連続汎関数計算

$\mathcal B$ で可逆な元は $\mathcal A$ でも可逆なので、$\sigma_{\mathcal A}(b)\subset\sigma_{\mathcal B}(b)$ である。逆の包含には、$\mathcal B$ の元 $b$ が $\mathcal A$ で可逆なら $b^{-1}\in\mathcal B$ であることを示せばよい（$\lambda1-b$ に当てる）。
段 1：境界の点。 $x\in\mathcal B$ とし、$\lambda$ を $\sigma_{\mathcal B}(x)$ の（$\mathbb C$ の中での）境界の点とする。$\lambda_n\to\lambda$ となる $\lambda_n\notin\sigma_{\mathcal B}(x)$ がある。もし $\lambda\notin\sigma_{\mathcal A}(x)$ なら、$\mathcal A$ の中で逆元をとる写像は連続なので（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の系「可逆元全体は開で、逆元をとる写像は連続である」）、$(\lambda_n1-x)^{-1}\to(\lambda1-x)^{-1}$ である。左辺は $\mathcal B$ の元で $\mathcal B$ は閉なので $(\lambda1-x)^{-1}\in\mathcal B$、すなわち $\lambda\notin\sigma_{\mathcal B}(x)$ となる。これは $\sigma_{\mathcal B}(x)$ が閉集合で $\lambda$ をその境界の点としたことに反する。よって $\sigma_{\mathcal B}(x)$ の境界は $\sigma_{\mathcal A}(x)$ に含まれる。
段 2：自己共役元。 $b\in\mathcal B$ が $\mathcal A$ で可逆とし、$h:=b^*b$ とおく。$h\in\mathcal B$ は自己共役で、$\mathcal A$ で可逆である（逆元は $b^{-1}(b^*)^{-1}$、$(b^*)^{-1}=(b^{-1})^*$）。$\mathcal B$ は $C^*$-環なので、Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定理「自己共役元とユニタリ元のスペクトル」を $\mathcal B$ で使うと $\sigma_{\mathcal B}(h)\subset\mathbb R$ である。$\mathbb R$ の部分集合は $\mathbb C$ の中で内点をもたないので、$\sigma_{\mathcal B}(h)$ はそれ自身の境界に等しく、段 1 により $\sigma_{\mathcal B}(h)\subset\sigma_{\mathcal A}(h)$ である。$0\notin\sigma_{\mathcal A}(h)$ なので $0\notin\sigma_{\mathcal B}(h)$、すなわち $h^{-1}\in\mathcal B$ である。
段 3：一般の元。 $h^{-1}b^*b=1$ なので $h^{-1}b^*$ は $b$ の左逆元であり、$b$ は $\mathcal A$ で可逆だから $b^{-1}=h^{-1}b^*\in\mathcal B$ である。$\square$

$\mathcal B:=C^*(1,a)$ とおく。節「定義と記号」の定義の後の注意により $\mathcal B$ は単位的可換 $C^*$-環であり、lem-cfc-spectral-permanence により $\sigma_{\mathcal B}(a)=\sigma_{\mathcal A}(a)=K$ である。$\Delta(\mathcal B)$ を $\mathcal B$ の指標全体に弱 $*$ 位相を入れたコンパクト Hausdorff 空間、$\Gamma\colon\mathcal B\to C(\Delta(\mathcal B))$、$x\mapsto\widehat x$ を Gelfand 変換とする（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定義「指標空間とGelfand変換」・定理「可換Banach環のGelfand理論」）。同記事の定理「可換Gelfand--Naimark定理」により、$\Gamma$ は等長な $*$-同型である。
段 1：指標の空間とスペクトルの同一視。 $\iota\colon\Delta(\mathcal B)\to\mathbb C$、$\iota(\varphi):=\varphi(a)$ とおく。$\iota=\widehat a$ であり、同記事の定理「可換Banach環のGelfand理論」により $\widehat a(\Delta(\mathcal B))=\sigma_{\mathcal B}(a)=K$ なので、$\iota$ は $K$ への全射である。$\Gamma$ は $*$ を保つので、指標 $\varphi$ について $\varphi(a^*)=\widehat{a^*}(\varphi)=\overline{\varphi(a)}$ である。したがって $\varphi(a)$ が決まれば、乗法性と線形性により、$\varphi$ の値は多項式 $p(a,a^*)$ の上で決まり、指標は連続なので $\mathcal B$ 全体で決まる。よって $\iota$ は単射である。$\iota=\widehat a$ は弱 $*$ 位相について連続で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので、$\iota\colon\Delta(\mathcal B)\to K$ は同相写像である。
段 2：存在と等長性。 $f\in C(K)$ について $f\circ\iota\in C(\Delta(\mathcal B))$ であり、$f\mapsto f\circ\iota$ は和・積・複素共役・定数関数 $1$ を保ち、$\iota$ が全射なので $\| f\circ\iota\|_\infty=\| f\|_\infty$ を満たす。$\iota$ が同相なので、この写像は $C(K)$ から $C(\Delta(\mathcal B))$ への全単射である。そこで
$$ \Phi_a(f):=\Gamma^{-1}(f\circ\iota)\in\mathcal B\subset\mathcal A $$
と定めると、$\Phi_a$ は 2 つの等長な $*$-同型の合成なので、等長な単位的 $*$-準同型で、像はちょうど $\mathcal B=C^*(1,a)$ である。$z\circ\iota=\iota=\widehat a=\Gamma(a)$ なので $\Phi_a(z)=a$ である。
段 3：一意性。 $\Psi\colon C(K)\to\mathcal A$ も $\Psi(z)=a$ を満たす単位的 $*$-準同型とする。$\Psi(\overline z)=\Psi(z)^*=a^*$ なので、$z,\overline z$ の多項式 $p$ について $\Psi(p)=p(a,a^*)=\Phi_a(p)$ である。$z,\overline z$ の多項式の全体は、定数を含み、$K$ の点を分離し（$z$ が分離する）、複素共役で閉じた関数の代数なので、Stone–Weierstrassの定理 の定理「Stone–Weierstrassの定理（複素数値）」により $C(K)$ で稠密である。単位的 $C^*$-環の間の単位的 $*$-準同型はノルムを増やさないので（作用素環 の定理「$*$-準同型はノルムを増やさない」。その証明はスペクトル半径の比較だけを使い、連続汎関数計算を使わない）、$\Psi$ と $\Phi_a$ は連続である。稠密な部分集合の上で一致する 2 つの連続写像なので、$\Psi=\Phi_a$ である。
段 4：スペクトル写像定理。 $\Phi_a\colon C(K)\to\mathcal B$ は単位的な環の同型なので、$g\in C(K)$ が $C(K)$ で可逆であることと $\Phi_a(g)$ が $\mathcal B$ で可逆であることは同値である。$g=\lambda-f$ に当てると $\sigma_{\mathcal B}(f(a))=\sigma_{C(K)}(f)=f(K)$ である。lem-cfc-spectral-permanence により $\sigma_{\mathcal A}(f(a))=\sigma_{\mathcal B}(f(a))$ なので、$\sigma(f(a))=f(K)=f(\sigma(a))$ である。$\square$

1：$\Phi_a$ は $*$ を保つので $f(a)^*=\Phi_a(\overline f)=\overline f(a)$ である。$C(K)$ は可換なので $f(a)^*f(a)=\Phi_a(\overline ff)=\Phi_a(f\overline f)=f(a)f(a)^*$ である。$f$ が実数値なら $\overline f=f$ なので $f(a)^*=f(a)$ である。
2：$b$ は $1,a,a^*$ と可換なので、多項式 $p(a,a^*)$ と可換である。thm-cfc-main の 2 により $f(a)\in C^*(1,a)$ は多項式 $p_n(a,a^*)$ の極限であり、積の連続性から $bf(a)=\lim bp_n(a,a^*)=\lim p_n(a,a^*)b=f(a)b$ である。
3：1 により $f(a)$ は正規で、thm-cfc-main の 3 により $\sigma(f(a))=f(K)$ である。$\Psi\colon C(f(K))\to\mathcal A$、$\Psi(g):=(g\circ f)(a)$ とおく。$g\mapsto g\circ f$ は $C(f(K))$ から $C(K)$ への単位的 $*$-準同型なので、$\Psi$ は単位的 $*$-準同型であり、$f(K)$ 上の恒等関数 $w$ を $\Psi(w)=(w\circ f)(a)=f(a)$ へ送る。正規元 $f(a)$ についての thm-cfc-main の 1 の一意性により、$\Psi(g)=g(f(a))$ である。$\square$

$K:=\sigma(a)$ とする。thm-cfc-main の 2 により $\Phi_a$ は単射なので、$a$ についての多項式の等式は、$K$ 上の関数の等式と同値である。$a=\Phi_a(z)$、$a^*=\Phi_a(\overline z)$、$1=\Phi_a(1)$ なので、1 は「$K$ 上で $z=\overline z$」、2 は「$K$ 上で $\overline zz=1$」、3 は「$K$ 上で $z=z^2=\overline z$」と同値である。これらはそれぞれ $K\subset\mathbb R$、$K\subset\mathbb T$、$K\subset\{0,1\}$ と同値である。$\square$

1：$\sigma(x)\subset[0,\infty)$ の上で $f$ は連続な実数値関数なので、prop-cfc-basic の 1 により $x^{1/2}$ は自己共役であり、thm-cfc-main の 3 により $\sigma(x^{1/2})=f(\sigma(x))\subset[0,\infty)$ である。$\sigma(x)$ の上で $f^2=z$ なので、$\Phi_x$ が準同型であることから $(x^{1/2})^2=\Phi_x(f^2)=\Phi_x(z)=x$ である。
2：$\sigma(h)\subset\mathbb R$ の上で $f_\pm$ は $0$ 以上の連続な実数値関数で、$f_+-f_-=z$、$f_+f_-=0$ を満たす。1 と同じく、$h_\pm$ は自己共役で $\sigma(h_\pm)=f_\pm(\sigma(h))\subset[0,\infty)$ であり、$h_+-h_-=\Phi_h(z)=h$、$h_+h_-=h_-h_+=\Phi_h(0)=0$ である。$\square$

cor-cfc-spectrum-type の 2 により $\sigma(u)\subset\mathbb T$ であり、仮定から $e^{i\theta_0}\notin\sigma(u)$ となる $\theta_0\in\mathbb R$ がある。$\theta\in(\theta_0,\theta_0+2\pi)$ について $g(e^{i\theta}):=\theta$ とおくと、$g$ は $\mathbb T\setminus\{e^{i\theta_0}\}$ の上の連続な実数値関数で、$e^{ig(w)}=w$ を満たす。$h:=g(u)$ は prop-cfc-basic の 1 により自己共役である。
$E(t):=e^{it}$ とおく。部分和 $s_N(t):=\sum_{n\le N}(it)^n/n!$ は、コンパクト集合 $\sigma(h)\subset\mathbb R$ の上で $E$ に一様収束し、$s_N(h)$ は級数の部分和に等しいので、thm-cfc-main の 2 により $e^{ih}=\lim s_N(h)=E(h)$ である。合成則（prop-cfc-basic の 3）により $E(h)=E(g(u))=(E\circ g)(u)$ であり、$\sigma(u)$ の上で $E\circ g=z$ なので、$e^{ih}=u$ である。$\square$