順序位相

前提知識: 全順序, 位相空間, 開集合, 順序数

順序から位相を作る

実数直線の開区間は、二つの端点の間にある点を集めた集合である。この「間にある」という順序の考えを一般の全順序集合に移すと、距離を先に決めなくても開集合を定められる。こうして得られる位相が順序位相（order topology）である。順序位相は実数の通常の位相を再現する一方、整数には離散位相を与え、順序数の極限点には実数とは異なる近傍構造を与える。
順序位相を使うときは、三つの区別が重要になる。まず、全順序と半順序は異なり、以下の定義は全順序を前提とする。次に、順序を制限した部分集合の順序位相は、元の順序位相から受ける部分空間位相と必ずしも一致しない。最後に、順序数のような空間では、点列だけでは位相の全情報を検出できない場合がある。本記事では定義から出発し、開区間・半直線・孤立点・順序を保つ写像を具体的に調べた後、順序数と部分空間の例へ進む。

定義と基本近傍

$(L,<)$ を全順序集合とする。$a,b\in L$ に対して $(a,b)=\{x\in L:a< x< b\}$ と書く。また $(-\infty,b)=\{x\in L:x< b\}$、$(a,\infty)=\{x\in L:a< x\}$ と書く。ここで $\infty$ は $L$ に新たに加えた点ではなく、左または右への半直線を示す記号である。

二つの半直線の共通部分は開区間 $(a,b)$ である。したがって、最小元も最大元もない点 $x$ の近傍には、$a< x< b$ を満たす開区間 $(a,b)$ を含められる。$L$ に最小元 $m$ があるときは $(-\infty,b)=[m,b)$ が $m$ の基本近傍になる。最大元 $M$ があるときは $(a,\infty)=(a,M]$ が $M$ の基本近傍になる。一点集合の場合や端点の直後・直前の点がある場合には、これらが一点集合になり得る。
「開区間だけで基底を作る」と単純に言うと、最小元・最大元がある空間で端点の近傍を取り落とす。例えば $L=[0,1]$ では、$0$ を含む開集合 $[0,1/2)$ が順序位相で開いているが、$0$ は通常の $(a,b)$ 型の開区間には入らない。半直線を準開基に選べば端点も統一的に扱える（Mun00 §14）。
順序位相は順序を忘れた集合に任意の位相を置く操作ではなく、指定された順序に依存する。同じ集合に異なる全順序を入れれば異なる位相を生じることがある。例えば自然数を通常の順序で並べた空間は離散だが、自然数と一つの終点を並べた $\omega+1$ では最後の点が極限点となる。以下では順序も位相も明示して比較する。

分離性と順序同型

全順序で異なる二点は、順序によって左右に分けられる。このことから順序位相は常に Hausdorff である。間に第三の点が存在しなくても分離できる点を見落としやすいので、二つの場合を分けて証明する。

これは順序位相の最初の強い制約である。例えば二点集合の密着位相は Hausdorff でないため、その位相を与える全順序は存在しない。ただし Hausdorff であるだけでは、ある空間が順序位相から得られるとはいえない。順序位相空間であることは、開集合が一本の線形な順序の区間から組み立てられるという追加構造を含む。
順序の構造が正確に一致する写像は、位相の構造も一致させる。これを明示しておくと、見かけ上異なる順序集合を同じ位相空間として扱える。

逆は一般に成り立たない。同相写像は指定された順序を保つ必要がない。実数直線の $x\mapsto -x$ は通常の位相について同相写像だが、順序を逆転する。また実数直線の $x\mapsto x^3$ は順序を保つ同相写像であり、距離を保たない。このように順序同型・同相写像・等長写像は、それぞれ保存する構造が異なる。

実数・整数・有理数

$\mathbb R$ の通常の順序から作る順序位相は、通常の距離 $|x-y|$ から作る位相と一致する。実際、距離の開球 $(x-r,x+r)$ は順序開区間であり、任意の開区間 $(a,b)$ とその中の点 $x$ に対して十分小さい $r>0$ を選べば $B(x,r)\subset(a,b)$ となる。半直線も通常の位相で開いている。よって双方の開集合の生成系が互いに開である。
同じ理由で、閉区間 $[a,b]$ に順序を制限して得る位相は $\mathbb R$ からの相対位相に一致する。端点 $a,b$ の近傍は、それぞれ $[a,c)$、$(c,b]$ という形になり、実数直線の開集合と $[a,b]$ の共通部分として書ける。開区間、半開区間、半直線についても同じ対応が成立する。後述するように、任意の部分集合でこの一致を仮定してはならない。
$\mathbb Z$ に通常の順序を入れると、各 $n\in\mathbb Z$ について $(n-1,n+1)=\{n\}$ が開集合となる。したがって順序位相は離散位相である。$n$ の周囲に「順序の隙間」があるため、一点集合が開く。一方、$\mathbb Q$ は通常の順序で稠密、すなわち異なる二つの有理数の間に別の有理数があるので、一点集合は開かない。$\mathbb Q$ の順序位相は $\mathbb R$ から受ける相対位相であるが、$\mathbb Q$ と $\mathbb R$ は同相でも等長でもない。前者は可算で後者は非可算だからである。

この判定は、整数では全点が孤立し、有理数と実数では全点が非孤立であることを一度に説明する。孤立点の有無だけで順序位相全体が決まるわけではないが、具体例を読む最初の手掛かりになる。

部分集合の二つの位相

$Y\subset L$ に入る位相には二つの自然な候補がある。まず $L$ の順序位相から相対位相を受ける方法。次に $L$ の順序を $Y$ に制限し、$Y$ の全順序から順序位相を改めて作る方法である。この二つは一致するとは限らない。違いは、$L$ に存在して $Y$ から抜け落ちた点が、$Y$ の開集合にどのように作用するかにある（Mun00 §16）。
例えば $Y=[0,1)\cup\{2\}\subset\mathbb R$ とし、通常の大小順序を制限する。$\mathbb R$ からの相対位相では $\{2\}=Y\cap(3/2,5/2)$ は開集合である。しかし $Y$ 自身の順序位相では $2$ は最大元で、$2$ を含む基本近傍は $(a,2]$（$a\in Y$, $a<2$）の形である。$a<1$ だから $(a,1)$ の点もその近傍に含まれ、$\{2\}$ は開でない。$Y$ の順序では $1$ が点として存在しないため、$2$ の直前の点がなくなるのである。
この例は 部分空間位相 にも現れるが、ここでは「同じ集合、同じ大小関係でも、位相の作り方が違う」という点を重視する。相対位相の開集合は $L$ にある点を端点として切り取れる。順序位相では $Y$ の点だけを端点に使うので、抜け落ちた $1$ を境界として使えない。
一方、$Y$ が $L$ の順序凸集合、すなわち $y_0< z< y_1$ かつ $y_0,y_1\in Y$ なら $z\in Y$ となる部分集合なら、二つの位相は一致する。実数の区間や半直線はこの場合に当たる。順序凸性は十分条件であって必要条件ではない。例えば $Y=\{0,2\}\subset\mathbb R$ は順序凸ではないが、両方の位相は二点離散位相になる。

順序数の順序位相

順序数は、それより小さい順序数全体の集合として見れば全順序集合であり、自然に順序位相を持つ。$\omega$ を最初の無限順序数とすると、$\omega=\{0,1,2,\ldots\}$ の順序位相は離散である。各有限順序数 $n$ は、$n=0$ なら最小元、$n>0$ なら直前の元 $n-1$ を持ち、どの $n$ にも直後の元 $n+1$ があるからである。
$\omega+1=\omega\cup\{\omega\}$ では、有限順序数は依然として孤立点だが、最後の点 $\omega$ は孤立していない。$\omega$ の基本近傍は $(n,\omega]$ で、有限個を除くすべての自然数と $\omega$ を含む。よって自然数列 $0,1,2,\ldots$ は $\omega$ に収束する。これは実数の数列の極限を新しい終点として加えた空間と同相であり、例えば $\{0\}\cup\{1/(n+1):n\in\mathbb N\}$ の相対位相と同じ形を持つ。
一般に後続順序数 $\beta+1$ は、上に $\beta+2$ が存在する順序数空間では孤立点である。極限順序数 $\lambda$ は直前の点を持たないため、$\lambda$ を含む基本近傍はある $\beta<\lambda$ より上の点をすべて含む。順序位相の閉集合を扱う際、極限順序数に近づく下方からの点を無視できないのはこのためである。ただし空間をちょうど $\lambda$ で切るか、$\lambda+1$ まで含めるかで端点の扱いが変わるので、どの順序数空間に位相を入れているかを必ず明記する。
最小の非可算順序数を $\omega_1$ とする。$[0,\omega_1]=\omega_1+1$ の終点 $\omega_1$ は、下にある可算順序数のどの可算列からも近づけない。これは $\omega$ の場合との決定的な差である。

最後の段落は、各 $U_n$ が少なくとも尾部を含むことだけから「$U_n$ も $\beta+1$ を含む」と分かる点を使っている。点列が閉包を検出しないことは、順序位相空間では開集合・閉集合を定義どおり近傍で調べる必要があることを示す。Jech03 の順序数の基礎と、Mun00 の順序位相・可算性公理を併せて参照できる。

コンパクト性と連結性を読む

実数の閉区間 $[a,b]$ は順序位相でコンパクトである。これは実数の上限性に支えられている。一般の全順序集合では「両端がある」というだけではコンパクトにならない。例えば $\mathbb Q$ の区間 $[0,1]\cap\mathbb Q$ は両端を持つが、$\sqrt2/2$ に近づく有理数列にはその空間内で収束する部分列がなく、通常の相対位相、したがってその順序位相でコンパクトでない。
順序数では $[0,\alpha]$ は任意の順序数 $\alpha$ に対してコンパクトである。極限段階では、その極限点を覆う開集合が少し下まで届くことが証明の要点になる。

一般の順序位相では、どの区間がコンパクトになるかを判定するには順序の完備性が重要になる。両端だけ、あるいは位相的な有界という語だけでは十分でない。
また $\mathbb R$ の順序位相は連結であるが、$\mathbb Z$ は離散で連結でない。隣り合う二点が存在すると、その間で空間を開いた左右に切り分けやすい。反対に実数では二点の間が順序的に詰まり、さらに上限が存在する。線形連続体について順序位相の連結性を特徴付ける定理があるが、順序の稠密性だけで連結と判断してはならない。$\mathbb Q$ は任意の二点の間に別の点を持つにもかかわらず、無理数を境に左右の二つの開集合へ分かれるため連結でない。
順序位相を持つ空間は通常の距離から出る空間に限られない。先ほどの $\omega_1+1$ は終点で第1可算でない。一方、どの距離空間も各点で半径 $1/n$ の球を可算な基本近傍系として持つ。したがって $\omega_1+1$ は距離化できない。この例は、順序から位相を定めることと距離を定めることが別の操作であると明確に示す。

用語を使い分ける

「順序位相」はこのページでは全順序の開区間から生成される位相を指す。一般の半順序集合では、下集合を開とする Alexandrov 位相、上集合を開とする位相、Scott 位相など別の自然な位相があり、全順序の順序位相と同じものとして扱えない。例えば自然数の通常の順序から作る本記事の順序位相は離散だが、上集合だけを開とする位相は離散ではない。名前に「順序」が入るだけで同一視しないことが必要である。
順序位相について証明するときは、最小元・最大元・隣接点の存在を早めに確認するとよい。端点では半直線が基本近傍になり、隣接点があれば開区間が一点集合になり、極限順序数では下からのすべての尾部が近傍を形作る。順序を保つ写像なら、その逆像が半直線をどう移すかを調べると連続性が判定しやすい。ただし単なる単調写像は跳躍を持ち得るので、順序同型に対する命題を単調写像一般へ広げてはならない。
最後に部分集合では、相対位相と制限順序から作る位相のどちらを採用しているかを明記する。実数の区間では一致するため違いが見えにくいが、$[0,1)\cup\{2\}$ のような空隙のある部分集合では同じ点集合でも開集合が異なる。順序位相を道具として使うときの最も身近な落とし穴である。

条件を外したときの反例

本記事の命題の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。

順序凸・完備性・$\omega_1$ の行は本文で確かめた。残る二行を確かめる。

参照箇所

• Mun00 §14 は順序位相の定義、開区間・端点の基本近傍、実数や整数の例を扱い、§16 は部分空間位相との比較を扱う。本記事の二つの位相の区別は同書の例と定理に対応する。
• Jech03 第2章は順序数と後続・極限順序数の基礎を与える。$\omega$ と $\omega_1$ の順序空間の説明はこの基礎と順序位相の定義を組み合わせている。

関連項目

• 前提を確認する: 全順序, 位相空間, 開集合, 順序数
• 位相の構成: 部分空間位相, 離散位相, 同相写像
• 性質と例: Hausdorff空間, コンパクト空間, 連結空間, 第1可算公理