劣調和関数

$f'/f$ は $D$ 上で正則で、正則関数 の記事の定理「正則関数の冪級数展開」により $D$ 全体で収束する $a$ 中心の冪級数で表される。それを項別に積分した冪級数 $G$ は $D$ 上で正則で $G'=f'/f$ を満たす（同記事の定理「冪級数の正則性」）。$(fe^{-G})'=(f'-fG')e^{-G}=0$ なので $fe^{-G}$ は $D$ 上で $0$ でない定数 $C$ であり、$e^c=C$ となる $c$ をとれば $g:=G+c$ は $e^g=f$ を満たす正則関数である。よって $\log|f|=\operatorname{Re}g$ であり、調和関数 の記事の命題「正則関数の実部と虚部」により調和である。

$u$ は $K$ 上で上に有界である（半連続性 の記事の定理「コンパクト空間上の極値」）。$u_k:=\max(u,-k)$ は実数値で上に有界、$u_k\ge u$ で、$k$ について減少し $u_k\to u$ である。$g_k(x):=\sup_y\bigl(u_k(y)-k\,d(x,y)\bigr)$ とおく。$y=x$ とおいて $g_k(x)\ge u_k(x)$、また $g_k\le\sup u_k<\infty$ である。$|g_k(x)-g_k(x')|\le k\,d(x,x')$（各 $y$ で $d(x,y)\le d(x',y)+d(x,x')$ による）なので $g_k$ は連続である。$u_{k+1}\le u_k$ かつ $k+1\ge k$ より $g_{k+1}\le g_k$ である。

各点 $x$ で $g_k(x)\to u(x)$ を示す。$c>u(x)$ を任意の実数とする。上半連続性から $\delta>0$ があり、$d(x,y)<\delta$ なら $u(y)< c$ である。$k$ を $k>-c$ かつ $\sup_Ku_1-k\delta< c$ となるほど大きくとる（$\sup_Ku_k\le\sup_Ku_1$ に注意）。$d(x,y)<\delta$ の $y$ では $u_k(y)-k\,d(x,y)\le\max(u(y),-k)< c$、$d(x,y)\ge\delta$ の $y$ では $u_k(y)-k\,d(x,y)\le\sup u_1-k\delta< c$ なので $g_k(x)\le c$ である。よって $\limsup_kg_k(x)\le u(x)$ であり、$g_k\ge u_k\ge u$ と合わせて $g_k(x)\to u(x)$ である。

上に有界な可測関数について極座標の公式は $[-\infty,\infty)$ の値で成り立つ（正の部分と負の部分に分けて単調収束定理を使う）。$\int_{B(a,r)}u\,dV=nV(B)\int_0^r\rho^{n-1}\int_Su(a+\rho\zeta)\,d\sigma\,d\rho\ge nV(B)\int_0^r\rho^{n-1}u(a)\,d\rho=V(B)r^nu(a)$。$u(a)=-\infty$ のときは主張は自明である。$\square$

$u:=\lim_ku_k$ とおく（減少列なので各点で $[-\infty,\infty)$ の極限がある）。実数 $c$ について $\{u< c\}=\bigcup_k\{u_k< c\}$ は開集合なので、$u$ は上半連続である。$\overline B(a,r)\subset\Omega$ とし、$M$ を球面 $\partial B(a,r)$ 上での $u_1$ の上界とする（半連続性 の記事の定理「コンパクト空間上の極値」）。$M-u_k(a+r\zeta)$ は $[0,\infty]$ に値をとり、$k$ について増加して $M-u(a+r\zeta)$ に収束するので、単調収束定理（Lebesgue積分 の記事の定理「単調収束定理」）により $\int_Su_k(a+r\zeta)\,d\sigma\to\int_Su(a+r\zeta)\,d\sigma$（$[-\infty,\infty)$ の値として）である。$u(a)\le u_k(a)\le\int_Su_k(a+r\zeta)\,d\sigma$ で $k\to\infty$ とすれば、劣平均値の不等式を得る。定数関数の列 $u_k=-k$ の極限は恒等的に $-\infty$ である。$\square$

上半連続性：$\varphi$ は連続（凸関数 の記事の定理「開区間上の凸関数の連続性と片側微分」）で単調増加なので、$[-\infty,\infty)$ 上の連続な単調増加関数に延びる。実数 $c$ について $\{t\mid\varphi(t)< c\}$ は下に閉じた開集合なので、空集合、$[-\infty,\infty)$ 全体、ある $t_c$ についての $[-\infty,t_c)$ のいずれかである。よって $\{\varphi\circ u< c\}$ は空、全体、$\{u< t_c\}$ のいずれかで、開集合である。

劣平均値の性質：$\overline B(a,r)\subset\Omega$ とし、$m:=\int_Su(a+r\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ とおく。$u(a)=-\infty$ なら $\varphi(u(a))=\varphi(-\infty)$ はすべての $\varphi(t)$ 以下なので不等式は自明である。$u(a)>-\infty$ なら thm-sh-sub-mean-value より $m\ge u(a)>-\infty$ で、$u(a+r\,\cdot)$ は可積分（したがって $\sigma$ についてほとんどいたるところ有限）である。凸関数 の記事の定理「開区間上の凸関数の連続性と片側微分」の 2 から、$c:=\varphi'_+(m)\ge0$ についてすべての実数 $t$ で $\varphi(t)\ge\varphi(m)+c(t-m)$ が成り立つ（傾きを $s(x,y):=(\varphi(y)-\varphi(x))/(y-x)$ と書くと、$t>m$ なら $s(m,t)\ge c$、$t< m$ なら $s(t,m)\le\varphi'_-(m)\le c$ による。$c\ge0$ は単調増加性による）。$t=u(a+r\zeta)$ を代入して積分すると$$\int_S\varphi\bigl(u(a+r\zeta)\bigr)d\sigma(\zeta)\ge\varphi(m)+c\Bigl(\int_Su(a+r\zeta)\,d\sigma-m\Bigr)=\varphi(m)\ge\varphi(u(a))$$となる。最後は $\varphi$ の単調性と $m\ge u(a)$ による。

$\exp$ は単調増加な凸関数なので、prop-sh-convex-composition により $u_j=\exp(\log u_j)$ は劣調和で、特に上半連続である。よって $u_1+u_2$ は上半連続であり、$\log\colon[0,\infty)\to[-\infty,\infty)$ は連続な単調増加関数なので、$w:=\log(u_1+u_2)$ も上半連続である。

thm-sh-characterization の条件 3 を確かめる。$\overline B(a,r)\subset\Omega$ とし、$h$ を $\overline B(a,r)$ 上で連続、$B(a,r)$ 上で調和な実数値関数で、球面 $\partial B(a,r)$ 上で $w\le h$ を満たすものとする。$B(a,r)$ 上で $\log u_j-h$ は劣調和であり（thm-sh-comparison の証明の最初の段落と同じ理由）、それに $\exp$ を合成した $u_je^{-h}$ も劣調和、その和 $g:=(u_1+u_2)e^{-h}$ も劣調和である（prop-sh-operations の 1）。$\xi\in\partial B(a,r)$ では、$u_1+u_2\ge0$ の上半連続性と $h$ の連続性から $\limsup_{x\to\xi,\,x\in B(a,r)}g(x)\le(u_1+u_2)(\xi)\,e^{-h(\xi)}\le1$ である（最後は $w(\xi)\le h(\xi)$ による）。thm-sh-comparison を $B(a,r)$ 上の $g$ と定数の調和関数 $1$ に当てはめると、$B(a,r)$ 上で $g\le1$、すなわち $w\le h$ である。$\square$

$\log$ は凹関数なので、この命題は prop-sh-convex-composition からは出ない。平面の正則関数 $f_1,\dots,f_q$ について $\log|f_j|^2=2\log|f_j|$ は劣調和なので（ex-sh-log-holomorphic）、命題をくり返し使うと $\log\bigl(|f_1|^2+\dots+|f_q|^2\bigr)$ も劣調和である。多変数の場合は 多重劣調和関数 の例「正則関数の絶対値の 2 乗和の対数」にある。

記号：$\varepsilon>0$ について $\Omega_\varepsilon:=\{x\in\Omega\mid\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega\}$ とおく。$\Omega_\varepsilon$ は開集合で、$\varepsilon\downarrow0$ のとき増加して $\Omega$ を覆う。

段 1（局所可積分性）：まず、$\overline B(b,\rho)\subset\Omega$ かつ $u(b)>-\infty$ なら $u$ は $B(b,\rho)$ 上で可積分である。実際、$u$ は $\overline B(b,\rho)$ 上で上に有界なので正の部分の積分は有限であり、thm-sh-sub-mean-value の第 2 の不等式から $\int_{B(b,\rho)}u\,dV\ge V(B)\rho^nu(b)>-\infty$ なので負の部分の積分も有限である。$u$ がある近傍で可積分になる点全体を $E$ とすると、$E$ は開集合である。$a\in\Omega\setminus E$ とし、$\overline B(a,2r)\subset\Omega$ をとる。$B(a,r)$ のある点 $b$ で $u(b)>-\infty$ なら、$\overline B(b,r)\subset\overline B(a,2r)\subset\Omega$ かつ $a\in B(b,r)$ なので $a\in E$ となり矛盾する。よって $B(a,r)$ 上で $u\equiv-\infty$ であり、$B(a,r)\subset\Omega\setminus E$ である。したがって $\Omega\setminus E$ も開集合で、$\Omega$ の連結成分 $W$ が $E$ と交わらなければ $W$ 上で $u\equiv-\infty$ となる。仮定によりそれは起こらないので $E=\Omega$ であり、コンパクト集合は $E$ の点の有限個の近傍で覆えるから $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。

段 2（1 の不等式）：$K:=\operatorname{supp}v$ とし、$\delta>0$ を $K_\delta:=\{x\mid\operatorname{dist}(x,K)\le\delta\}\subset\Omega$ となるようにとる。$v$ を $\Omega$ の外で $0$ とおいて $\mathbb{R}^n$ 上の $C^2$ 級関数とみなし、$(M_rv)(y):=\int_Sv(y+r\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ とおく。$0< r< \delta$ と $x\in K$ について $u(x)\le\int_Su(x+r\zeta)\,d\sigma(\zeta)$（thm-sh-sub-mean-value）に $v(x)\ge0$ を掛けて $x$ で積分する。$\int_K\int_S|u(x+r\zeta)|\,d\sigma\,dV(x)\le\int_{K_\delta}|u|\,dV< \infty$ なので Fubiniの定理 が使え、$y=x+r\zeta$ と変数を替えて $\sigma$ が $\zeta\mapsto-\zeta$ で不変なことを使うと、$\int u\,v\,dV\le\int u\,M_rv\,dV$、すなわち $\int u\,(M_rv-v)\,dV\ge0$ を得る。調和関数 の記事の補題「球面平均の微分公式」を $v$ に使うと$$(M_rv)(y)-v(y)=\int_0^r\frac sn\cdot\frac1{V(B)s^n}\int_{B(y,s)}\Delta v\,dV\,ds$$である。$\Delta v$ は $\mathbb{R}^n$ 上で一様連続なので、$\omega(s):=\sup_{|x-x'|\le s}|\Delta v(x)-\Delta v(x')|$ は $s\to0$ で $0$ に近づき、$\int_0^r\frac sn\,ds=\frac{r^2}{2n}$ からすべての $y$ で $\bigl|\frac{2n}{r^2}\bigl(M_rv(y)-v(y)\bigr)-\Delta v(y)\bigr|\le\omega(r)$ である。両辺の関数は $K_\delta$ の外で $0$ なので$$\Bigl|\int u\,\Delta v\,dV-\frac{2n}{r^2}\int u\,(M_rv-v)\,dV\Bigr|\le\omega(r)\int_{K_\delta}|u|\,dV\ \longrightarrow\ 0\qquad(r\to0)$$であり、$\int u\,\Delta v\,dV\ge0$ を得る。

段 3（2 の代表の存在）：$\rho$ を球対称な軟化子（軟化子 の定義「軟化子」を満たし、$\rho(x)=\tilde\rho(|x|)$ の形のもの。同じ記事の例「標準的な軟化子」がその例）とし、$x\in\Omega_\varepsilon$ について $u_\varepsilon(x):=\int u(y)\rho_\varepsilon(x-y)\,dV(y)$ とおく。$\Omega_\varepsilon$ の各点の近くでは、$u_\varepsilon$ は $u$ をあるコンパクト集合の外で $0$ としたものの軟化と一致するので、軟化子 の命題「軟化の基本性質」の 1 により $u_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上で $C^\infty$ 級で、$\Delta u_\varepsilon(x)=\int u(y)\,(\Delta\rho_\varepsilon)(x-y)\,dV(y)$ である。$v(y):=\rho_\varepsilon(x-y)$ は $0$ 以上で台が $\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega$ に含まれ、$\Delta v(y)=(\Delta\rho_\varepsilon)(x-y)$ なので、仮定から $\Delta u_\varepsilon(x)\ge0$ である。thm-sh-c2-criterion とその証明により、$u_\varepsilon$ は $\Omega_\varepsilon$ 上で劣調和であり、$\overline B(x,s_0)\subset\Omega_\varepsilon$ なら球面平均 $\int_Su_\varepsilon(x+s\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ は $0\le s\le s_0$ で $s$ について非減少である。

$\rho$ は球対称なので、極座標（調和関数 の記事の「この記事で使う積分の基本事項」の 1）で $y=\varepsilon t\zeta$ と書くと、$\overline B(x,\varepsilon)$ を含む開集合上の連続関数 $g$ について$$\int g(x-y)\rho_\varepsilon(y)\,dV(y)=nV(B)\int_0^1t^{n-1}\tilde\rho(t)\Bigl(\int_Sg(x+\varepsilon t\zeta)\,d\sigma(\zeta)\Bigr)dt,\qquad nV(B)\int_0^1t^{n-1}\tilde\rho(t)\,dt=1$$である。$0< \varepsilon_1< \varepsilon_2$、$\delta>0$、$x\in\Omega_{\varepsilon_2+\delta}$ とする。$\varepsilon=\varepsilon_1,\varepsilon_2$ について、$|u(z)|\rho_\delta(y-z)\rho_\varepsilon(x-y)$ は $z\in\overline B(x,\varepsilon+\delta)\subset\Omega$ の外で $0$ で、$(y,z)$ について可積分なので、Fubiniの定理 により$$\int u_\delta(y)\rho_\varepsilon(x-y)\,dV(y)=\int u(z)\,(\rho_\delta*\rho_\varepsilon)(x-z)\,dV(z)=\int u_\varepsilon(y)\rho_\delta(x-y)\,dV(y)$$である（$\rho_\delta*\rho_\varepsilon=\rho_\varepsilon*\rho_\delta$）。$\overline B(x,\varepsilon_2)\subset\Omega_\delta$ なので、$u_\delta$ の $x$ 中心の球面平均は $0\le s\le\varepsilon_2$ で非減少であり、上の極座標の式から左辺は $\varepsilon=\varepsilon_1$ のとき $\varepsilon=\varepsilon_2$ のとき以下である。よって右辺についても同じ不等式が成り立つ。$u_{\varepsilon_j}$ は $x$ の近くで連続なので、$\delta\to0$ とすると右辺は $u_{\varepsilon_j}(x)$ に近づき、$u_{\varepsilon_1}(x)\le u_{\varepsilon_2}(x)$ を得る。$x\in\Omega_{\varepsilon_2}$ なら十分小さい $\delta$ で $x\in\Omega_{\varepsilon_2+\delta}$ なので、この不等式は $\Omega_{\varepsilon_2}$ 全体で成り立つ。

そこで $U(x):=\lim_{\varepsilon\to0}u_\varepsilon(x)\in[-\infty,\infty)$ とおく。$\eta>0$ を固定すると、$\Omega_\eta$ の上で $(u_{\eta/k})_{k\ge1}$ は劣調和関数の減少列なので、prop-sh-operations の 4 により $U$ は $\Omega_\eta$ 上で劣調和である。劣調和性は定義から局所的な性質で、$\Omega=\bigcup_{\eta>0}\Omega_\eta$ なので、$U$ は $\Omega$ 上で劣調和である。また Lebesgueの微分定理 の定理「Lebesgue の微分定理」（$u$ をコンパクト集合の外で $0$ としたものに使う）により、ほとんどすべての $x\in\Omega$ は $u$ の Lebesgue 点であり、そのような $x$ では、$\int\rho_\varepsilon=1$ と $\rho_\varepsilon\le\varepsilon^{-n}\sup\rho$ から$$|u_\varepsilon(x)-u(x)|\le\int|u(y)-u(x)|\rho_\varepsilon(x-y)\,dV(y)\le\frac{\sup\rho}{\varepsilon^n}\int_{B(x,\varepsilon)}|u(y)-u(x)|\,dV(y)\ \longrightarrow\ 0$$なので $U(x)=u(x)$ である。

段 4（一意性）：劣調和関数 $U$ について、すべての $a\in\Omega$ で$$U(a)=\lim_{r\to0}\frac1{V(B)r^n}\int_{B(a,r)}U\,dV$$である。実際、thm-sh-sub-mean-value により右辺の各項は $U(a)$ 以上であり、実数 $c>U(a)$ について上半連続性から小さい $r$ で $B(a,r)$ 上 $U< c$ となるので、右辺の項は $c$ 以下になる。右辺は $U$ をほとんどいたるところで変えても変わらないので、ほとんどいたるところ等しい 2 つの劣調和関数はすべての点で等しい。$\square$

段 3 で使った $v$ は $C^\infty$ 級なので、2 は $0$ 以上の $v\in C^\infty_c(\Omega)$ についての不等式だけを仮定しても成り立つ。これを $u$ と $-u$ に使うと、すべての $v\in C^\infty_c(\Omega)$ について $\int u\,\Delta v\,dV=0$ を満たす $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ について、劣調和な代表 $U$ と優調和な代表 $-U'$（$U'$ は $-u$ の劣調和な代表）は段 4 の極限の式によりすべての点で一致する。よって $U$ は実数値で劣調和かつ優調和であり、cor-sh-harmonic により調和である。これは Weylの補題 の一つの証明になっている。