フレームとロケール

同義語：frame and locale

概要

フレームは、任意個の上限と有限個の下限をもち、有限下限が任意上限に分配する完備束である。位相空間 $X$ の開集合全体 $\mathcal O(X)$ は、和集合を上限、有限共通部分を下限としてフレームをなす。連続写像 $f\colon X\to Y$ は逆像写像 $f^{-1}\colon\mathcal O(Y)\to\mathcal O(X)$ を与えるため、空間の向きとフレーム準同型の向きは逆になる。この反変性を定義に組み込み、フレームの圏の反対圏として得られるのがロケールの圏である。

定義

フレーム

束 $L$ が フレーム（frame）であるとは、次を満たすことをいう。

任意の部分集合 $S\subseteq L$ に上限 $\bigvee S$ が存在する。
任意の $a\in L$ と $S\subseteq L$ に対して、無限分配律
$$ a\wedge\bigvee S=\bigvee_{s\in S}(a\wedge s) $$
が成り立つ。
空集合の上限を $0$、全体 $L$ の上限を $1$ と書く。任意上限の存在から任意下限も存在するので、フレームは完備束である。有限集合 $S$ に対する上式は通常の分配律を含む。

フレーム準同型

フレーム $L,M$ の間の写像 $h\colon L\to M$ が フレーム準同型（frame homomorphism）であるとは、任意上限と有限下限を保存すること、すなわち
$$ h\left(\bigvee S\right)=\bigvee_{s\in S}h(s),\qquad h(a\wedge b)=h(a)\wedge h(b),\qquad h(1)=1 $$
を満たすことをいう。第1式に $S=\emptyset$ を入れれば $h(0)=0$ も従う。フレームとフレーム準同型の圏を $\mathbf{Frm}$ と書く。

ロケール

ロケール（locale）の圏を
$$ \mathbf{Loc}:=\mathbf{Frm}^{\mathrm{op}} $$
で定義する。したがってロケールは、対象としてはフレームと同じデータを持つが、射の向きを反転して読む。フレーム $L$ に対応するロケールを $\operatorname{Loc}(L)$ と書くと、ロケール射 $\operatorname{Loc}(L)\to\operatorname{Loc}(M)$ はフレーム準同型 $M\to L$ である。ロケールを $\mathbf{Frm}^{\mathrm{op}}$ そのものの対象と混同せず、$\mathbf{Loc}$ が圏、各 $L$ がその対象であることを区別する。

直感

位相空間を点の集合から出発して調べる代わりに、そこで観測できる開集合と、その包含・合併・有限共通部分だけを基本データとみなすのがロケールの考え方である。フレームの任意上限は任意個の開集合の合併、有限下限は有限個の開集合の共通部分を抽象化している。
連続写像に対して自然に振る舞うのは開集合の像ではなく逆像である。したがって $X\to Y$ から $\mathcal O(Y)\to\mathcal O(X)$ が生じる。この向きの反転こそ、ロケールをフレームの反対圏として定義する理由である。

例と反例

位相空間の開集合フレーム

位相空間 $X$ の開集合全体 $\mathcal O(X)$ を包含関係で順序づける。任意上限は和集合、有限下限は共通部分、$0=\emptyset$、$1=X$ で与えられる。よって $\mathcal O(X)$ はフレームである。

開集合フレームの証明

開集合の任意の和集合は開集合であり、包含順序におけるその族の最小上界である。有限個の開集合の共通部分も開集合であり、最大下界である。任意の開集合 $U$ と開集合族 $(V_i)_{i\in I}$ に対し、集合の演算として
$$ U\cap\bigcup_{i\in I}V_i=\bigcup_{i\in I}(U\cap V_i) $$
が成り立つ。これはフレームの無限分配律そのものである。

冪集合フレーム

集合 $S$ の冪集合 $\mathcal P(S)$ は、包含関係のもとでフレームをなす。これは離散位相を入れた $S$ の開集合フレームである。

反例：完備束でもフレームとは限らない

5元の菱形束 $M_3=\{0,1,a,b,c\}$ で、相異なる $a,b,c$ は互いに比較不能、二つの異なる原子の上限は $1$、下限は $0$ とする。有限束なので完備束である。しかし
$$ a\wedge(b\vee c)=a\wedge1=a,\qquad (a\wedge b)\vee(a\wedge c)=0 $$
であり、有限分配律すら破る。したがって「完備束ならフレームである」は偽である。

連続写像との関係

逆像はフレーム準同型である

連続写像 $f\colon X\to Y$ に対し、逆像写像
$$ f^{-1}\colon\mathcal O(Y)\longrightarrow\mathcal O(X) $$
はフレーム準同型である。さらに恒等写像と合成について
$$ (\operatorname{id}_X)^{-1}=\operatorname{id}_{\mathcal O(X)},\qquad (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} $$
が成り立つ。したがって $X\mapsto\mathcal O(X)$ は位相空間からフレームへの反変関手、同値にロケールへの共変関手を与える。

逆像がフレーム準同型であることの証明

$f$ の連続性により、$Y$ の開集合の逆像は $X$ で開である。任意の開集合族 $(V_i)_{i\in I}$ と有限個の開集合 $V,W$ に対して、逆像の集合演算から
$$ f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}V_i\right)=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(V_i),\qquad f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W),\qquad f^{-1}(Y)=X $$
を得る。ゆえに任意上限と有限下限を保存する。恒等写像と合成に関する式は、各 $x\in X$ の所属を調べれば直ちに従う。

フレーム準同型は単調である

フレーム準同型 $h\colon L\to M$ は単調写像である。

フレーム準同型の単調性の証明

$a\leq b$ とする。このとき $a\vee b=b$ である。$h$ は二元上限を保存するので
$$ h(a)\vee h(b)=h(a\vee b)=h(b) $$
となる。束における順序と上限の関係から $h(a)\leq h(b)$ が従う。

空間とロケールの違い

位相空間 $X$ から得られる $\mathcal O(X)$ のように、実際の空間の開集合フレームとして表せるロケールを 空間的ロケール（spatial locale）という。一般のロケールは、あらかじめ点集合を指定せずに開集合の代数だけを持つため、すべてが与えられた位相空間と同一視できるわけではない。一方、適切な分離条件である sober 性を満たす空間は、その開集合フレームから点を回収できる。この対応の詳細は locale theory の双対性に属する Joh82。