Serreファイブレーション

1：$f=(f_A,f_E)\colon I^n\to A\times_BE$ と $h\colon I^n\times I\to A$、$h(y,0)=f_A(y)$ をとる。$g\circ h$ を $f_E$ を始点として $p$ で持ち上げた $H_E$ について、$(h,H_E)$ が持ち上げである。2：$q\circ p$ のホモトピーを、まず $q$ で $p\circ f$ を始点に持ち上げ、次に $p$ で $f$ を始点に持ち上げる。3：包含 $U\to B$ に沿った引き戻しは $e\mapsto(p(e),e)$ によって $p^{-1}(U)\to U$ と同一視できるので、1 から従う。$\square$

レトラクション．$q=(x,t)\in Q_n$（$x\in I^n$、$t\in I$）について、$\|x-\tfrac12\|_\infty:=\max_i|x_i-\tfrac12|$（$n=0$ では $0$）とし、$$\lambda(q):=\Bigl(\max\bigl(\tfrac{2-t}2,\ 2\|x-\tfrac12\|_\infty\bigr)\Bigr)^{-1},\qquad r(q):=c+\lambda(q)(q-c)$$とおく。分母は $\frac12$ 以上なので $\lambda$ は連続で、$\frac{2-t}2\le1$、$2\|x-\frac12\|_\infty\le1$ から $\lambda\ge1$ である。$r(q)$ の第 $i$ 成分は $\frac12+\lambda(x_i-\frac12)$、最後の成分は $2+\lambda(t-2)$ である。$\lambda\le\frac2{2-t}$ から最後の成分は $0$ 以上で、$\lambda\ge1$ から $t$ 以下である。$\lambda\|x-\frac12\|_\infty\le\frac12$ から $r(q)$ の $x$ 成分は $I^n$ に入る。最大が $\frac{2-t}2$ で実現されれば最後の成分は $0$、$2\|x-\frac12\|_\infty$ で実現されれば $x$ 成分は $\partial I^n$ に入るので、$r(Q_n)\subset V_n$ である。$q\in V_n$ なら $t=0$ か $2\|x-\frac12\|_\infty=1$ なので $\lambda(q)=1$、$r(q)=q$ である。逆に $\lambda(q)=1$ なら $q\in V_n$ である。

持ち上げるホモトピー．$d(q):=\min(1,|q-r(q)|)$（$|\cdot|$ は Euclid ノルム）は連続で、$d(q)=0$ と $q\in V_n$ は同値である。$\sigma_q(\theta):=(1-\theta)r(q)+\theta q$ は $Q_n$ の凸性から $Q_n$ に値をとる。$d(q)>0$ なら $\Psi(q,\theta):=K\bigl(\sigma_q(\min(\theta/d(q),1))\bigr)$、$d(q)=0$ なら $\Psi(q,\theta):=K(q)$ とおく。$\Psi$ は $d>0$ の範囲で連続である。$q_0\in V_n$ では、$|\sigma_q(\theta')-q_0|\le|r(q)-q|+|q-q_0|$ が $\theta'$ によらず $q\to q_0$ で $0$ に近づくので、$K$ の $q_0$ での連続性から、$q$ が $q_0$ に近ければすべての $\theta$ で $\Psi(q,\theta)$ は $K(q_0)=\Psi(q_0,\theta)$ に近い。よって $\Psi\colon Q_n\times I\to B$ は連続である。

持ち上げ．$\Psi(q,0)=K(r(q))=p(G(r(q)))$ なので、$Q_n\cong I^{n+1}$ に def-sf-main を当てると、連続写像 $L\colon Q_n\times I\to E$ で $L(q,0)=G(r(q))$、$p\circ L=\Psi$ となるものがある。$\Lambda(q):=L(q,d(q))$ とおくと $\Lambda$ は連続である。$q\in V_n$ なら $d(q)=0$ で $\Lambda(q)=G(r(q))=G(q)$ である。$p(\Lambda(q))=\Psi(q,d(q))$ は、$d(q)>0$ なら $K(\sigma_q(1))=K(q)$、$d(q)=0$ なら $K(q)$ である。$\square$

$Y_n:=X^n\cup A$（$Y_{-1}:=A$）とおき、$p\circ\Lambda_n=K$ を満たし $G$ と $(X\times\{0\})\cap(Y_n\times I)$ の上で一致する連続写像 $\Lambda_n\colon Y_n\times I\to E$ を、$\Lambda_n$ が $\Lambda_{n-1}$ を延長するように作る。$\Lambda_{-1}:=G|_{A\times I}$ とする。

$n\ge0$ とし、$e_\alpha$ を $A$ に属さない $n$ 胞体、$\Phi_\alpha\colon D^n\to X$ をその特性写像とする。$(D^n,\partial D^n)$ を $(I^n,\partial I^n)$ と同相写像で同一視し、$V_n$ の上で $G_\alpha(x,0):=G(\Phi_\alpha(x),0)$、$x\in\partial I^n$ について $G_\alpha(x,t):=\Lambda_{n-1}(\Phi_\alpha(x),t)$ とおく。$\Phi_\alpha(\partial I^n)\subset X^{n-1}\subset Y_{n-1}$ なので後者は意味をもち、$\partial I^n\times\{0\}$ の上で両式は一致する。$K_\alpha:=K\circ(\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)$ について $p\circ G_\alpha=K_\alpha|_{V_n}$ なので、lem-sf-relative から $\Lambda_\alpha\colon Q_n\to E$ が得られる。$Y_n\times I$ の点は $Y_{n-1}\times I$ にあるか、ただ 1 つの $\alpha$ について $\Phi_\alpha\times\mathrm{id}$ の内部の像にあり、$\Phi_\alpha$ は内部で単射なので、$Y_{n-1}\times I$ では $\Lambda_{n-1}$、$\Phi_\alpha(x)$ では $\Lambda_\alpha(x,t)$ を値とする写像 $\Lambda_n$ が矛盾なく定まる。$Y_n\times I$ は $X\times I$ の部分複体であり、$\Lambda_n$ の連続性は次の段落と同じ判定で確かめられる。

境界の点では $\Lambda_n(\Phi_\alpha(x),t)=\Lambda_{n-1}(\Phi_\alpha(x),t)=G_\alpha(x,t)=\Lambda_\alpha(x,t)$ なので、$\Lambda_n\circ(\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)=\Lambda_\alpha$ である。すべての $\Lambda_n$ の和を $\Lambda\colon X\times I\to E$ とする。$X\times I$ の各胞体の特性写像は $\Phi_e\times\{0\}$、$\Phi_e\times\{1\}$、$\Phi_e\times\mathrm{id}_I$ の形であり、$\Lambda\circ(\Phi_e\times\mathrm{id}_I)$ は $e\subset A$ なら $G\circ(\Phi_e\times\mathrm{id}_I)$、そうでなければ $\Lambda_\alpha$ なので連続である。CW複体 の定理「胞体ごとの判定」により $\Lambda$ は連続であり、作り方から $G$ を延長し $p\circ\Lambda=K$ を満たす。$A=\emptyset$ とすれば最後の前半の主張になる。逆は $I^n$ が CW 複体であることから従う。$\square$

$f\colon I^n\to E$、$h\colon I^n\times I\to B$、$h(y,0)=p(f(y))$ とする。局所自明化 $\phi_U\colon p^{-1}(U)\cong U\times F$ をもつ開集合 $U$ の全体について $\{h^{-1}(U)\}$ はコンパクト距離空間 $I^n\times I$ の開被覆なので、Lebesgue 数をとると、整数 $N\ge1$ で、辺の長さ $\frac1N$ の格子立方体 $C$ と $J_j:=[\frac{j-1}N,\frac jN]$（$1\le j\le N$）について $h(C\times J_j)$ がいずれかの $U$ に含まれるものがある。格子立方体の面（各座標を $[\frac{i-1}N,\frac iN]$ か一点 $\{\frac iN\}$ に制限した集合）の全体を考える。$k$ 次元の面 $\sigma$ は $I^k$ とアフィン同相で、その境界 $\partial\sigma$ は $(k-1)$ 次元の面の和である。

$j$ についての帰納法で、$I^n\times[0,\frac{j-1}N]$ の上の持ち上げ $H$（$H(y,0)=f(y)$、$p\circ H=h$）を $I^n\times[0,\frac jN]$ へ延ばす（$j=1$ では $I^n\times\{0\}$ の上の $f$ から始める）。$k=0,1,\dots,n$ の順に、$k$ 次元の面 $\sigma$ ごとに $\sigma\times J_j$ の上へ延ばす。$\sigma$ を含む格子立方体 $C$ について $h(C\times J_j)\subset U$ とすると、$\sigma\times\{\frac{j-1}N\}\cup\partial\sigma\times J_j$ の上では $H$ はすでに定まっていて、$p\circ H=h$ から値は $p^{-1}(U)$ にある。$p^{-1}(U)\to U$ は $\phi_U$ によって射影 $U\times F\to U$ と同一視でき、ex-sf-basic の 1 により Serre ファイブレーションである。$(\sigma\times J_j,\ \sigma\times\{\frac{j-1}N\}\cup\partial\sigma\times J_j)$ は $(Q_k,V_k)$ とアフィン同相なので、lem-sf-relative により $H$ は $\sigma\times J_j$ の上へ、$p\circ H=h$ を保って延びる。異なる $k$ 次元の面は $(k-1)$ 次元以下の面でしか交わらず、そこでは値がすでに定まっているので、有限個の閉集合の上の連続写像を貼り合わせて $H$ は連続である。$k=n$ まで進めると $I^n\times[0,\frac jN]$ の上の持ち上げが得られる。$\square$

$I^n=I^{n-1}\times I$ の点を $(s',s_n)$ と書き、$\rho(s',s_n):=(s',1-s_n)$ とおくと $\rho(J^{n-1})=V_{n-1}$ である（$J^{n-1}=\partial I^{n-1}\times I\cup I^{n-1}\times\{1\}$）。

全射．$f\colon(I^n,\partial I^n)\to(B,b_0)$ をとる。$V_{n-1}$ の上の定値写像 $x_0$ と $K:=f\circ\rho$ に lem-sf-relative を当てて $\Lambda$ を得、$\tilde f:=\Lambda\circ\rho$ とおく。$\tilde f(J^{n-1})=\{x_0\}$、$p\circ\tilde f=f$ であり、$f(\partial I^n)=\{b_0\}$ から $\tilde f(\partial I^n)\subset F$ である。よって $\tilde f$ は $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(E,F,x_0)$ の写像で、$p_*[\tilde f]=[f]$ である。

単射．$f_0,f_1\colon(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(E,F,x_0)$ について $p\circ f_0$ と $p\circ f_1$ がホモトピック、すなわち $g\colon I^n\times I\to B$ で $g(\cdot,0)=p\circ f_0$、$g(\cdot,1)=p\circ f_1$、$g(\partial I^n\times I)=\{b_0\}$ となるものがあるとする。$P:=I^n\times\{0,1\}\cup J^{n-1}\times I$ の上で $f_0$、$f_1$、定値写像 $x_0$ を並べた写像 $G$ は、交わりでは $f_u(J^{n-1})=\{x_0\}$ なので連続で、$p\circ G=g|_P$ である。$\tau(s',u,v):=(s',1-v,u)$ は $I^{n-1}\times I\times I$ から $I^n\times I$ への同相写像で、$(s',u)\in I^{n-1}\times I=I^n$ と $v\in I$ に分けると $\tau^{-1}(P)=\partial I^n\times I\cup I^n\times\{0\}=V_n$ である（$u\in\{0,1\}$ または $s'\in\partial I^{n-1}$ の点と $v=0$ の点）。$G\circ\tau$ と $g\circ\tau$ に lem-sf-relative を当てた $\Lambda$ について $\tilde g:=\Lambda\circ\tau^{-1}$ は $P$ の上で $G$ に一致し、$p\circ\tilde g=g$ である。$g(\partial I^n\times I)=\{b_0\}$ から $\tilde g(\partial I^n\times I)\subset F$、$\tilde g(J^{n-1}\times I)=\{x_0\}$ なので、$\tilde g$ は $f_0$ から $f_1$ への相対ホモトピー群の意味のホモトピーであり、$[f_0]=[f_1]$ である。

$n\ge2$ では $p_*$ は群の準同型（和は第 1 座標の貼り合わせで、$p$ との合成と可換）なので、全単射な準同型として同型である。$\square$