結(単体的集合)

1. $\Delta^{m+n+1}$ の $k$ 単体は順序を保つ写像 $\beta\colon[k]\to[m+n+1]$ である。$I:=\beta^{-1}(\{0,\dots,m\})$ は始切片、$I':=\beta^{-1}(\{m+1,\dots,m+n+1\})$ は終切片であり、$\beta$ は制限 $I\to[m]$ と、制限 $I'\to\{m+1,\dots\}$ を $m+1$ だけずらした $I'\to[n]$ の組と $1$ 対 $1$ に対応する。これは $(\Delta^m\star\Delta^n)([k])$ の成分 $(I,I')$ の元であり、前合成と可換である。
2. $N(\mathcal C\star\mathcal D)$ の $k$ 単体は関手 $\varphi\colon[k]\to\mathcal C\star\mathcal D$ である。$\mathcal D$ の対象から $\mathcal C$ の対象への射はないので、$\varphi^{-1}(\mathcal C)$ は始切片 $I$、残りは終切片 $I'$ である。$\varphi$ は制限 $I\to\mathcal C$、$I'\to\mathcal D$ の組で決まり、逆に任意の組は（$\mathcal C$ から $\mathcal D$ への射が 1 本ずつなので）一意に関手に延びる。
3. どちらも、単体を $J=I\sqcup I'\sqcup I''$（3 つの連続した切片）と各切片上の単体の組で表すと一致する。反対単体的集合は頂点の順序を逆にするので、始切片と終切片が入れ替わる。$\square$

集合の圏で、固定した集合との積 $-\times L_j$ と非交和は余極限を保つので、$R_n$ は（集合への関手として）余極限を保つ。単射を保つことも同様である。押し出しと増大列の和集合は連結な図式の余極限であり、連結な図式の上の定数 $L_n$ の余極限は $L_n$ なので、$L_n\sqcup R_n(-)$ はこれらを保つ。余極限は次数ごとに計算されるので（単体的集合 の定理「極限と余極限の次数ごとの計算」）2 が従う。3 は「$K$ 部分が $A$ に入るか空」かつ「$L$ 部分が $B$ に入るか空」という記述から明らかである。$\square$

$N:=m+n+1$ とし、$\Delta^N$ の単体 $\beta$ の左の頂点集合を $V_-:=V(\beta)\cap\{0,\dots,m\}$、右の頂点集合を $V_+:=V(\beta)\cap\{m+1,\dots,N\}$ とする。prop-join-basic の 1 の証明により、$\beta$ の $\Delta^m$ 部分の像は $V_-$、$\Delta^n$ 部分の像は $V_+$ を $m+1$ だけずらしたものである。部分単体的集合の結の記述（定義の直後）から、

• $\beta\in\partial\Delta^m\star\Delta^n$ $\iff$ $V_-$ が左の頂点のどれかを含まない（$V_-=\emptyset$ もこれに当たる。$m\ge0$ なので左の頂点はある）。
• $\beta\in\Delta^m\star\partial\Delta^n$ $\iff$ $V_+$ が右の頂点のどれかを含まない。
• $n\ge1$ のとき、$\beta\in\Delta^m\star\Lambda^n_i$ $\iff$ $V_+$ が $m+1+i$ 以外の右の頂点のどれかを含まない（$V_+=\emptyset$ のときも、右の頂点は 2 つ以上あるので成り立つ）。
  1：和集合は「$V(\beta)$ がどれかの頂点を含まない」ことであり、$\partial\Delta^N$ である。2：和集合は「$V(\beta)$ が $m+1+i$ 以外のどれかの頂点を含まない」ことであり、$\Lambda^N_{m+1+i}$ である。3 は 2 と同じ議論を左右逆にしたものである。4：$\beta\in\partial\Delta^m\star\Delta^0$ は $V(\beta)$ が $0,\dots,m$ のどれかを含まないこと、すなわち最後の頂点 $m+1$ 以外のどれかを含まないことであり、$\Lambda^{m+1}_{m+1}$ である。もう一方も同様である。$\square$

$0< i< n$ とし、$u\colon\Lambda^n_i\to K\star L$ を与える。$n\ge2$ で、$\Lambda^n_i$ は頂点 $0,\dots,n$ と辺 $\{r,r+1\}$（$0\le r< n$）をすべて含む（$n=2$ では辺 $\{0,1\},\{1,2\}$、$n\ge3$ ではすべての辺）。$K\star L$ には $L$ の頂点から $K$ の頂点への辺がないので、$u$ で $K$ に行く頂点は始切片 $\{0,\dots,j\}$ をなす。
$j=n$（すべて $K$）なら、$u$ の値はすべて $K$ に入り（すべての頂点が $K$ にある単体は $K$ の単体である）、$K$ のホーンの充填で延びる。$j=-1$ も同様である。$0\le j< n$ とする。面 $\{0,\dots,j\}$ は、$k>j$ かつ $k\ne i$ を満たす $k$ を除いた面に含まれる（$k=i$ だけしか候補がないのは $j=n-1$ かつ $i=n$ のときで、$i< n$ なので起こらない）。同様に面 $\{j+1,\dots,n\}$ も $\Lambda^n_i$ に入る（$j=0$ かつ $i=0$ でない限り）。そこで $x:=u|_{\{0,\dots,j\}}\in K_j$、$y:=u|_{\{j+1,\dots,n\}}\in L_{n-j-1}$ とおき、$(x,y)\in(K\star L)_n$ を考える。$\Lambda^n_i$ の各単体 $\gamma$ について、$u(\gamma)$ の $K$ 部分と $L$ 部分はそれぞれ $x$ と $y$ の面であり、$K\star L$ の単体はこの 2 つの部分で決まるので、$u(\gamma)=\gamma^*(x,y)$ である。よって $(x,y)$ が延長を与える。$\square$