{Sym}^{k+l}$ である。$I_0=I_1=0$ から $\operatorname{Sym}^0=R$、$\operatorname{Sym}^1\cong M$ を得る。

2. 1 で見た $I_k$ の生成元は、隣り合う 2 つの成分を入れ替えた純テンソルとの差 $x_1\otimes\cdots\otimes x_k-x_1\otimes\cdots\otimes x_{i+1}\otimes x_i\otimes\cdots\otimes x_k$ であり、主張の形の元である。逆に、置換 $\sigma$ を隣り合う互換の積 $\tau_1\cdots\tau_m$ に分けると、主張の差は、隣り合う成分を 1 回ずつ入れ替えた純テンソルの差 $m$ 個の和（途中の項が打ち消し合う和）に書けるので、$I_k$ に入る。

3. $\iota(x)\iota(y)-\iota(y)\iota(x)$ は $x\otimes y-y\otimes x$ の像なので $0$ である。$\operatorname{Sym}(M)$ は $\iota(M)$ で $R$ 代数として生成され（$T(M)$ が $M$ で生成されるので）、生成元どうしが可換で $R$ の像は中心にあるから、$\operatorname{Sym}(M)$ は可換である。$\square$

普遍性

対称代数は、加群から可換代数への線形写像を代数の準同型に延ばす普遍的な対象である。

対称代数の普遍性

$A$ を可換 $R$ 代数、$f\colon M\to A$ を $R$ 線形写像とする。このとき $R$ 代数の準同型 $\bar f\colon\operatorname{Sym}(M)\to A$ で $\bar f\circ\iota=f$ を満たすものがただ 1 つ存在する。
$$ \xymatrix{ M \ar[r]^-{\iota} \ar[dr]_-{f} & \operatorname{Sym}(M) \ar@{.>}[d]^-{\bar f} \\ & A } $$
$k\ge1$ と $R$ 加群 $N$ について、$R$ 線形写像 $\operatorname{Sym}^k(M)\to N$ と、対称な $k$ 重線形写像 $h\colon M^k\to N$（任意の置換 $\sigma$ について $h(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(k)})=h(x_1,\dots,x_k)$ を満たす $k$ 重線形写像）は、合成 $(x_1,\dots,x_k)\mapsto x_1\cdots x_k$ を通じて一対一に対応する。

図式が可換であるとは、すべての $x\in M$ について $\bar f(\iota(x))=f(x)$ ということである。言い換えると、可換 $R$ 代数の準同型 $\operatorname{Sym}(M)\to A$ を与えることと、$R$ 線形写像 $M\to A$ を与えることは同じであり、$\operatorname{Sym}$ は可換 $R$ 代数の圏から $R$ 加群の圏への忘却関手の左随伴関手である。

lem-symalg-tensor-universal により $R$ 代数の準同型 $\tilde f\colon T(M)\to A$ で $M$ 上 $f$ になるものがある。$A$ は可換なので $\tilde f(x\otimes y-y\otimes x)=f(x)f(y)-f(y)f(x)=0$ であり、$\tilde f$ は生成元を $0$ に送るから両側イデアル $I(M)$ を $0$ に送る。よって $\tilde f$ は $\operatorname{Sym}(M)=T(M)/I(M)$ を経由し、$\bar f\circ\iota=f$ を満たす $\bar f$ を得る。$\operatorname{Sym}(M)$ は $\iota(M)$ で生成されるので（prop-symalg-graded の 3）、$\bar f$ は $f$ で決まる。
$(x_1,\dots,x_k)\mapsto x_1\cdots x_k$ は $k$ 重線形で、prop-symalg-graded の 2 により対称である。したがって線形写像 $\operatorname{Sym}^k(M)\to N$ との合成は対称な $k$ 重線形写像である。逆に対称な $h$ が与えられると、テンソル積の普遍性により線形写像 $h'\colon T^k(M)\to N$ が定まり、$h$ の対称性から $h'$ は $I_k$ の生成元（prop-symalg-graded の 2）を $0$ に送るので、$\operatorname{Sym}^k(M)=T^k(M)/I_k$ からの線形写像を誘導する。$\operatorname{Sym}^k(M)$ は $x_1\cdots x_k$ の形の元で生成されるので、この 2 つの対応は互いに逆である。$\square$

関手性

$R$ 線形写像 $\varphi\colon M\to N$、$\psi\colon N\to L$ について、$\varphi$ は $x_1\cdots x_k\mapsto\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_k)$ で与えられる次数を保つ $R$ 代数の準同型 $\operatorname{Sym}(\varphi)\colon\operatorname{Sym}(M)\to\operatorname{Sym}(N)$ を誘導する。$\operatorname{Sym}(\psi\circ\varphi)=\operatorname{Sym}(\psi)\circ\operatorname{Sym}(\varphi)$、$\operatorname{Sym}(\mathrm{id}_M)=\mathrm{id}$ であり、$\varphi$ が全射なら $\operatorname{Sym}(\varphi)$ も全射である。

thm-symalg-universal の 1 を $\iota_N\circ\varphi\colon M\to\operatorname{Sym}(N)$ に適用する。積を保つので $x_1\cdots x_k$ の行き先は主張のとおりで、次数を保つ。合成の式は、両辺がともに $\iota_M(x)\mapsto\iota_L(\psi(\varphi(x)))$ を満たす $R$ 代数の準同型であることと、thm-symalg-universal の一意性から従う。$\varphi$ が全射なら、像は $\operatorname{Sym}(N)$ の生成元 $\iota_N(N)$ をすべて含むので全体である。$\square$

自由加群の対称代数は多項式環である

自由加群の対称代数

$M$ を基底 $e_1,\dots,e_n$ をもつ自由 $R$ 加群とする。$R$ 代数の準同型
$$ \Phi\colon R[x_1,\dots,x_n]\to\operatorname{Sym}(M),\qquad x_i\mapsto e_i $$
は次数付き $R$ 代数の同型である（多項式環には標準の次数を入れる）。したがって $\operatorname{Sym}^k(M)$ は単項式 $e_1^{a_1}\cdots e_n^{a_n}$（$a_1+\cdots+a_n=k$）を基底とする自由加群であり、その階数は
$$ \operatorname{rank}\operatorname{Sym}^k(R^n)=\binom{n+k-1}{k} $$
である。

$\operatorname{Sym}(M)$ は可換なので、多項式環の記事の系「多変数の普遍性と変数の順序」により $\Phi$ が定まる。逆向きには、thm-symalg-universal の 1 を $R$ 線形写像 $M\to R[x_1,\dots,x_n]$、$e_i\mapsto x_i$ に適用して $R$ 代数の準同型 $\Psi\colon\operatorname{Sym}(M)\to R[x_1,\dots,x_n]$ を得る。$\Psi\circ\Phi$ は $x_i\mapsto x_i$ を満たす $R$ 代数の準同型なので、多項式環の普遍性の一意性により恒等写像である。$\Phi\circ\Psi$ は $e_i\mapsto e_i$ を満たし、$e_i$ は $\iota(M)$ を $R$ 上張るので、thm-symalg-universal の一意性により恒等写像である。$\Phi$ は $k$ 次の単項式を $\operatorname{Sym}^k(M)$ に送るので次数を保つ。階数は $k$ 次の単項式の個数 $\binom{n+k-1}{k}$ である。$\square$

詳細

$a_1+\cdots+a_n=k$ を満たす $(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{N}^n$ は、$k$ 個の「$\ast$」と $n-1$ 個の仕切り「$\mid$」の並び（仕切りで区切られた $i$ 番目の区画の $\ast$ の個数を $a_i$ とする）と一対一に対応し、その並びは $n+k-1$ 個の位置から $\ast$ の $k$ 個の位置を選ぶことで決まる。

基底が無限個の自由加群でも、同じ議論で $\operatorname{Sym}(M)$ は基底の元を変数とする多項式環であり、各 $\operatorname{Sym}^k(M)$ は自由加群である（Stacks26 Tag 00DN）。とくに体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間 $V$ では、基底を 1 つ選ぶと $\operatorname{Sym}(V)\cong K[x_1,\dots,x_n]$ であり、$\dim\operatorname{Sym}^k(V)=\binom{n+k-1}{k}$ である。別の基底を選ぶと、この同型は変数の線形な変換だけ変わる。$\operatorname{Sym}(V)$ 自身は基底によらない。

小さい場合

$M=R$（階数 $1$）なら $\operatorname{Sym}(R)=R[x]$、$\operatorname{Sym}^k(R)=Rx^k$ である。
$V=K^2$ なら $\operatorname{Sym}^2(V)$ は $e_1^2,\ e_1e_2,\ e_2^2$ を基底とし 3 次元、$\operatorname{Sym}^3(V)$ は $e_1^3,\ e_1^2e_2,\ e_1e_2^2,\ e_2^3$ を基底とし 4 次元である。
$\dim\operatorname{Sym}^k(K^n)$ を並べた母関数は $\sum_{k\ge0}\binom{n+k-1}{k}t^k=(1-t)^{-n}$ である。

$n+1$ 変数の多項式環の $d$ 次の斉次成分が $\binom{n+d}{d}$ 次元であること（次数付き環の記事の例「多項式環と重み付きの次数」）は、thm-symalg-free の階数の式で $n$ を $n+1$ に替えたものである。

多項式関数の環としての $\operatorname{Sym}(V^*)$

$V$ を体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間、$V^*=\operatorname{Hom}_K(V,K)$ を双対ベクトル空間とする。$V$ から $K$ への写像全体 $\operatorname{Map}(V,K)$ は値ごとの和と積で可換 $K$ 代数であり、$V^*\subset\operatorname{Map}(V,K)$ である。thm-symalg-universal により、包含から $K$ 代数の準同型
$$ \operatorname{ev}\colon\operatorname{Sym}(V^*)\to\operatorname{Map}(V,K),\qquad \xi_1\cdots\xi_k\mapsto\bigl(v\mapsto\xi_1(v)\cdots\xi_k(v)\bigr) $$
が定まる。

多項式関数の環

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間とする（$n\ge1$）。$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ の双対基底を $\xi_1,\dots,\xi_n$ とする。

$\operatorname{ev}$ の像は、$F\in K[x_1,\dots,x_n]$ を用いて $v\mapsto F(\xi_1(v),\dots,\xi_n(v))$ と書ける関数（$V$ 上の多項式関数）の全体である。
$\operatorname{ev}$ が単射であることと、$K$ が無限体であることは同値である。

thm-symalg-free により $\operatorname{Sym}(V^*)\cong K[x_1,\dots,x_n]$（$x_i\leftrightarrow\xi_i$）である。この同一視のもとで、$F\mapsto\bigl(v\mapsto F(\xi_1(v),\dots,\xi_n(v))\bigr)$ と $\operatorname{ev}$ はともに $K$ 代数の準同型で、生成元 $x_i$ を同じ関数 $\xi_i$ に送るので一致する。これで 1 が従う。$v=\sum_ia_ie_i$ なら $\xi_i(v)=a_i$ なので、$\operatorname{ev}(F)$ は $K^n$ 上の関数 $a\mapsto F(a)$ にほかならない。
2：$K$ が無限体なら、$0$ でない多項式の定める関数は $0$ でない（多項式環の記事の定理「無限体上の多項式の非零点」）ので $\operatorname{ev}$ は単射である。$K$ が $q$ 個の元からなる有限体なら、$F=x_1^q-x_1$ は $0$ でない多項式であるが、$K$ のすべての元 $a$ は $a^q=a$ を満たす（$a\ne0$ なら乗法群 $K^\times$ の位数 $q-1$ により $a^{q-1}=1$）ので、$\operatorname{ev}(F)=0$ である。$\square$

この定理により、$K$ が無限体なら $\operatorname{Sym}(V^*)$ を「$V$ 上の多項式関数の環」と呼んでよい。これは $V$ の座標を選ばずに定まる環であり、代数幾何でアフィン空間 $V$ の座標環にあたる。同じく、$K$ が無限体なら $\operatorname{Sym}(V)\cong\operatorname{Sym}(V^{**})$ は $V^*$ 上の多項式関数の環である。有限体では、$\operatorname{Sym}(V^*)$ は関数の環より大きい（関数としては等しい多項式を区別する）。

直和・係数拡大・商

直和

2 つの可換 $R$ 代数 $A,B$ のテンソル積 $A\otimes B$ は、$(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ により可換 $R$ 代数である（テンソル積の記事の注意「多元環のテンソル積と随伴」）。$A,B$ が次数付きなら、$(A\otimes B)_k:=\bigoplus_{i+j=k}A_i\otimes B_j$ で次数付きになる。

直和の対称代数

$R$ 加群 $M,N$ について、次数付き $R$ 代数の同型
$$ \operatorname{Sym}(M\oplus N)\cong\operatorname{Sym}(M)\otimes\operatorname{Sym}(N),\qquad (x,y)\mapsto x\otimes1+1\otimes y $$
がある。とくに $\operatorname{Sym}^k(M\oplus N)\cong\bigoplus_{i+j=k}\operatorname{Sym}^i(M)\otimes\operatorname{Sym}^j(N)$ である。

要点：両方向の $R$ 代数の準同型を普遍性で作り、合成が生成元を固定することを見る。

詳しい証明を開く

$\Phi\colon\operatorname{Sym}(M\oplus N)\to\operatorname{Sym}(M)\otimes\operatorname{Sym}(N)$ を、$R$ 線形写像 $(x,y)\mapsto x\otimes1+1\otimes y$ から thm-symalg-universal で得られる $R$ 代数の準同型とする。逆向きには、包含 $i_M\colon M\to M\oplus N$、$i_N\colon N\to M\oplus N$ から得られる $\operatorname{Sym}(i_M)$、$\operatorname{Sym}(i_N)$（cor-symalg-functorial）を用い、双線形写像 $(a,b)\mapsto\operatorname{Sym}(i_M)(a)\operatorname{Sym}(i_N)(b)$ から線形写像 $\Psi\colon\operatorname{Sym}(M)\otimes\operatorname{Sym}(N)\to\operatorname{Sym}(M\oplus N)$ を作る。$\operatorname{Sym}(M\oplus N)$ が可換なので $\Psi$ は純テンソルどうしの積を積に送り、$R$ 代数の準同型である。

$\Psi\Phi$ は $(x,y)=(x,0)+(0,y)$ を $(x,0)+(0,y)=(x,y)$ に送るので、thm-symalg-universal の一意性により恒等写像である。$\Phi\Psi$ は $x\otimes1\mapsto(x,0)\mapsto x\otimes1$、$1\otimes y\mapsto1\otimes y$ を満たし、$\operatorname{Sym}(M)\otimes\operatorname{Sym}(N)$ は $R$ 代数として $x\otimes1$、$1\otimes y$ の形の元で生成される（$a\otimes b=(a\otimes1)(1\otimes b)$）ので、恒等写像である。$\Psi$ は $\operatorname{Sym}^i(M)\otimes\operatorname{Sym}^j(N)$ を $\operatorname{Sym}^{i+j}(M\oplus N)$ に送るので、次数を保つ。$\square$

$M=R^m$、$N=R^n$ のとき、これは $R[x_1,\dots,x_m]\otimes R[y_1,\dots,y_n]\cong R[x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n]$ である。

係数拡大

係数拡大との可換性

環準同型 $R\to R'$ と $R$ 加群 $M$ について、次数付き $R'$ 代数の同型
$$ \operatorname{Sym}_{R'}(M\otimes_RR')\cong\operatorname{Sym}_R(M)\otimes_RR',\qquad x\otimes r'\mapsto\iota(x)\otimes r' $$
がある。

要点：thm-symalg-direct-sum と同じく、両方向の準同型を普遍性で作って合成を生成元で比べる。

詳しい証明を開く

左から右へ：$R'$ 線形写像 $M\otimes_RR'\to\operatorname{Sym}_R(M)\otimes_RR'$、$x\otimes r'\mapsto\iota(x)\otimes r'$ に thm-symalg-universal（係数環 $R'$）を適用して $R'$ 代数の準同型 $\alpha$ を得る。右から左へ：$R$ 線形写像 $M\to\operatorname{Sym}_{R'}(M\otimes_RR')$、$x\mapsto x\otimes1$ から $R$ 代数の準同型 $\beta_0\colon\operatorname{Sym}_R(M)\to\operatorname{Sym}_{R'}(M\otimes_RR')$ を作り、$R$ 双線形写像 $(a,r')\mapsto r'\beta_0(a)$ から $R'$ 代数の準同型 $\beta$ を得る。$\beta\alpha$ は生成元 $x\otimes1$ を固定し、$\alpha\beta$ は $R'$ 代数としての生成元 $\iota(x)\otimes1$ を固定するので、どちらも恒等写像である。次数を保つことは作り方から明らかである。$\square$

商

商加群の対称代数

$p\colon M\to M''$ を全射 $R$ 線形写像とし、$K:=\ker p$ とする。$\operatorname{Sym}(M)$ の中で $\iota(K)$ が生成するイデアルを $(K)$ と書く。このとき $\operatorname{Sym}(p)$ は次数付き $R$ 代数の同型
$$ \operatorname{Sym}(M)/(K)\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \operatorname{Sym}(M'') $$
を誘導する。次数 $k\ge1$ の部分では $\operatorname{Sym}^k(M'')\cong\operatorname{Sym}^k(M)/K\cdot\operatorname{Sym}^{k-1}(M)$ である。

$\operatorname{Sym}(p)$ は全射で（cor-symalg-functorial）、$\iota(K)$ を $0$ に送るので、全射 $\bar p\colon\operatorname{Sym}(M)/(K)\to\operatorname{Sym}(M'')$ を誘導する。逆向きに、写像 $g\colon M''\to\operatorname{Sym}(M)/(K)$ を「$x''$ の持ち上げ $x\in M$ をとり、$\iota(x)$ の類を対応させる」ことで定める。持ち上げの差は $K$ に入るので $g$ は矛盾なく定まり、$R$ 線形である。thm-symalg-universal により $R$ 代数の準同型 $\bar g\colon\operatorname{Sym}(M'')\to\operatorname{Sym}(M)/(K)$ を得る。$\bar p\bar g$ と $\bar g\bar p$ は生成元を固定するので恒等写像である。

詳細

次数の主張：$(K)$ は次数 $1$ の元で生成されるイデアルなので、その次数 $k$ の部分は $y\cdot z$（$y\in\iota(K)$、$z\in\operatorname{Sym}^{k-1}(M)$）の和の全体 $K\cdot\operatorname{Sym}^{k-1}(M)$ であり、$\bar p$ は次数を保つ。$\square$

加群を生成元と関係式で表すと、対称代数も生成元と関係式で書ける。$M$ が $m_1,\dots,m_n$ で生成され、その間の関係 $\sum_{j}a_{ij}m_j=0$（$i=1,\dots,r$）が関係全体を生成するとき、すなわち $M\cong R^n/K$ で $K$ が $(a_{i1},\dots,a_{in})$（$i=1,\dots,r$）で生成されるとき、thm-symalg-free と thm-symalg-quotient により
$$ \operatorname{Sym}(M)\cong R[x_1,\dots,x_n]\Big/\Bigl(\textstyle\sum_ja_{1j}x_j,\ \dots,\ \sum_ja_{rj}x_j\Bigr) $$
である。これは「右完全性」とも呼ばれる性質の対称代数版である（Stacks26 Tag 00DO）。

巡回加群の対称代数

$I$ を $R$ のイデアルとすると、$R/I$ は $1$ つの生成元 $m_1$ と関係 $am_1=0$（$a\in I$）で表されるので、
$$ \operatorname{Sym}(R/I)\cong R[x]/(Ix),\qquad \operatorname{Sym}^k(R/I)\cong Rx^k/Ix^k\cong R/I\quad(k\ge1) $$
である。とくに $R=\mathbb{Z}$ のとき $\operatorname{Sym}(\mathbb{Z}/n)\cong\mathbb{Z}[x]/(nx)$ であり、すべての $k\ge1$ で $\operatorname{Sym}^k(\mathbb{Z}/n)\cong\mathbb{Z}/n$ である。

$\operatorname{Sym}(\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}[x]/(2x)$ は $\mathbb{Z}$ 上の多項式環（変数の個数によらず）と同型でない。実際、$x$ の類は $0$ でないが $2$ 倍すると $0$ になる。一方、$\mathbb{Z}$ 上の多項式環の元は係数がすべて整数なので、$2$ 倍して $0$ になるのは $0$ だけである。この例は、thm-symalg-free の仮定「$M$ が自由」を満たさず（$\mathbb{Z}/2$ は $\mathbb{Z}$ 上自由でない）、結論「$\operatorname{Sym}(M)$ は多項式環」も成り立たない。

対称テンソルとの比較

$k$ 次の置換 $\sigma$ は、$x_1\otimes\cdots\otimes x_k\mapsto x_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes x_{\sigma(k)}$ で定まる $R$ 線形写像 $\sigma_*\colon T^k(M)\to T^k(M)$ を与える（多重線形写像からテンソル積の普遍性で作る）。すべての $\sigma$ について $\sigma_*t=t$ となる $t\in T^k(M)$ を 対称テンソル といい、その全体を $S^k(M)$ と書く。包含と射影の合成 $c_k\colon S^k(M)\hookrightarrow T^k(M)\to\operatorname{Sym}^k(M)$ を考える。

対称テンソルとの比較

$k!$ が $R$ で可逆なら、$c_k\colon S^k(M)\to\operatorname{Sym}^k(M)$ は同型であり、逆写像は
$$ s_k\colon\operatorname{Sym}^k(M)\to S^k(M),\qquad x_1\cdots x_k\mapsto\frac1{k!}\sum_{\sigma}x_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes x_{\sigma(k)} $$
（和は $k$ 次の置換全体）である。

要点：$s_k$ は対称化の平均であり、$c_k\circ s_k$ も $s_k\circ c_k$ も「$k!$ 個の同じものの平均」になる。

詳しい証明を開く

右辺は $(x_1,\dots,x_k)$ について多重線形かつ対称なので、thm-symalg-universal の 2 により線形写像 $s_k\colon\operatorname{Sym}^k(M)\to T^k(M)$ が定まる。$\tau_*$ を右辺に施すと和の並べ替えになるので、$s_k$ の値は対称テンソルである。

$c_k\circ s_k$：右辺の各項の $\operatorname{Sym}^k(M)$ での像は $x_1\cdots x_k$ に等しい（prop-symalg-graded の 2）ので、$k!$ 個の同じ項の平均として $c_k(s_k(x_1\cdots x_k))=x_1\cdots x_k$ である。

$s_k\circ c_k$：$T^k(M)$ 上の線形写像 $e(t):=\frac1{k!}\sum_\sigma\sigma_*t$ を考えると、純テンソルで比べて $s_k(\pi(t))=e(t)$ である（$\pi\colon T^k(M)\to\operatorname{Sym}^k(M)$ は射影）。$t\in S^k(M)$ なら $\sigma_*t=t$ なので $e(t)=t$、すなわち $s_k(c_k(t))=t$ である。$\square$

標数 $0$ の体上では、この命題により $\operatorname{Sym}^k(V)$ を対称テンソルの空間 $S^k(V)$ と同一視でき、その上の積 $\alpha\cdot\beta:=e(\alpha\otimes\beta)$ で対称代数を定義する文献もある（Nic26 §2.2、Exercise 2.2.21 の前の段落の $S^\bullet V$）。$k!$ が可逆でない環では、2 つの定義は一致するとは限らない（ex-symalg-char-two）。

反例：標数 2 の対称テンソル

$R=\mathbb{F}_2$、$M=\mathbb{F}_2^2$（基底 $e_1,e_2$）、$k=2$ とする。$t=\sum_{i,j}a_{ij}e_i\otimes e_j$ が対称であることは $a_{12}=a_{21}$ と同値なので、$S^2(M)$ は $e_1\otimes e_1$、$e_2\otimes e_2$、$e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1$ を基底とする 3 次元の空間である。$\operatorname{Sym}^2(M)$ も $e_1^2,\ e_1e_2,\ e_2^2$ を基底とする 3 次元であるが、
$$ c_2(e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1)=2e_1e_2=0 $$
なので $c_2$ は単射でなく、像は $e_1^2,e_2^2$ の張る 2 次元の部分空間で、$e_1e_2$ は像に入らない。この例は prop-symalg-symmetric-tensors の仮定「$k!=2$ が可逆」を満たさず、結論「$c_2$ は同型」が成り立たない。

2次形式と対称双線形形式

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間とし、双対基底 $\xi_1,\dots,\xi_n$ をとる。thm-symalg-free により $\operatorname{Sym}^2(V^*)$ は $\xi_i\xi_j$（$i\le j$）を基底とし、その元 $q=\sum_{i\le j}c_{ij}\xi_i\xi_j$ は座標の同次 2 次式、すなわち $V$ 上の2次形式（同記事の定義「数ベクトル空間上の2次形式」）である。標数が $2$ でなければ、prop-symalg-symmetric-tensors により $\operatorname{Sym}^2(V^*)$ は $V$ 上の対称な双線形形式の空間と同型であり、$q$ に対応する対称行列は $a_{ii}=c_{ii}$、$a_{ij}=a_{ji}=\frac12c_{ij}$（$i< j$）である。これは 2次形式の記事の命題「2次形式と対称行列の対応」の座標によらない形である。

途中の対応を開く

$\xi\otimes\eta\mapsto\bigl((v,w)\mapsto\xi(v)\eta(w)\bigr)$ は $V^*\otimes V^*$ と $V$ 上の双線形形式の空間の同型であり（基底 $\xi_i\otimes\xi_j$ を、$(e_k,e_l)$ で $\delta_{ik}\delta_{jl}$ をとる形式に送る）、対称テンソルは対称な双線形形式に対応する。prop-symalg-symmetric-tensors の $s_2$ は $\xi_i\xi_j\mapsto\tfrac12(\xi_i\otimes\xi_j+\xi_j\otimes\xi_i)$ なので、$q$ は対称な双線形形式 $B(v,w)=\sum_ic_{ii}\xi_i(v)\xi_i(w)+\sum_{i< j}\tfrac12c_{ij}\bigl(\xi_i(v)\xi_j(w)+\xi_j(v)\xi_i(w)\bigr)$ に対応し、$B(v,v)=q(v)$ である。

標数 $2$ でこの対応が崩れることは、2次形式の記事の例「反例：標数 2 では対称行列で表せない 2 次形式がある」と ex-symalg-char-two が示す。

反例のまとめ

外す条件	反例	成り立たなくなること
$A$ が可換（thm-symalg-universal）	$A=T(R^2)$、$f$ は包含 $R^2\to T(R^2)$	$f$ が $\operatorname{Sym}(R^2)$ からの準同型に延びる
$M$ が自由（thm-symalg-free）	$R=\mathbb{Z}$、$M=\mathbb{Z}/2$	$\operatorname{Sym}(M)$ が多項式環になる
$K$ が無限体（thm-symalg-functions）	$K=\mathbb{F}_p$、$x_1^p-x_1$	$\operatorname{ev}$ が単射
$k!$ が可逆（prop-symalg-symmetric-tensors）	$R=\mathbb{F}_2$、$M=\mathbb{F}_2^2$、$k=2$	対称テンソルと $\operatorname{Sym}^k$ が $c_k$ で同型

2〜4 行目の確認は ex-symalg-cyclic の直後の段落、thm-symalg-functions の証明、ex-symalg-char-two にある。

1 行目の確認を開く

$R$ 代数の準同型 $\bar f\colon\operatorname{Sym}(R^2)\to T(R^2)$ で $\bar f(\iota(e_i))=e_i$ となるものがあれば、$\iota(e_1)\iota(e_2)=\iota(e_2)\iota(e_1)$ から $e_1\otimes e_2=e_2\otimes e_1$ となるが、これらは $R^2\otimes R^2$ の基底の異なる元なので（テンソル積の記事の系「自由加群とのテンソル積」）、そのような $\bar f$ はない（$R\ne0$ とする）。

層の対称代数

代数幾何では加群の代わりに層を扱うので、対称代数を層に拡張する。$X$ をスキーム、$\mathcal{E}$ を $X$ 上の準連接層とする。アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ の上では $\mathcal{E}|_U$ は $A$ 加群 $E=\mathcal{E}(U)$ から作られ、$f\in A$ による局所化について prop-symalg-base-change（$R'=A_f$）から $\operatorname{Sym}_{A_f}(E_f)\cong\operatorname{Sym}_A(E)_f$ である（Stacks26 Tag 0C6F）。したがって各 $U$ 上の $\operatorname{Sym}_A(E)$ から作った層は貼り合わさり、準連接な次数付き $\mathcal{O}_X$ 代数
$$ \operatorname{Sym}\mathcal{E}=\bigoplus_{k\ge0}\operatorname{Sym}^k\mathcal{E} $$
を定める。一般の環付き空間の上では、$\operatorname{Sym}\mathcal{E}$ を $T(\mathcal{E})$ の商として同じように定義し、$\operatorname{Sym}^k\mathcal{E}$ は前層 $U\mapsto\operatorname{Sym}^k_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{E}(U)$ の層化になる。$\mathcal{E}$ が準連接なら $\operatorname{Sym}^k\mathcal{E}$ も準連接である（Stacks26 Tag 01CF、Tag 01CG、Tag 01CK）。$\mathcal{E}$ が階数 $r$ の局所自由層なら $\operatorname{Sym}^k\mathcal{E}$ は階数 $\binom{r+k-1}{k}$ の局所自由層である（局所自由層の記事の命題「局所自由層の構成で閉じること」）。
この層から、相対 $\operatorname{Spec}$ でベクトル束の全空間を、相対 $\operatorname{Proj}$ で射影束 $\mathbb{P}(\mathcal{E}):=\mathbf{Proj}_X\operatorname{Sym}\mathcal{E}$ を作る。

ベクトル束と射影束の構成を開く

相対スペクトル：$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X^{\oplus n}$ なら $\operatorname{Sym}\mathcal{E}=\mathcal{O}_X[x_1,\dots,x_n]$ で、その相対 $\operatorname{Spec}$ は $X$ 上のアフィン空間 $\mathbb{A}^n_X$ である。一般の局所自由層 $\mathcal{E}$ について、$\mathbf{Spec}_X\operatorname{Sym}\mathcal{E}^\vee\to X$ は切断の層が $\mathcal{E}$ になる幾何的ベクトル束である（局所自由層の記事の定義「スキーム上の幾何的ベクトル束」と定理「局所自由層とベクトル束の対応」）。$\operatorname{Sym}\mathcal{E}$ と $\operatorname{Sym}\mathcal{E}^\vee$ のどちらの $\operatorname{Spec}$ をとるかは文献で異なる（同記事の注意「対応の逆と規約の違い」）。$\mathbf{Spec}_X\operatorname{Sym}\mathcal{E}\to X$ はアフィン射の基本的な例である。
相対 $\operatorname{Proj}$：$\mathbb{P}(\mathcal{E})$ の定義は射影束の記事の定義「対称代数の定義と相対 $\operatorname{Proj}$」「射影束」にあり、標準可逆層の順像は $\pi_*\mathcal{O}(n)\cong\operatorname{Sym}^n\mathcal{E}$（$n\ge0$）で与えられる（同記事の命題「標準可逆層の順像と対称冪」）。$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X^{\oplus(n+1)}$ なら $\mathbb{P}(\mathcal{E})=\mathbb{P}^n_X$ である。射影束は射影射の基本的な例である。

注意

記号：$\operatorname{Sym}(M)$ のほかに $S(M)$、$S^\bullet(M)$ とも書く。$\operatorname{Sym}^k$ を $S^k$ と書く文献では、対称テンソルの空間と記号が重なるので、どちらの意味かを確かめる（標数 $0$ の体上では prop-symalg-symmetric-tensors により区別は要らない）。
対称代数は、$T(M)$ を $x\otimes y-y\otimes x$ で割って「可換にする」構成である。同じ $T(M)$ を $x\otimes x$ で割ると、積が交代的になる外積代数が得られる。こちらは $\operatorname{Sym}^k(R^n)$ と違って $k>n$ で $0$ になり、行列式や微分形式の代数的な枠組みになる。
対称代数は、次数 $1$ の元で生成される可換な次数付き環の「最も自由なもの」である。$S_0=R$ で、$R$ 代数として $S_1$ で生成される可換な次数付き環 $S$ は、$\operatorname{Sym}(S_1)$ を斉次イデアルで割った商と同型である。射影多様体の斉次座標環（次数付き環の例「多項式環と重み付きの次数」の 3）がその例である。
詳細
thm-symalg-universal により包含 $S_1\to S$ から次数を保つ $R$ 代数の準同型 $\operatorname{Sym}(S_1)\to S$ が得られ、これは生成元 $S_1$ を像に含むので全射である。次数を保つ準同型の核は斉次イデアルである（元の各斉次成分が別々に $0$ に送られるため）。