Hilbertの零点定理

1：$\mathfrak{m}$ を $A$ の極大イデアルとし、$K:=A/\mathfrak{m}$ とおく。$K$ は体であり（極大イデアルの記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）、$x_1,\dots,x_n$ の類で生成される $k$ 上の環である。合成 $k\to A\to K$ は体からの環準同型なので単射であり、$k$ を $K$ の部分体とみなせる。thm-nullstellensatz-zariski により $K$ は $k$ の有限次拡大、とくに $k$ 上代数的である。$\beta\in K$ の $k$ 上の最小多項式は既約であり、$k$ が代数閉なので 1 次式である（代数閉体の記事の命題「代数閉体の同値条件」）。よって $\beta\in k$ であり、$K=k$ である。したがって各 $i$ について $x_i\equiv a_i\pmod{\mathfrak{m}}$ となる $a_i\in k$ があり、$x_i-a_i\in\mathfrak{m}$、すなわち $\mathfrak{m}_a\subset\mathfrak{m}$（$a=(a_1,\dots,a_n)$）である。$\mathfrak{m}_a$ は極大で $\mathfrak{m}\ne A$ なので $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_a$ である。写像 $a\mapsto\mathfrak{m}_a$ は単射である。実際 $a\ne b$ なら $a_i\ne b_i$ となる $i$ があり、$x_i-a_i\in\mathfrak{m}_a$ は $b$ で値 $b_i-a_i\ne0$ をとるので $\mathfrak{m}_b$ に属さない。以上で 1 が示された。
2：$I=A$ なら $1\in I$ はどの点でも $0$ にならないので $V(I)=\emptyset$ である。$I\ne A$ とすると、$I$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ がある（極大イデアルの記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）。1 により $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_a$ となる $a$ があり、すべての $f\in I$ について $f\in\mathfrak{m}_a$、すなわち $f(a)=0$ である。よって $a\in V(I)$ である。後半は $I=(f_1,\dots,f_r)$ に適用すればよい。$V(I)=V(\{f_1,\dots,f_r\})$ であり、$I=A$ は $1\in I$、すなわち $1=\sum_ig_if_i$ と書けることと同値である。
3：$\sqrt{I}\subset I(V(I))$ は上で示した。逆に $g\in I(V(I))$ とする。$g=0$ なら $g\in\sqrt{I}$ なので、$g\ne0$ とする。新しい変数 $t$ を加えた多項式環 $A[t]=k[x_1,\dots,x_n,t]$ で、$I$ と $1-tg$ が生成するイデアル $J$ を考える。$(a,b)\in k^{n+1}$ が $J$ の共通零点なら、$a\in V(I)$ なので $g(a)=0$ であり、$1-bg(a)=1\ne0$ となって矛盾する。よって $V(J)=\emptyset$ であり、2 を $n+1$ 変数で用いると $J=A[t]$ である。したがって、有限個の $f_1,\dots,f_r\in I$ と $h_1,\dots,h_r,h\in A[t]$ によって
$$ 1=\sum_{i=1}^rh_i(x,t)f_i(x)+h(x,t)\bigl(1-tg(x)\bigr) $$
と書ける。これは $A[t]$ での等式なので、$t$ に有理関数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ の元 $1/g$ を代入しても成り立ち、最後の項が消えて
$$ 1=\sum_{i=1}^rh_i(x,1/g)f_i(x) $$
を得る。$N$ を各 $h_i$ の $t$ についての次数の最大値（すべての $h_i$ が $0$ なら $N=0$）とし、両辺に $g^N$ を掛けると、$g^Nh_i(x,1/g)$ は $A$ の元であり、
$$ g^N=\sum_{i=1}^r\bigl(g^Nh_i(x,1/g)\bigr)f_i\in I $$
となる。$N\ge1$ ならこれは $g\in\sqrt{I}$ を意味する。$N=0$ なら $1\in I$ なので $I=A$ であり、やはり $g\in I\subset\sqrt{I}$ である。$\square$

包含の向きが逆になることは定義から明らかである（$S\subset T$ なら $V(T)\subset V(S)$、$X\subset Y$ なら $I(Y)\subset I(X)$）。
1：アフィン代数的集合 $X=V(S)$ をとる。定義から $X\subset V(I(X))$ である。また $S\subset I(X)$ なので $V(I(X))\subset V(S)=X$ である。よって $V(I(X))=X$ である。根基イデアル $J$ については、thm-nullstellensatz の 3 により $I(V(J))=\sqrt{J}=J$ である。$I(X)$ は根基イデアルであり $V(J)$ はアフィン代数的集合なので、2 つの写像は互いに逆である。
2：$b\in V(\mathfrak{m}_a)$ はすべての $i$ で $b_i-a_i=0$ となることと同値なので $V(\mathfrak{m}_a)=\{a\}$ である。$f\in\mathfrak{m}_a$ と $f(a)=0$ は同値なので、$I(\{a\})=\mathfrak{m}_a$ である。$V(A)=\emptyset$ と $V((0))=k^n$ は定義から従う。$A$ は整域なので $(0)$ は根基イデアルであり、1 により $I(k^n)=I(V((0)))=(0)$ である。同様に $A$ は根基イデアルで $I(\emptyset)=A$ である。
3：$I\subset\sqrt{I}$ から $V(\sqrt{I})\subset V(I)$、thm-nullstellensatz の 3 の前に示した包含 $\sqrt{I}\subset I(V(I))$ から $V(I)\subset V(I(V(I)))\subset V(\sqrt{I})$ であり、$V(I)=V(\sqrt{I})$ である。したがって $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ なら $V(I)=V(J)$ である。逆に $V(I)=V(J)$ なら、強零点定理により $\sqrt{I}=I(V(I))=I(V(J))=\sqrt{J}$ である。$\square$

1：$B/\mathfrak{m}$ は体であり、$B$ の生成元の類で生成される $k$ 上の環である。$k\to B/\mathfrak{m}$ は体からの環準同型なので単射であり、thm-nullstellensatz-zariski により $B/\mathfrak{m}$ は $k$ の有限次拡大である。
2：極大イデアルは素イデアルなので（極大イデアルの記事の命題「極大イデアルは素イデアル」）、$f^m\in J\subset\mathfrak{m}$ なら $f\in\mathfrak{m}$ である。よって $\sqrt{J}$ は $J$ を含む極大イデアルの共通部分に含まれる。逆に $f\notin\sqrt{J}$ として、$J\subset\mathfrak{m}$ かつ $f\notin\mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ を作る。$C:=B/J$ とし、$f$ の類を $\bar f$ と書くと、$\bar f$ は $C$ の冪零元でない。$\bar f$ による局所化 $C_{\bar f}$ で $1/1=0/1$ となるのは、ある $s\ge0$ について $\bar f^s\cdot1=0$ となるときに限る（局所化での分数の相等の定義）ので、$C_{\bar f}\ne0$ である。$C_{\bar f}\cong C[T]/(\bar fT-1)$（局所化の記事の注意「1 つの元による局所化の多項式表示」）なので $C_{\bar f}$ は $k$ 上有限生成であり、零環でないので極大イデアル $\mathfrak{n}$ をもつ。1 により $L:=C_{\bar f}/\mathfrak{n}$ は $k$ の有限次拡大である。
合成 $\psi\colon C\to C_{\bar f}\to L$ の核を $\mathfrak{q}$ とすると、$C/\mathfrak{q}$ は $L$ の部分環 $\psi(C)$ と同型であり、$k$ を含み、$k$ 上有限次元の整域である。有限次元の整域は体である。実際 $0\ne c\in C/\mathfrak{q}$ に対し、$c$ 倍写像は $k$ 上の線形写像として単射なので（整域）、有限次元性により全射でもあり、$cd=1$ となる $d$ がある。よって $\mathfrak{q}$ は $C$ の極大イデアルである。$\bar f/1$ は $C_{\bar f}$ の単元なので $\psi(\bar f)\ne0$、すなわち $\bar f\notin\mathfrak{q}$ である。$\mathfrak{q}$ の $B$ での逆像 $\mathfrak{m}$ は $J$ を含み、$B/\mathfrak{m}\cong C/\mathfrak{q}$ が体なので極大イデアルであり、$f\notin\mathfrak{m}$ である。
最後の主張のうち前半は $J=(0)$ の場合である（$\sqrt{(0)}$ が冪零根基であり、極大イデアル全体の共通部分が Jacobson根基である）。後半は、素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ であることから従う。$\square$

$\beta\in K$ が $k$ 上代数的でないと仮定する。代入 $k[t]\to K$、$t\mapsto\beta$ は単射であり、$\beta\notin k$ なので、各 $c\in k$ について $\beta-c\ne0$ は $K$ で可逆である。相異なる $c_1,\dots,c_s\in k$ と $\lambda_1,\dots,\lambda_s\in k$ が $\sum_j\lambda_j/(\beta-c_j)=0$ を満たすとする。両辺に $\prod_l(\beta-c_l)$ を掛けると $P(\beta)=0$、ただし
$$ P(t):=\sum_{j=1}^s\lambda_j\prod_{l\ne j}(t-c_l)\in k[t] $$
である。代入が単射なので $P=0$ であり、$t=c_j$ を代入すると $\lambda_j\prod_{l\ne j}(c_j-c_l)=0$、よって $\lambda_j=0$ である。したがって $\{1/(\beta-c)\mid c\in k\}$ は $K$ の中の非可算個の元からなる線形独立な族である。
一方、$K$ は可算個の元 $v_1,v_2,\dots$ で張られる。$K_N$ を $v_1,\dots,v_N$ が張る部分空間とすると $K=\bigcup_NK_N$ であり、上の非可算な族の元はそれぞれどれかの $K_N$ に属するので、ある $N$ について $K_N$ は族の元を無限個含む。これは $N$ 次元以下の空間の線形独立な族が $N$ 個以下の元しか含まないことに反する。よって $K$ の元はすべて $k$ 上代数的である。
$K=k[b_1,\dots,b_m]$ と環として有限生成なら、$K$ は単項式 $b_1^{e_1}\cdots b_m^{e_m}$（$e_i\ge0$）で張られ、これは可算個なので前半が使える。各 $b_i$ は $k$ 上代数的であり、その最小多項式の次数を $d_i$ とすると、$b_i^{d_i}$ は $1,b_i,\dots,b_i^{d_i-1}$ の $k$ 係数の線形結合なので、$0\le e_i< d_i$ の単項式だけで $K$ が張られる。よって $K$ は $k$ 上有限次元である。$\square$