順序位相
概要
順序位相（order topology）とは、全順序集合の左半直線 $(-\infty,b)$ と右半直線 $(a,\infty)$ を準開基として生成される位相である。実数の通常の位相を再現し、整数には離散位相を与え、点が孤立点かどうかは直前・直後の点の有無で判定できる。順序位相は常に遺伝正規で、コンパクト性は空でない部分集合が上限と下限をもつことと、連結性は隣り合う二点がなく上に有界な集合が上限をもつことと同値であり、順序凸な部分集合では順序位相と相対位相が一致するが、$[0,1)\cup\{2\}$ のように一致しない部分集合もある。順序数の閉区間 $[0,\alpha]$ はコンパクトであり、$[0,\omega_1]$ の終点は点列では近づけず第1可算でないため、この空間は距離化できない。
順序から位相を作る
実数直線の開区間は、二つの端点の間にある点を集めた集合である。この「間にある」という順序の考えを一般の全順序集合に移すと、距離を先に決めなくても開集合を定められる。こうして得られる位相が順序位相（order topology）である。順序位相は実数の通常の位相を再現する一方、整数には離散位相を与え、順序数の極限点には実数とは異なる近傍構造を与える。
順序位相を使うときは、三つの区別が重要になる。まず、全順序と半順序は異なり、以下の定義は全順序を前提とする。次に、順序を制限した部分集合の順序位相は、元の順序位相から受ける部分空間位相と必ずしも一致しない。最後に、順序数のような空間では、点列だけでは位相の全情報を検出できない場合がある。本記事では定義から出発し、開区間・半直線・孤立点・順序を保つ写像を具体的に調べた後、順序数と部分空間の例へ進む。
定義と基本近傍
$(L,<)$ を全順序集合とする。$a,b\in L$ に対して $(a,b)=\{x\in L:a< x< b\}$ と書く。また $(-\infty,b)=\{x\in L:x< b\}$、$(a,\infty)=\{x\in L:a< x\}$ と書く。ここで $\infty$ は $L$ に新たに加えた点ではなく、左または右への半直線を示す記号である。
全順序集合 $L$ の順序位相とは、すべての $a,b\in L$ に対する左半直線 $(-\infty,b)$ と右半直線 $(a,\infty)$ を準開基として生成される位相である。すなわちこれらの集合の有限個の共通部分を合併して得られる集合を開集合とする。この位相を入れた $L$ を線型順序位相空間という。
右半直線 $(a,\infty)$ だけを準開基として生成される、順序位相より粗い位相は 右順序位相 で扱う。
左半直線 $(-\infty,b)$ と右半直線 $(a,\infty)$ の共通部分は開区間 $(a,b)$ である。したがって、最小元も最大元もない点 $x$ の近傍には、$a< x< b$ を満たす開区間 $(a,b)$ を含められる。$L$ に最小元 $m$ があるときは $(-\infty,b)=[m,b)$ が $m$ の基本近傍になる。最大元 $M$ があるときは $(a,\infty)=(a,M]$ が $M$ の基本近傍になる。一点集合の場合や端点の直後・直前の点がある場合には、これらが一点集合になり得る。
「開区間だけで基底を作る」と単純に言うと、最小元・最大元がある空間で端点の近傍を取り落とす。例えば $L=[0,1]$ では、$0$ を含む開集合 $[0,1/2)$ が順序位相で開いているが、$0$ は通常の $(a,b)$ 型の開区間には入らない。半直線を準開基に選べば端点も統一的に扱える（Mun00 §14）。
順序位相は順序を忘れた集合に任意の位相を置く操作ではなく、指定された順序に依存する。同じ集合に異なる全順序を入れれば異なる位相を生じることがある。例えば自然数を通常の順序で並べた空間は離散だが、自然数と一つの終点を並べた $\omega+1$ では最後の点が極限点となる。以下では順序も位相も明示して比較する。
分離性と順序同型
全順序で異なる二点は、順序によって左右に分けられる。このことから順序位相は常に Hausdorff である。間に第三の点が存在しなくても分離できる点を見落としやすいので、二つの場合を分けて証明する。
任意の全順序集合 $L$ は、その順序位相について Hausdorff 空間である。
$x< y$ を $L$ の異なる二点とする。もし $x< z< y$ となる $z$ があれば、$U=(-\infty,z)$ と $V=(z,\infty)$ はそれぞれ $x,y$ を含む開集合で、$U\cap V=\emptyset$ である。間にそのような $z$ がなければ、$U=(-\infty,y)$ と $V=(x,\infty)$ を取る。共通部分は $(x,y)$ だが、仮定により空集合である。いずれの場合も $x,y$ は交わらない開近傍で分離できる。$\square$
これは順序位相の最初の強い制約である。例えば二点集合の密着位相は Hausdorff でないため、その位相を与える全順序は存在しない。ただし Hausdorff であるだけでは、ある空間が順序位相から得られるとはいえない。順序位相空間であることは、開集合が一本の線形な順序の区間から組み立てられるという追加構造を含む。
順序の構造が正確に一致する写像は、位相の構造も一致させる。これを明示しておくと、見かけ上異なる順序集合を同じ位相空間として扱える。
全順序集合 $L,M$ の間の全単射 $f\colon L\to M$ が、すべての $x,y\in L$ について $x< y$ と $f(x)< f(y)$ が同値となる順序同型ならば、順序位相に関して $f$ は同相写像である。
$M$ の左半直線 $(-\infty,b)$ の逆像は $(-\infty,f^{-1}(b))$、右半直線 $(a,\infty)$ の逆像は $(f^{-1}(a),\infty)$ である。いずれも $L$ の順序位相で開いている。これらは $M$ の順序位相の準開基なので、$f$ は連続である。同じ議論を、やはり順序同型である逆写像 $f^{-1}$ に適用すると逆写像も連続である。したがって $f$ は同相写像である。$\square$
逆は一般に成り立たない。同相写像は指定された順序を保つ必要がない。実数直線の $x\mapsto -x$ は通常の位相について同相写像だが、順序を逆転する。また実数直線の $x\mapsto x^3$ は順序を保つ同相写像であり、距離を保たない。このように順序同型・同相写像・等長写像は、それぞれ保存する構造が異なる。
実数・整数・有理数
$\mathbb R$ の通常の順序から作る順序位相は、通常の距離 $|x-y|$ から作る位相と一致する。実際、距離の開球 $(x-r,x+r)$ は順序開区間であり、任意の開区間 $(a,b)$ とその中の点 $x$ に対して十分小さい $r>0$ を選べば $B(x,r)\subset(a,b)$ となる。半直線も通常の位相で開いている。よって双方の開集合の生成系が互いに開である。
同じ理由で、閉区間 $[a,b]$ に順序を制限して得る位相は $\mathbb R$ からの相対位相に一致する。端点 $a,b$ の近傍は、それぞれ $[a,c)$、$(c,b]$ という形になり、実数直線の開集合と $[a,b]$ の共通部分として書ける。開区間、半開区間、半直線についても同じ対応が成立する。後述するように、任意の部分集合でこの一致を仮定してはならない。
$\mathbb Z$ に通常の順序を入れると、各 $n\in\mathbb Z$ について $(n-1,n+1)=\{n\}$ が開集合となる。したがって順序位相は離散位相である。$n$ の周囲に「順序の隙間」があるため、一点集合が開く。一方、$\mathbb Q$ は通常の順序で稠密、すなわち異なる二つの有理数の間に別の有理数があるので、一点集合は開かない。$\mathbb Q$ の順序位相は $\mathbb R$ から受ける相対位相であるが、$\mathbb Q$ と $\mathbb R$ は同相でも等長でもない。前者は可算で後者は非可算だからである。
$x\in L$ が順序位相で孤立点であるための必要十分条件は、$x$ の左側に点が存在しないか直前の点があり、かつ右側に点が存在しないか直後の点があることである。
左右に点がなければ適切な半直線または $L$ 自身を用い、直前の点 $a$ と直後の点 $b$ があれば $(a,b)=\{x\}$ となる。片側だけが端点の場合も $[x,b)$ または $(a,x]$ の形の基本開集合で $\{x\}$ を得る。
逆に $\{x\}$ が開いていれば、$x$ を含み $\{x\}$ に含まれる準開基の有限共通部分がある。その共通部分の左端を制限する条件が存在するなら、ある $a< x$ について $(a,x)$ に点がない。$a$ は $x$ の直前の点である。左端を制限する条件がなければ $x$ より小さい点は存在しない。同様に右側を調べると、$x$ は最大元であるか直後の点を持つ。両方の条件が従う。$\square$
この判定は、整数では全点が孤立し、有理数と実数では全点が非孤立であることを一度に説明する。孤立点の有無だけで順序位相全体が決まるわけではないが、具体例を読む最初の手掛かりになる。
部分集合の二つの位相
$Y\subset L$ に入る位相には二つの自然な候補がある。まず $L$ の順序位相から相対位相を受ける方法。次に $L$ の順序を $Y$ に制限し、$Y$ の全順序から順序位相を改めて作る方法である。この二つは一致するとは限らない。違いは、$L$ に存在して $Y$ から抜け落ちた点が、$Y$ の開集合にどのように作用するかにある（Mun00 §16）。
例えば $Y=[0,1)\cup\{2\}\subset\mathbb R$ とし、通常の大小順序を制限する。$\mathbb R$ からの相対位相では $\{2\}=Y\cap(3/2,5/2)$ は開集合である。しかし $Y$ 自身の順序位相では $2$ は最大元で、$2$ を含む基本近傍は $(a,2]$（$a\in Y$, $a<2$）の形である。$a<1$ だから $(a,1)$ の点もその近傍に含まれ、$\{2\}$ は開でない。$Y$ の順序では $1$ が点として存在しないため、$2$ の直前の点がなくなるのである。
この例は 部分空間位相 にも現れるが、ここでは「同じ集合、同じ大小関係でも、位相の作り方が違う」という点を重視する。相対位相の開集合は $L$ にある点を端点として切り取れる。順序位相では $Y$ の点だけを端点に使うので、抜け落ちた $1$ を境界として使えない。
一方、$Y$ が $L$ の順序凸集合、すなわち $y_0< z< y_1$ かつ $y_0,y_1\in Y$ なら $z\in Y$ となる部分集合なら、二つの位相は一致する。実数の区間や半直線はこの場合に当たる。順序凸性は十分条件であって必要条件ではない。例えば $Y=\{0,2\}\subset\mathbb R$ は順序凸ではないが、両方の位相は二点離散位相になる。
$Y$ が全順序集合 $L$ の順序凸部分集合なら、$Y$ の順序位相と、$L$ の順序位相から受ける相対位相は一致する。
まず $Y$ の準開基 $Y_{< b}=\{y\in Y:y< b\}$ と $Y_{>a}=\{y\in Y:a< y\}$（$a,b\in Y$）は、$L$ の対応する半直線と $Y$ の共通部分であり、相対位相で開く。よって $Y$ の順序位相は相対位相より細かくない。
逆を示すには、$c\in L$ に対する $Y\cap(-\infty,c)$ が $Y$ の順序位相で開くことを示せば十分である。$c\in Y$ ならこれは $Y_{< c}$ である。$c\notin Y$ なら、順序凸性により $c$ の両側に $Y$ の点が同時に存在することはない。したがって $Y\cap(-\infty,c)$ は $\emptyset$ または $Y$ のどちらかで、やはり開である。右半直線についても同じ議論をする。$L$ の準開基を $Y$ に制限した集合がすべて $Y$ の順序位相で開くので、相対位相も順序位相より細かくない。両者は一致する。$\square$
順序数の順序位相
順序数は、それより小さい順序数全体の集合として見れば全順序集合であり、自然に順序位相を持つ。$\omega$ を最初の無限順序数とすると、$\omega=\{0,1,2,\ldots\}$ の順序位相は離散である。各有限順序数 $n$ は、$n=0$ なら最小元、$n>0$ なら直前の元 $n-1$ を持ち、どの $n$ にも直後の元 $n+1$ があるからである。
$\omega+1=\omega\cup\{\omega\}$ では、有限順序数は依然として孤立点だが、最後の点 $\omega$ は孤立していない。$\omega$ の基本近傍は $(n,\omega]$ で、有限個を除くすべての自然数と $\omega$ を含む。よって自然数列 $0,1,2,\ldots$ は $\omega$ に収束する。これは実数の数列の極限を新しい終点として加えた空間と同相であり、例えば $\{0\}\cup\{1/(n+1):n\in\mathbb N\}$ の相対位相と同じ形を持つ。
一般に後続順序数 $\beta+1$ は、上に $\beta+2$ が存在する順序数空間では孤立点である。極限順序数 $\lambda$ は直前の点を持たないため、$\lambda$ を含む基本近傍はある $\beta<\lambda$ より上の点をすべて含む。順序位相の閉集合を扱う際、極限順序数に近づく下方からの点を無視できないのはこのためである。ただし空間をちょうど $\lambda$ で切るか、$\lambda+1$ まで含めるかで端点の扱いが変わるので、どの順序数空間に位相を入れているかを必ず明記する。
最小の非可算順序数を $\omega_1$ とする。$[0,\omega_1]=\omega_1+1$ の終点 $\omega_1$ は、下にある可算順序数のどの可算列からも近づけない。これは $\omega$ の場合との決定的な差である。
順序位相を入れた空間 $[0,\omega_1]$ では、終点 $\omega_1$ は部分集合 $[0,\omega_1)$ の閉包に入るが、$[0,\omega_1)$ の点からなる点列は $\omega_1$ に収束しない。また終点 $\omega_1$ は第1可算性を持たない。
終点 $\omega_1$ の任意の基本近傍は $(\alpha,\omega_1]$（$\alpha<\omega_1$）の形で、$\alpha+1\in[0,\omega_1)$ を含む。ゆえに $\omega_1$ は $[0,\omega_1)$ の閉包に属する。
一方、点列 $(\alpha_n)$ の各項は可算順序数である。可算個の可算集合の合併は可算なので $\beta=\sup_n\alpha_n<\omega_1$ である。近傍 $(\beta,\omega_1]$ は列のどの項も含まないから、この列は $\omega_1$ に収束しない。
もし $\omega_1$ に可算な基本近傍系 $(U_n)$ があれば、各 $U_n$ に含まれる尾部 $(\beta_n,\omega_1]$ を選べる。$\beta=\sup_n\beta_n<\omega_1$ とすると、$(\beta+1,\omega_1]$ は $\omega_1$ の近傍である。しかしどの $(\beta_n,\omega_1]$ も $\beta+1$ を含むため、どの $U_n$ もこの小さな近傍に含まれない。これは基本近傍系の定義に矛盾する。$\square$
最後の段落は、各 $U_n$ が少なくとも尾部を含むことだけから「$U_n$ も $\beta+1$ を含む」と分かる点を使っている。点列が閉包を検出しないことは、順序位相空間では開集合・閉集合を定義どおり近傍で調べる必要があることを示す。Jech03 の順序数の基礎と、Mun00 の順序位相・可算性公理を併せて参照できる。
コンパクト性と連結性を読む
実数の閉区間 $[a,b]$ は順序位相でコンパクトであり、これは実数の上限性に支えられている。一般の全順序集合でも、コンパクト性と連結性は順序の言葉だけで判定できる。全順序集合 $L$ が順序完備であるとは、$L$ の空でない任意の部分集合が $L$ の中に上限と下限をもつことをいう。空でない順序完備な $L$ は、$L$ 自身の下限と上限として最小元と最大元をもつ。
全順序集合 $L$ が順序位相でコンパクトであるための必要十分条件は、$L$ が順序完備であることである。
$L=\emptyset$ なら両方とも成り立つので、$L\neq\emptyset$ とする。点 $s$ を含む開集合は、半直線の有限個の共通部分で $s$ を含むものを含む。したがって、ある $c< s$ について $(c,s]$ を含むか、$(-\infty,s]$ 全体を含む。右側についても、ある $d>s$ について $[s,d)$ を含むか、$[s,\infty)$ 全体を含む。
要点：必要性は、コンパクト集合が最小元・最大元をもつことを上界全体の閉集合に当てはめる。十分性は、$[a,x]$ が有限個で覆える $x$ の上限が最大元に達することを示す。
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必要性：まず、空でないコンパクトな部分集合 $K$ は最小元をもつ。最小元がなければ、各 $x\in K$ より小さい $k\in K$ があるので、開集合 $(k,\infty)$（$k\in K$）は $K$ を覆う。有限個 $(k_1,\infty),\dots,(k_n,\infty)$ で覆えたとすると、$k_1,\dots,k_n$ のうち最小のものはどれにも入らず、矛盾する。同様に最大元ももつ。とくに $L$ は最大元をもつ。空でない $D\subset L$ の上界全体 $U=\bigcap_{d\in D}\bigl(L\setminus(-\infty,d)\bigr)$ は閉集合で、$L$ の最大元を含むので空でない。コンパクト空間の閉集合はコンパクトなので $U$ は最小元をもち、それが $D$ の上限である。下限も同様である。
十分性：$a,b$ を $L$ の最小元・最大元とし、開被覆 $\mathcal U$ を固定する。$S=\{x\in L\mid [a,x]\ \text{は}\ \mathcal U\ \text{の有限個の元で覆える}\}$ とおくと $a\in S$ なので、$s=\sup S$ が存在する。$s$ を含む $U\in\mathcal U$ が $(-\infty,s]=[a,s]$ を含めば $s\in S$ である。ある $c< s$ について $(c,s]\subset U$ なら、$c< u$ となる $u\in S$ があり、$[a,s]\subset[a,u]\cup(c,s]$ なので $s\in S$ である。
$s< b$ と仮定する。$U$ が $[s,\infty)=[s,b]$ を含めば $b\in S$ となり $b\le s$ に反する。ある $d>s$ について $[s,d)\subset U$ とする。$s< t< d$ となる $t$ があれば、$[a,t]\subset[a,s]\cup[s,d)$ から $t\in S$ となり $t\le s$ に反する。そのような $t$ がなければ $[a,d]=[a,s]\cup\{d\}$ なので、$d$ を含む元を一つ加えて $d\in S$ となり、やはり矛盾する。よって $s=b$ であり、$L=[a,b]$ は有限個で覆える。$\square$
$\mathbb Q$ の区間 $[0,1]\cap\mathbb Q$ は両端をもつが、部分集合 $\{q\mid q<\sqrt2/2\}$ が上限をもたないのでコンパクトでない。順序数の区間 $[0,\alpha]$ は、空でない部分集合が最小元をもち（整列性）、上界の全体（$\alpha$ を含む）の最小元が上限になるので順序完備であり、次の命題は thm-order-topology-compact-complete からも従う。順序数の場合は、極限点を覆う開集合が少し下まで届くことを使って直接示せる。
任意の順序数 $\alpha$ について、$[0,\alpha]$ は順序位相でコンパクトである。
$[0,\alpha]$ の任意の開被覆 $\mathcal U$ を固定し、$\beta\le\alpha$ に対して $[0,\beta]$ が $\mathcal U$ の有限個の元で覆えることを超限帰納法で示す。$\beta=0$ では $0$ を含む被覆の一元を取ればよい。$\beta=\gamma+1$ なら、帰納法で $[0,\gamma]$ を有限個で覆い、$\beta$ を含む一元を加える。$\beta$ が非零の極限順序数なら、$\beta$ を含む被覆の一元 $U$ を取る。順序位相の近傍の形から、ある $\gamma<\beta$ について $(\gamma,\beta]\subset U$ である。帰納法で $[0,\gamma]$ を有限個で覆い、そこへ $U$ を加えると $[0,\beta]$ 全体を覆う。したがって $\beta=\alpha$ において有限部分被覆が存在する。$\square$
連結性も順序で判定できる。$a< b$ で $a< x< b$ となる $x$ がないとき、$a,b$ は隣り合うという。
全順序集合 $L$ が順序位相で連結であるための必要十分条件は、次の二つが成り立つことである。
- $L$ に隣り合う二点がない。
- 上に有界な空でない部分集合は、$L$ の中に上限をもつ。
要点：隣り合う二点や上限のない集合があれば、その所で左右の開集合に切れる。逆に開集合への分割があれば、$U$ の点 $u$ から $U$ の中を右へ進める限界 $p=\sup A$ を考え、$p$ が $U$・$V$ のどちらに属しても矛盾を導く。
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必要性：$a< b$ が隣り合えば、$(-\infty,b)$ と $(a,\infty)$ はそれぞれ $a$、$b$ を含み、交わらず、$L$ を覆う開集合である。上に有界な空でない $D$ が上限をもたないとし、$D$ の上界全体を $B$、$A=L\setminus B$ とおく。$B$ は空でなく、最小元をもたない（最小元は上限になる）。$D$ の元は上界でない（上界なら $D$ の最大元、すなわち上限になる）ので $A\neq\emptyset$ である。$x\in B$ なら $x'< x$ となる $x'\in B$ があり $x\in(x',\infty)\subset B$、$x\in A$ なら $x< d$ となる $d\in D$ があり $x\in(-\infty,d)\subset A$ である。よって $A,B$ は開集合で、$L$ は連結でない。
十分性：$L=U\cup V$ を、交わらない空でない開集合への分割とする。$u\in U$、$v\in V$ をとり、必要なら $U,V$ を入れ替えて $u< v$ とする。$A=\{x\in[u,v]\mid [u,x]\subset U\}$ は $u$ を含み $v$ で上に押さえられるので、$p=\sup A$ が存在して $u\le p\le v$ である。$x< p$ なら $x< a$ となる $a\in A$ があるので、$[u,p)\subset U$ である。
$p\in U$ なら $p< v$ である。$[p,\infty)\subset U$ なら $v\in U$ となるので、prf-order-topology-compact-complete の冒頭により、ある $d>p$ について $[p,d)\subset U$ である。1 により $p< t<\min(d,v)$ となる $t$ をとると、$[u,t]=[u,p)\cup[p,t]\subset U$ より $t\in A$ となり、$t>p$ に反する。
$p\in V$ なら $u< p$ である。$(-\infty,p]\subset V$ なら $u\in V$ となるので、ある $c< p$ について $(c,p]\subset V$ である。$\max(c,u)< p=\sup A$ なので $\max(c,u)< a$ となる $a\in A$ があり、$a\in(c,p]\subset V$ と $a\in[u,a]\subset U$ が矛盾する。$\square$
- $\mathbb R$ と実数の区間は 1・2 を満たすので連結である。
- $\mathbb Z$ では $0$ と $1$ が隣り合い、1 が破れる。
- $\mathbb Q$ は 1 を満たすが、$\{q\in\mathbb Q\mid q^2<2\}$ は上に有界で上限をもたず、2 が破れる。稠密性だけでは連結にならない。
- $Y=[0,1)\cup[2,3]$ に通常の大小を制限した全順序は、$y\mapsto y$（$y<1$）、$y\mapsto y-1$（$y\ge2$）によって $[0,2]$ と順序同型なので、$Y$ の順序位相は連結である（prop-order-topology-isomorphism）。一方 $\mathbb R$ からの相対位相では、$Y$ は開集合 $[0,1)$ と $[2,3]$ に分かれる。
位相空間 $X$ の点 $p$ は、$X\setminus\{p\}$ が連結でないとき切断点という（空集合は連結とする）。
$L$ を順序位相で連結な全順序集合とし、$p\in L$ とする。$p$ が切断点であるための必要十分条件は、$(-\infty,p)$ と $(p,\infty)$ がともに空でないことである。
両方が空でなければ、それらは $L\setminus\{p\}$ を覆う交わらない空でない開集合である。$(-\infty,p)=\emptyset$ とすると $L\setminus\{p\}=(p,\infty)$ は順序凸なので、相対位相はそれ自身の順序位相に一致する（prop-order-topology-convex）。$(p,\infty)$ の二点の間に $L$ の点があれば、順序凸性によりそれは $(p,\infty)$ の点なので、$(p,\infty)$ に隣り合う二点はない。$(p,\infty)$ の空でない部分集合 $D$ が $y\in(p,\infty)$ で上に押さえられれば、$L$ での上限 $s$ は $d\le s\le y$（$d\in D$）を満たすので $(p,\infty)$ に属し、そこでの上限でもある。thm-order-topology-connected により $(p,\infty)$ は連結で、$p$ は切断点でない。$(p,\infty)=\emptyset$ の場合も同様である。$\square$
例えば $[0,1]$ は連結で、内部の点はすべて切断点だが、端点 $0$ と $1$ は切断点でない。$\mathbb R$ ではすべての点が切断点である。
任意の全順序集合 $L$ の順序位相は遺伝正規（$T_5$）である。すなわち一点集合は閉集合であり、分離された二つの部分集合 $A,B$（$\overline A\cap B=A\cap\overline B=\emptyset$）は交わらない開集合に含まれる（定義は 分離公理）。
要点：$\overline B$ の補集合の順序凸成分と $\overline A$ の補集合の順序凸成分は、重なるとしても左右に一つずつしか重ならないので、重なりの中に一点を選んでそこで切ればよい。
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$\{p\}$ の補集合は $(-\infty,p)\cup(p,\infty)$ なので開である。開集合 $O_A=L\setminus\overline B\supset A$、$O_B=L\setminus\overline A\supset B$ をとる。
(i) 順序凸成分。共通の点をもつ順序凸集合の和は順序凸なので、開集合 $O$ の点 $x$ を含む順序凸部分集合すべての和 $C_x$ は、$x$ を含む最大の順序凸部分集合であり、$O$ はこれらの互いに交わらない和になる。半直線の有限個の共通部分は順序凸なので、$y\in C_x$ は $O$ に含まれる順序凸な開近傍 $W$ をもち、$C_x\cup W$ は順序凸だから $W\subset C_x$ である。よって $C_x$ は開集合である。以下、$O_A$ の成分で $A$ と交わるものを $K$、$O_B$ の成分で $B$ と交わるものを $M$ で表す。$K$ は $B$ と、$M$ は $A$ と交わらない。
(ii) 重なり方。$K\cap M\neq\emptyset$ とし、$z\in K\cap M$、$a\in K\cap A$、$b\in M\cap B$ をとり、$a< b$ とする。$a'\in K\cap A$ が $z< a'$ を満たすなら、$M$ は $z$ を含み $a'$ を含まない順序凸集合なので $M\subset(-\infty,a')$、とくに $b< a'$ となり、$a< b< a'$ から $b\in K$ となって矛盾する。同様に $b'\in M\cap B$ が $b'< z$ を満たすなら $K\subset(b',\infty)$ から $b'< a$ となり、$b'< a< b$ から $a\in M$ となって矛盾する。よって $K\cap A$ は $K\cap M$ より左に、$M\cap B$ は $K\cap M$ より右にある。このとき $M$ を $K$ の右の相手、$K$ を $M$ の左の相手という（$b< a$ なら左右を入れ替える）。
(iii) 相手は各側に高々一つ。$M_1\neq M_2$ がともに $K$ の右の相手なら、$z_i\in K\cap M_i$、$b_i\in M_i\cap B$ をとる。(ii) により $z_j< b_j$ であり、$K$ は $b_j$ より小さい $z_j$ を含み $b_j$ を含まない順序凸集合だから $K\subset(-\infty,b_j)$ である。よって $z_1,z_2<\min(b_1,b_2)$ となる。すると $z=\max(z_1,z_2)$ は $z_i\le z< b_i$ を満たして両方の $M_i$ に属し、成分が交わらないことに反する。左の相手、$M$ の相手についても同様である。
(iv) 切る。重なる組 $(K,M)$ ごとに点 $k_{K,M}\in K\cap M$ を一つ選ぶ（選択公理を使う）。$K$ から、右の相手 $M$ があれば $[k_{K,M},\infty)$ を、左の相手 $M'$ があれば $(-\infty,k_{K,M'}]$ を除いた集合を $U_K$ とする。$V_M$ も同様に、$M$ から相手との選んだ点を境に $K$ の側の閉半直線を除いて作る。これらは開集合から閉集合を除いたものなので開であり、(ii) により $K\cap A\subset U_K$、$M\cap B\subset V_M$ である。$K\cap M=\emptyset$ なら $U_K\cap V_M=\emptyset$ である。$M$ が $K$ の右の相手なら、$k=k_{K,M}$ について $U_K\subset(-\infty,k)$、$V_M\subset(k,\infty)$ である。左の相手でも同様である。よって $U=\bigcup_KU_K$ と $V=\bigcup_MV_M$ は交わらない開集合で、$A\subset U$、$B\subset V$ である。$\square$
辞書式順序の正方形は遺伝正規だが完全正規でない（下の命題の 5）。
順序位相を持つ空間は通常の距離から出る空間に限られない。先ほどの $\omega_1+1$ は終点で第1可算でない。一方、どの距離空間も各点で半径 $1/n$ の球を可算な基本近傍系として持つ。したがって $\omega_1+1$ は距離化できない。この例は、順序から位相を定めることと距離を定めることが別の操作であると明確に示す。
辞書式順序の正方形
単位正方形 $X=[0,1]\times[0,1]$ に辞書式順序（$(x,y)<(u,v)$ とは $x< u$、または $x=u$ かつ $y< v$）を入れ、その順序位相を考える。平面の通常の位相とは別の位相である。縦の線分 $\{r\}\times[0,1]$ を ファイバー と呼ぶ。$X$ は「よい性質」と「悪い性質」を一つの空間に併せもつ。
| 性質 | 成り立つか | 根拠 |
|---|---|---|
| Hausdorff | はい | prop-order-topology-hausdorff |
| コンパクト・正規 | はい | 下の命題の 1 |
| 連結・局所連結 | はい | 下の命題の 1 |
| 第1可算 | はい | 下の命題の 2 |
| 可算鎖条件・可分 | いいえ | 下の命題の 3 |
| 距離化可能 | いいえ | 下の命題の 3 |
| 弧状連結 | いいえ（弧状連結成分は各ファイバー） | 下の命題の 4 |
| 遺伝正規（$T_5$） | はい | prop-order-topology-hereditarily-normal |
| 完全正規（閉集合がすべて $G_\delta$） | いいえ | 下の命題の 5 |
$X$ を辞書式順序の順序位相を入れた単位正方形とする。
- $X$ はコンパクトかつ連結である。したがって正規であり、局所連結でもある。
- $X$ は第1可算である。
- 互いに交わらない空でない開集合 $V_r:=\{r\}\times(\tfrac14,\tfrac34)$（$r\in[0,1]$）は非可算個ある。したがって $X$ は可算鎖条件を満たさず、可分でなく、距離化可能でない。
- $X$ の弧状連結成分はちょうど各ファイバー $\{r\}\times[0,1]$ である。とくに $X$ は弧状連結でない。
- ファイバーの端点全体 $F:=\{(r,0),(r,1)\mid r\in[0,1]\}$ は閉集合だが $G_\delta$ 集合でない。したがって $X$ は完全正規でない。
要点：1 は上限の存在から、3 は互いに交わらない縦の開区間から、4 は道の像が順序の区間を含むことと 3 から、5 はコンパクト集合が有限個のファイバーの内部にしか入れないことから従う。
詳しい証明を開く
1：$X$ の空でない部分集合は上限をもち（第1座標の上限 $b$ をとり、$A$ がファイバー $\{b\}\times[0,1]$ と交わればそこで第2座標の上限をとり、交わらなければ $(b,0)$ が上限である）、二点の間に必ず別の点がある（Mun00 §24 Example 1、p. 155）。上限性をもつ全順序集合の閉区間は順序位相でコンパクトであり（Mun00 Theorem 27.1、p. 172）、$X=[(0,0),(1,1)]$ はコンパクトである。上限性をもち隣接する二点をもたない全順序集合（線形連続体）とその区間は連結であり（Mun00 Theorem 24.1、p. 153）、$X$ は連結である。コンパクト Hausdorff 空間は正規である（コンパクト空間 が所有する）。開区間と端の半開区間からなる開基が連結なので、局所連結である（局所連結空間）。
2：$0< t< 1$ の点 $(r,t)$ では、$n$ が大きいとき開区間 $((r,t-\tfrac1n),(r,t+\tfrac1n))$ が基本近傍系をなす。$r>0$ の点 $(r,0)$ では $((r-\tfrac1n,0),(r,\tfrac1n))$ をとる。$(r,0)$ を含む開区間 $(a,b)$ について、$a<(r,0)$ なら $a$ の第1座標は $r$ より小さいので、$n$ が大きければ $(r-\tfrac1n,0)>a$ であり、$b>(r,0)$ なら $n$ が大きければ $(r,\tfrac1n)< b$ である。$r< 1$ の点 $(r,1)$ では同様に $((r,1-\tfrac1n),(r+\tfrac1n,0))$ をとる。最小元 $(0,0)$ では $[(0,0),(0,\tfrac1n))$、最大元 $(1,1)$ では $((1,1-\tfrac1n),(1,1)]$ をとる。
3：$V_r$ は開区間 $((r,\tfrac14),(r,\tfrac34))$ であり、$r\ne r'$ なら交わらない。可算な稠密集合 $D$ があれば、各 $V_r$ が $D$ の点を含み、$V_r$ が互いに交わらないので $r\mapsto$（$V_r$ に入る $D$ の点）が単射になり、$[0,1]$ が可算になって矛盾する。コンパクト距離空間は可分である（各 $n$ について半径 $\tfrac1n$ の開球の有限部分被覆をとり、その中心全体を集めればよい）ので、$X$ は距離化可能でない。
4：ファイバー $\{r\}\times[0,1]$ は順序凸なので、その相対位相はそれ自身の順序位相と一致し（prop-order-topology-convex）、$[0,1]$ と同相である。よって各ファイバーは弧状連結である。第1座標 $r< s$ の二点を結ぶ道 $\gamma\colon[0,1]\to X$ があったとする。像は連結で、順序位相の連結集合は二点の間の点をすべて含むので（$c$ が欠けていれば $\{x< c\}$ と $\{x>c\}$ で分かれる）、$r< u< s$ のすべての $u$ について $V_u$ と交わる。$\gamma^{-1}(V_u)$ は $[0,1]$ の互いに交わらない空でない開集合で、それぞれ有理数を含むから、非可算個はありえない。よって異なるファイバーの点は道で結べない。
5：$U:=X\setminus F=\bigcup_r\{r\}\times(0,1)$ は開区間の和なので開であり、$F$ は閉である。$F=\bigcap_nG_n$（$G_n$ は開）と書けたとすると、$U=\bigcup_n(X\setminus G_n)$ で、各 $X\setminus G_n$ はコンパクトな $X$ の閉集合なのでコンパクトであり、$U$ に含まれる。コンパクトな $K\subset U$ は、互いに交わらない開集合 $\{r\}\times(0,1)$ による被覆から有限部分被覆をもつので、有限個のファイバーとしか交わらない。よって $U$ は可算個のファイバーとしか交わらないが、すべての $r$ について $(r,\tfrac12)\in U$ なので矛盾する。$\square$
この空間は SS78 の Example 48（p. 73）にある。コンパクトで第1可算でも、可分性がなければ距離化可能にならないこと、連結で局所連結でも弧状連結とは限らないこと（局所連結空間 の命題「局所連結だが局所弧状連結でない空間」も同じ空間を扱う）、正規でも閉集合が $G_\delta$ とは限らないことが、一つの空間で確かめられる。
用語を使い分ける
「順序位相」はこのページでは全順序の開区間から生成される位相を指す。一般の半順序集合では、下集合を開とする Alexandrov 位相、上集合を開とする位相、Scott 位相など別の自然な位相があり、全順序の順序位相と同じものとして扱えない。例えば自然数の通常の順序から作る本記事の順序位相は離散だが、上集合だけを開とする位相は離散ではない。名前に「順序」が入るだけで同一視しないことが必要である。
順序位相について証明するときは、最小元・最大元・隣接点の存在を早めに確認するとよい。端点では半直線が基本近傍になり、隣接点があれば開区間が一点集合になり、極限順序数では下からのすべての尾部が近傍を形作る。順序を保つ写像なら、その逆像が半直線をどう移すかを調べると連続性が判定しやすい。ただし単なる単調写像は跳躍を持ち得るので、順序同型に対する命題を単調写像一般へ広げてはならない。
最後に部分集合では、相対位相と制限順序から作る位相のどちらを採用しているかを明記する。実数の区間では一致するため違いが見えにくいが、$[0,1)\cup\{2\}$ のような空隙のある部分集合では同じ点集合でも開集合が異なる。順序位相を道具として使うときの最も身近な落とし穴である。
条件を外したときの反例
本記事の命題の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 順序が全順序 | $\{a,b,c\}$ に $a< c$、$b< c$ だけを入れた半順序と、同じ半直線から生成した位相 | 位相が Hausdorff |
| $Y$ が順序凸 | $Y=[0,1)\cup\{2\}\subset\mathbb R$ | $Y$ の順序位相と相対位相が一致 |
| 順序の完備性（上限の存在） | $[0,1]\cap\mathbb Q$ | 両端を持つ閉区間はコンパクト |
| 順序の完備性 | $\mathbb Q$ | 稠密な全順序の順序位相は連結 |
| $p$ の両側に点がある | $[0,1]$ の端点 $0$ | 連結な全順序空間の点は切断点 |
| 終点に可算列で近づける | $[0,\omega_1]$ の終点 $\omega_1$ | 順序位相は第1可算（距離化可能） |
| 順序同型（単調だけ） | $f(x)=0$（$x< 0$）、$f(x)=1$（$x\ge0$）の $\mathbb R\to\mathbb R$ | 順序を保つ写像は連続 |
順序凸・完備性・切断点・$\omega_1$ の行は本文で確かめた。残る二行を確かめる。
半順序。 $a,b$ は比較できず、$a< c$、$b< c$ とする。半直線は $(-\infty,c)=\{a,b\}$、$(a,\infty)=(b,\infty)=\{c\}$ と、空集合 $(-\infty,a)=(-\infty,b)=(c,\infty)=\emptyset$ である。生成される位相の開集合は $\emptyset,\{a,b\},\{c\},\{a,b,c\}$ となる。$a$ を含む開集合は必ず $b$ も含むので、$a,b$ を交わらない開集合で分けられない。Hausdorff の証明で使った「異なる二点は $x< y$ か $y< x$」が、全順序でないため使えない。
単調な不連続写像。 $f$ は $x\le y$ なら $f(x)\le f(y)$ を満たす。開集合 $(1/2,\infty)$ の逆像は $[0,\infty)$ で、$\mathbb R$ の開集合でない（$0$ のどの開区間も負の数を含む）。従って $f$ は連続でない。順序同型の証明では「半直線の逆像が半直線」を使ったが、単調写像では逆像が $[0,\infty)$ のような端点を含む集合になり得る。
参照箇所
- Mun00 §14 は順序位相の定義、開区間・端点の基本近傍、実数や整数の例を扱い、§16 は部分空間位相との比較を扱う。本記事の二つの位相の区別は同書の例と定理に対応する。§24 は線形連続体（上限性をもち、隣接する二点をもたない全順序集合）の区間の連結性を、§27 は上限性をもつ全順序集合の閉区間のコンパクト性を扱い、辞書式順序の正方形の節で引用した。
- SS78 Example 39（pp. 66–68）は一般の全順序集合の順序位相について、遺伝正規性、順序完備性とコンパクト性、連結性の判定を扱う。Example 48 は辞書式順序の正方形の性質を列挙している。
- Jech03 第2章は順序数と後続・極限順序数の基礎を与える。$\omega$ と $\omega_1$ の順序空間の説明はこの基礎と順序位相の定義を組み合わせている。
関連項目
参考文献
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