重み付き極限
概要
重み付き極限（weighted limit）とは、関手として与えた重みによる錐を普遍的に表現する構成である。重み付き余極限も定義し、エンド・コエンド、要素の圏、各点Kan拡張による計算を説明する。
前提知識: 圏, 関手, 自然変換, 極限(圏論), エンド
定義
$\mathcal C$ を小さい圏、$\mathcal D$ を局所小な圏、$F:\mathcal C\to\mathcal D$ を図式とする。通常の極限(圏論)では各対象へ一本ずつ射を出す。重み付き極限では、その射を指定するための添字と、添字の動きも与える。
重み（weight）を関手 $W:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ とする。$W$ を重みとする極限（weighted limit）$\{W,F\}$ は、すべての $T\in\mathcal D$ に関して自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(T,\{W,F\})
\cong
\operatorname{Nat}\bigl(W,\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(T,F(-))\bigr)
$$
を持つ対象である。右辺は自然変換の集合である。この表示における恒等射に対応する自然変換を普遍的な重み付き錐という。
右辺の要素は、各 $c$ と $w\in W(c)$ についての射 $\alpha_{c,w}:T\to F(c)$ であって、
$$F(u)\alpha_{c,w}=\alpha_{d,W(u)w}\qquad(u:c\to d)$$
を満たすものである。従って定義は射の具体的な整合条件としても読める。Rie14 §7.1、Kel82 §3.1。
余極限(圏論)の重みは反対向きの関手 $U:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ とする。重み付き余極限 $U\star F$ は、$T$ に自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(U\star F,T)
\cong
\operatorname{Nat}\bigl(U,\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(-),T)\bigr)
$$
を持つ対象である。右辺の自然変換は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上で取る。
極限の重みと図式は同じ向き、余極限の重みと図式は逆向きである。存在すれば、いずれも普遍的な構造を保つ同型を除いて一意である。
直感：重みは数ではなく関手
$W(c)$ は「$c$ へ何本の射を出すか」を指定するだけではない。射 $u:c\to d$ に対する写像 $W(u)$ が、どの射とどの射を整合させるかも指定する。このため、各 $W(c)$ の元の個数だけでは重みを復元できない。
集合 $S$ と対象 $X$ に対し、存在するとき $X^S=\prod_{s\in S}X$ を冪、$S\cdot X=\coprod_{s\in S}X$ を余冪という。以下の公式で、重みは冪・余冪を通じて図式に作用する。
例
$W$ を一点集合への定値関手とすると、各対象に一本の射が与えられ、自然性は通常の錐の条件になる。従って $\{1,F\}=\lim F$ である。同様に $1\star F=\operatorname{colim}F$ となる。
$W=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c_0,-)$ なら $\{W,F\}\cong F(c_0)$ である。実際、自然変換は $1_{c_0}$ の像 $\alpha:T\to F(c_0)$ で決まり、$u:c_0\to c$ での像は $F(u)\alpha$ になる。余極限では $U=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,c_0)$ に対して $U\star F\cong F(c_0)$ である。これは米田の補題の重み付き極限への応用である。
位数2の群 $G$ を一対象圏とする。$W$ を二元集合への自明作用、$W'$ を二元集合への交換作用、$F$ を交換作用を持つ二元集合とする。$\mathcal D=\mathbf{Set}$ では重み付き極限は同変写像集合になる。$W$ から $F$ への同変写像は存在しないが、$W'$ から $F$ への同変写像は2個ある。重みの値の個数が一致しても、射への作用が違えば答えは変わる。
性質
$T\to F(c)^{W(c)}$ は、$W(c)$ 個の射 $T\to F(c)$ の族と同じである。これらがエンドの楔になる条件は、定義に書いた $F(u)\alpha_{c,w}=\alpha_{d,W(u)w}$ に一致する。従ってエンドが重み付き錐を表現する。双対に、$U(c)\cdot F(c)\to T$ の族にコエンドの関係を課すと、$U\to\operatorname{Hom}(F(-),T)$ の自然性が得られる。
$W:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ の要素の圏 $E_W$ を、対象 $(c,w)$、射 $(c,w)\to(d,z)$ を $W(u)w=z$ を満たす $u:c\to d$ として定める。射影 $p:E_W\to\mathcal C$ に対し
$$\{W,F\}\cong\lim_{E_W}Fp.$$
反変の $U$ の場合は、射 $(c,w)\to(d,z)$ の条件を $w=U(u)z$ として $E_U$ を定めると、
$$U\star F\cong\operatorname{colim}_{E_U}Fp.$$
Rie14 §§7.1–7.2。
$Fp$ への錐は、各 $(c,w)$ に一本の射 $\alpha_{c,w}:T\to F(c)$ を持つ。要素の圏の各射に対する錐の可換条件は、重み付き錐の条件と同じである。この対応は $T$ に自然なので普遍対象が一致する。反変重みの場合も、余錐の条件を同じように展開すればよい。
Kan拡張と積分計算
$K:\mathcal C\to\mathcal B$ に沿う各点右Kan拡張・各点左Kan拡張が存在する状況、例えば対応する小さい極限・余極限を $\mathcal D$ が持つ状況では、
$$
(K^\ddagger F)(b)\cong
\{\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,K(-)),F\},
$$
$$
(K^\dagger F)(b)\cong
\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(-),b)\star F.
$$
$K^\dagger$ は通常 $\operatorname{Lan}_K$、$K^\ddagger$ は通常 $\operatorname{Ran}_K$ とも書く。ここでは左に†、右に‡を用いる。これらは随伴関手の言葉で、前合成 $K^*$ の左随伴・右随伴に対応する。Rie14 §§7.1–7.2。
つまり右Kan拡張は「重みに応じた整合する族」、左Kan拡張は「重みに応じて足し合わせて関係を課したもの」として各点で計算できる。積分記号の有用性は、この二つをエンド・コエンドの統一した計算に載せられる点にある。
豊穣圏版への補足
一般の基礎圏 $\mathcal V$ では、重みは $\mathcal V$-関手となり、普遍性は射集合の全単射でなくHom対象の同型で表す。冪・余冪は余テンソル・テンソルへ一般化される。重み付き極限(豊穣圏)では、この定義と集合の場合への帰着を本文内で説明する。
∞圏版への補足
∞圏版ではまず空間値の重みを扱う。集合値の場合の要素の圏は、左・右ファイブレーションとして表される∞圏へ一般化される。自然変換も集合でなく空間をなし、ホモトピー整合性を含む。重み付き極限(∞圏)で独立に定義する。
関連項目
参考文献
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