ロケール
概要
ロケール（locale）とは、フレームの圏の反対圏における対象であり、点の集合ではなく開集合のなす順序構造を基礎に空間を扱う概念である。位相空間 $X$ は開集合のフレーム $\mathcal O(X)$ を通じてロケールを定める。
ロケール（locale）とは、フレームの圏の反対圏における対象であり、点の集合ではなく開集合のなす順序構造を基礎に空間を扱う概念である。位相空間 $X$ は開集合のフレーム $\mathcal O(X)$ を通じてロケールを定める。
連続写像を開集合の逆像として反変的に見ることで、位相空間と同じ向きの射をもつ圏が得られる。ロケール論では、点を先に置かず「観測可能な開集合」の関係を空間そのものとして扱う。
定義
ロケール（locale）の圏を
$$
\mathbf{Loc}:=\mathbf{Frm}^{\mathrm{op}}
$$
で定義する。したがってロケールは、対象としてはフレームと同じデータを持つが、射の向きを反転して読む。フレーム $L$ に対応するロケールを $\operatorname{Loc}(L)$ と書くと、ロケール射 $\operatorname{Loc}(L)\to\operatorname{Loc}(M)$ はフレーム準同型 $M\to L$ である。ロケールを $\mathbf{Frm}^{\mathrm{op}}$ そのものの対象と混同せず、$\mathbf{Loc}$ が圏、各 $L$ がその対象であることを区別する。
ロケール $L,M$ の間の射 $f\colon L\to M$ とは、反対向きのフレーム準同型
$$
f^*\colon\mathcal O(M)\longrightarrow\mathcal O(L)
$$
をいう。ここで $\mathcal O(L)$ はロケール $L$ の背後にあるフレームを表し、$f^*$ を逆像準同型という。これは任意上限と有限下限を保存する。
位相空間の連続写像 $f\colon X\to Y$ では、通常の開集合の逆像が上の $f^*$ に当たる。ロケール射の向きを空間の写像と同じにするため、フレーム準同型の向きを反転している。
例と反例
位相空間 $X$ の開集合全体 $\mathcal O(X)$ を包含関係で順序づける。任意上限は和集合、有限下限は共通部分、$0=\emptyset$、$1=X$ で与えられる。よって $\mathcal O(X)$ はフレームである。
性質と証明
開集合の任意の和集合は開集合であり、包含順序におけるその族の最小上界である。有限個の開集合の共通部分も開集合であり、最大下界である。任意の開集合 $U$ と開集合族 $(V_i)_{i\in I}$ に対し、集合の演算として
$$
U\cap\bigcup_{i\in I}V_i=\bigcup_{i\in I}(U\cap V_i)
$$
が成り立つ。これはフレームの無限分配律そのものである。
連続写像 $f\colon X\to Y$ に対し、逆像写像
$$
f^{-1}\colon\mathcal O(Y)\longrightarrow\mathcal O(X)
$$
はフレーム準同型である。さらに恒等写像と合成について
$$
(\operatorname{id}_X)^{-1}=\operatorname{id}_{\mathcal O(X)},\qquad
(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
$$
が成り立つ。したがって $X\mapsto\mathcal O(X)$ は位相空間からフレームへの反変関手、同値にロケールへの共変関手を与える。
$f$ の連続性により、$Y$ の開集合の逆像は $X$ で開である。任意の開集合族 $(V_i)_{i\in I}$ と有限個の開集合 $V,W$ に対して、逆像の集合演算から
$$
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}V_i\right)=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(V_i),\qquad
f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W),\qquad f^{-1}(Y)=X
$$
を得る。ゆえに任意上限と有限下限を保存する。恒等写像と合成に関する式は、各 $x\in X$ の所属を調べれば直ちに従う。
射の合成と随伴
ロケール射 $f\colon L\to M$、$g\colon M\to N$ に対応するフレーム準同型は、次のように向きが逆になる。
$$
\xymatrix{
L \ar[r]^f & M \ar[r]^g & N\\
\mathcal O(L) & \mathcal O(M)\ar[l]_{f^*} & \mathcal O(N)\ar[l]_{g^*}
}
$$
上段はロケール射、下段はそれらに対応する開フレームの準同型である。
このとき、合成に対応するフレーム準同型は
$$
(g\circ f)^*=f^*\circ g^*
$$
で定める。右辺はフレーム準同型の合成なので、再び任意上限と有限下限を保存する。恒等射はフレームの恒等準同型に対応する。
ロケール射 $f\colon L\to M$ の逆像 $f^*$ には、順序の意味で右随伴 $f_*\colon\mathcal O(L)\to\mathcal O(M)$ が存在する。具体的には
$$
f_*(a)=\bigvee\{b\in\mathcal O(M):f^*(b)\leq a\}
$$
であり、
$$
f^*(b)\leq a
\quad\Longleftrightarrow\quad
b\leq f_*(a)
$$
が成り立つ。
$f^*(b)\leq a$ なら $b$ は $f_*(a)$ を定義する上限の候補なので $b\leq f_*(a)$ である。
逆に $b\leq f_*(a)$ とする。$f^*$ は単調で任意上限を保存するため
$$
f^*(b)
\leq f^*(f_*(a))
=\bigvee_{f^*(c)\leq a}f^*(c)
\leq a
$$
である。
位相空間の連続写像の場合、$f_*$ は開集合 $U\subseteq X$ に対して「逆像が $U$ に含まれる最大の $Y$ の開集合」を返す。これは一般に集合としての直接像 $f(U)$ と同じではない。
点と空間性
二元フレーム $\mathbf2=\{0<1\}$ に対応するロケールを一点ロケールとみなす。
ロケール $L$ の点とはロケール射
$$
p\colon 1\longrightarrow L
$$
をいう。フレーム側では準同型 $p^*\colon\mathcal O(L)\to\mathbf2$ に対応する。点全体を $\operatorname{Pt}(L)$ と書く。
点 $p$ に対して $F_p:=\{a\in\mathcal O(L):p^*(a)=1\}$ とおくと、$F_p$ は上に閉じ、有限個の元の下限で閉じる。また、任意の族 $(a_i)_{i\in I}$ について $\bigvee_i a_i\in F_p$ なら、ある $i$ で $a_i\in F_p$ である。この性質をもつ真のフィルターを完全素フィルターという。逆に、完全素フィルター $F$ の指示写像 $a\mapsto 1$（$a\in F$ のとき）、$a\mapsto 0$（それ以外のとき）は $\mathcal O(L)\to\mathbf2$ のフレーム準同型を与える。したがって、ロケールの点は開要素の完全素フィルターと同じデータである。
$p^*$ は有限下限を保存するので $1\in F_p$、$0\notin F_p$ であり、$F_p$ は上方閉性と有限下限についての閉性をもつ。任意上限の保存と $\mathbf2$ の上限の定義から、$p^*(\bigvee_i a_i)=1$ なら、ある $i$ について $p^*(a_i)=1$ である。逆向きも同じ性質を読み替えれば、指示写像が有限下限と任意上限を保存する。
$a\in\mathcal O(L)$ に対し
$$
U_a:=\{p\in\operatorname{Pt}(L):p^*(a)=1\}
$$
とおくと、$U_{\bigvee_i a_i}=\bigcup_iU_{a_i}$、$U_{a\wedge b}=U_a\cap U_b$ なので、$\operatorname{Pt}(L)$ に位相が入る。
ロケール $L$ が空間的（spatial）であるとは、相異なる $a,b\in\mathcal O(L)$ を区別する点が存在すること、すなわち、ある $p\in\operatorname{Pt}(L)$ に対して $p^*(a)\neq p^*(b)$ となることをいう。
$L$ が空間的なら
$$
\eta_L\colon\mathcal O(L)\longrightarrow\mathcal O(\operatorname{Pt}(L)),
\qquad a\longmapsto U_a
$$
はフレーム同型である。
上の和と共通部分の二式により $\eta_L$ はフレーム準同型である。空間性は、$a\neq b$ なら $U_a\neq U_b$ となることを意味するので単射である。$\operatorname{Pt}(L)$ の位相は $U_a$ 全体として定義したため、任意の開集合はある $U_a$ の形であり、$\eta_L$ は全射でもある。
一般のロケールは空間的とは限らない。その場合、点集合 $\operatorname{Pt}(L)$ だけへ移ると、異なる開要素を区別できず情報が失われる。ロケールをフレームそのものとして扱う理由の一つは、点が不足しても開集合の構造を保持できることである。
位相空間との対応
位相空間 $X$ の各点 $x$ は、所属判定
$$
p_x^*\colon\mathcal O(X)\to\mathbf2,
\qquad
p_x^*(U)=
\begin{cases}
1&x\in U,\\
0&x\notin U
\end{cases}
$$
によってロケール $\mathcal O(X)$ の点を定める。これにより
$$
\varepsilon_X\colon X\longrightarrow\operatorname{Pt}(\mathcal O(X)),
\qquad x\longmapsto p_x
$$
を得る。
$\varepsilon_X$ は連続である。$X$ が $T_0$ 空間なら単射であり、$X$ が sober 空間なら同相写像である。
$V\in\mathcal O(X)$ に対応する点空間の開集合を $U_V$ とすると
$$
\varepsilon_X^{-1}(U_V)
=\{x:p_x^*(V)=1\}
=V
$$
なので $\varepsilon_X$ は連続である。$X$ が $T_0$ で $x\neq y$ なら、一方だけを含む開集合 $V$ が存在する。従って $p_x^*(V)\neq p_y^*(V)$ であり、$\varepsilon_X$ は単射である。sober性に関する主張は、フレーム点が一意な空間の点から生じるという定義そのものである。
従って、sober空間の圏と空間的ロケールの圏の間には対応がある。任意の位相空間がロケールから点まで完全に復元されるわけではなく、$T_0$ 性は点の識別、sober性は余分なフレーム点がないことを担う。
部分ロケールと核作用素
位相空間の部分空間とロケールの部分対象は同じ概念ではない。ロケールでは核作用素（nucleus）を用いて部分ロケールを記述できる。
フレーム $L$ 上の写像 $j\colon L\to L$ が核作用素であるとは、任意の $a,b\in L$ に対して
$$
a\leq j(a),
\qquad
a\leq b\Longrightarrow j(a)\leq j(b),
\qquad
j(j(a))=j(a),
$$
$$
j(a\wedge b)=j(a)\wedge j(b)
$$
を満たすことをいう。
固定点全体 $L_j=\{a\in L:j(a)=a\}$ は部分ロケールの開フレームを与える。$L_j$ の有限下限は $L$ と同じ演算で、任意上限は
$$
\bigvee_j S:=j\left(\bigvee_L S\right)
$$
で与えられる。単なる部分集合や部分フレームを取るのではなく、閉包型の作用素を通じて部分ロケールを表す点が重要である。
$u\in L$ に対して
$$
j_u(a):=u\Rightarrow a
$$
とおくと核作用素を得る。これは開要素 $u$ が定める開部分ロケールに対応する。ここで $\Rightarrow$ はフレームのHeyting含意である。
誤解しやすい点
- ロケールとフレームは対象として同じ順序データを使うが、射の向きが逆である。
- 「点を使わない」とは点が存在しないという意味ではない。点を派生的に定義し、点が十分でない場合にもフレームの情報を保つという意味である。
- 位相空間から得たロケールは常に定義できるが、元の空間を点から復元するにはsober性が関係する。
- 部分ロケールは単なる点集合の部分集合ではない。空間的でない部分ロケールもあり、核作用素で記述される。
- フレームの代数的性質そのものはフレーム(順序論)で扱い、本記事は射の反転、点、空間との対応、部分ロケールを主題とする。
ロケール、点、空間性、sober空間との対応、核作用素については Joh82（Chapter II）を参照した。
関連項目
参考文献
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