Picard–Fuchs方程式

要点：最高次の係数を消す割り算ができる。

段階 1（$F$ の冪を下げる）。 $k\ge1$ とし、$h=P\,F^{-k}y^{-1}$ とする。$F$ と $F_x$ は互いに素なので、$P=AF+BF_x$ となる $A,B\in K[x]$ がある。$\partial_xy=F_x/(2y)$ と $y=Fy^{-1}$ を使って計算すると
$$ \partial_x\bigl(B\,F^{-k}y\bigr)=\bigl(B_xF-(k-\tfrac12)BF_x\bigr)F^{-k}y^{-1} $$
である。$k-\frac12\ne0$ なので、$\partial_xV_F$ を法として
$$ P\,F^{-k}y^{-1}=A\,F^{-(k-1)}y^{-1}+BF_x\,F^{-k}y^{-1}\equiv\Bigl(A+\frac{B_x}{k-\frac12}\Bigr)F^{-(k-1)}y^{-1} $$
となり、$F$ の冪が $1$ 下がる。これを繰り返すと、$V_F$ のすべての元は $P\,y^{-1}$（$P\in K[x]$）と合同になる。
段階 2（$x$ の次数を下げる）。 $F$ の $x$ についての最高次の係数を $c\ne0$ とする。$j\ge0$ に対し
$$ \partial_x\bigl(x^j y\bigr)=jx^{j-1}y+x^j\frac{F_x}{2y}=\Bigl(jx^{j-1}F+\tfrac12x^jF_x\Bigr)y^{-1} $$
であり、括弧の中は次数 $j+d-1$、最高次の係数 $c\,(j+\frac d2)\ne0$ の多項式である。$\deg P=n\ge d-1$ なら、$j=n-d+1$ としてこの式の適当な定数倍を引けば、$P\,y^{-1}$ は次数 $n$ 未満の $P_1$ による $P_1y^{-1}$ と合同になる。繰り返せば次数は $d-2$ 以下になる。

1. thm-pf-dimension により、$M_F$ の $d$ 個の元 $[h],\partial[h],\dots,\partial^{d-1}[h]$ は一次従属である。よって $[h]$ を消す $0$ でない作用素が階数 $d-1$ 以下にあり、lem-pf-ideal から Picard–Fuchs 作用素が存在して階数は $d-1$ 以下である。
2. 枝 $y$ の存在は、$\gamma([0,1])$ がコンパクトで $F(\lambda_0,\gamma(t))\ne0$ であることから、$|F(\lambda,\gamma(t))|\ge\delta>0$ となる円板 $U$ をとって、各 $t$ の近くで正則な平方根を選び連続につなげばよい（詳細は折りたたみ）。$g=Q\,F^{-l}y\in V_F$ について、$G(t):=g(\lambda,\gamma(t))$ は区分的に $C^1$ で、連鎖律と $\frac{d}{dt}y(\lambda,t)=F_x(\lambda,\gamma(t))\gamma'(t)/(2y)$ から $G'(t)=(\partial_xg)(\lambda,\gamma(t))\gamma'(t)$ である。したがって
   $$ \int_0^1(\partial_xg)(\lambda,\gamma(t))\gamma'(t)\,dt=G(1)-G(0)=0 $$
   （$\gamma(1)=\gamma(0)$ と $y(\lambda,1)=y(\lambda,0)$ による）。すなわち完全な元の周期は $0$ である。また $\partial_\lambda y=F_\lambda/(2y)$ は $\lambda$ による実際の微分と一致するので、被積分関数を $\lambda$ で微分したものは $\partial_\lambda h$ の被積分関数であり、積分記号下の微分により $\rho'$ は $\partial_\lambda h$ の周期、$\rho^{(j)}$ は $\partial_\lambda^jh$ の周期である。$L[h]=0$ は $\sum_ja_j\partial_\lambda^jh=\partial_xg$ となる $g\in V_F$ があることを意味する。$a_j$ と $g$ の係数の極（有限個）を除いた $U$ の点で両辺の周期をとれば、$\sum_ja_j\rho^{(j)}=0$ を得る。
   枝の構成と積分記号下の微分の詳細

   $F$ の係数は $\lambda_0$ で正則なので、$(\lambda,t)\mapsto F(\lambda,\gamma(t))$ は $\overline{U}\times[0,1]$（$U$ は $\lambda_0$ の小さな円板）で連続、$\lambda$ について正則である。コンパクト性から $U$ を小さくとれば $|F(\lambda,\gamma(t))|\ge\delta>0$ となる。各 $\lambda\in U$ について、$t\mapsto F(\lambda,\gamma(t))$ は $0$ を通らない連続関数なので、$t=0$ での値を指定すれば連続な平方根がただ一つ定まる。$t=0$ での値は $F(\lambda,\gamma(0))$ の $\lambda_0$ の近くでの正則な平方根で $y_0(0)$ を通るものとする。$U\times[0,1]$ は単連結で、$z\mapsto z^2$ は $\mathbb{C}^\times$ の被覆なので、連続写像 $(\lambda,t)\mapsto F(\lambda,\gamma(t))$ は $(\lambda_0,0)$ で値 $y_0(0)$ をとる連続な平方根 $y(\lambda,t)$ をただ一つもつ。持ち上げの一意性から、$y$ の $U\times\{0\}$ への制限は上の正則な平方根と一致し、$\lambda$ を止めた制限は上で選んだ平方根と一致する。各点 $(\lambda_1,t_1)$ の連結な近傍で $F(\lambda,\gamma(t))$ の値が $0$ を含まない小円板に入るようにとり、その円板上の平方根の枝 $s$ を $y(\lambda_1,t_1)$ を通るようにとると、$y$ と $s(F(\lambda,\gamma(t)))$ の比はこの近傍で $\pm1$ に値をとる連続関数で、$(\lambda_1,t_1)$ で $1$ なので、両者は一致する。よって $y$ は $\lambda$ について正則である。$y(\lambda,1)/y(\lambda,0)\in\{\pm1\}$ は $\lambda$ について連続で $\lambda_0$ で $1$ なので、連結な $U$ 上で $1$ である。被積分関数は $(\lambda,t)$ について連続で $\lambda$ について正則だから、Cauchy の積分公式と Fubini の定理により $\rho$ は正則で、微分と積分は交換する（正則関数）。

$\partial_\lambda(y^{-1})=-\frac{F_\lambda}{2F}y^{-1}=-\frac1{2F}y^{-1}$ なので、
$$ 6\lambda\,\partial_\lambda(y^{-1})+y^{-1}=\frac{F-3\lambda}{F}y^{-1}=(x^3-2\lambda)F^{-1}y^{-1} $$
である。一方 $\partial_x(x\,y^{-1})=y^{-1}-\frac{x\,F_x}{2F}y^{-1}=(F-\tfrac32x^3)F^{-1}y^{-1}=(\lambda-\tfrac12x^3)F^{-1}y^{-1}$ なので、上の右辺は $-2\,\partial_x(x\,y^{-1})$ に等しい。よって $(\partial+\frac1{6\lambda})[h]=0$ である。階数が $0$ でない、すなわち $[h]\ne0$ であることを示すには、周期が $0$ でない閉じた道が一つあればよい（thm-pf-existence の 2 により、$[h]=0$ ならすべての周期が $0$）。$\lambda_0=-1$ では根は $1,\zeta,\bar\zeta$（$\zeta=e^{2\pi i/3}$）で、線分 $[\bar\zeta,\zeta]$ を細く囲む閉じた道は二つの根を囲むので、平方根は元の値に戻る。その周期は $\pm2J$ であり、
$$ J=\int_{-a}^{a}\frac{ds}{\sqrt{\frac32-is}\,\sqrt{a^2-s^2}}\qquad\bigl(a=\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) $$
の実部は正である（詳細は折りたたみ）。周期 $\rho$ は $\rho'=-\rho/(6\lambda)$ をみたすので、局所的に $\rho=C\lambda^{-1/6}$ となる。