Wallis積分

1：$\sin$ は $[0,\frac\pi2]$ で上に凸なので、グラフは両端を結ぶ弦より上にあり、$\frac{2x}\pi\le\sin x\le x$ である。$-1< p<0$ なら $0<\sin^px\le(\frac{2x}\pi)^p$ で、$\int_0^{\pi/2}x^p\,dx$ は収束するので積分は収束する。$p\le-1$ なら $\sin^px\ge x^p$ で、$\int_0^{\pi/2}x^p\,dx$ は発散する。$p\ge0$ なら被積分関数は閉区間上で連続である。
2：$x=\frac\pi2-y$ と置換すればよい。被積分関数は $(0,\frac\pi2)$ で正なので $W_p>0$ である。
3：$p< q$ なら、$0<\sin x<1$（$0< x<\frac\pi2$）から $\sin^qx<\sin^px$ であり、差は正の連続関数なので $W_q< W_p$ である。$\square$

$0<\varepsilon<\frac\pi2$ とし、$\sin^{p+2}x=\sin^{p+1}x\cdot\sin x$ として $[\varepsilon,\frac\pi2]$ で部分積分する。$(\sin^{p+1}x)'=(p+1)\sin^px\cos x$ なので
$$ \int_\varepsilon^{\pi/2}\sin^{p+2}x\,dx=\Bigl[-\sin^{p+1}x\cos x\Bigr]_\varepsilon^{\pi/2}+(p+1)\int_\varepsilon^{\pi/2}\sin^px\cos^2x\,dx $$
である。$p+1>0$ なので $\sin^{p+1}\varepsilon\cos\varepsilon\to0$（$\varepsilon\to0$）である。$\cos^2x=1-\sin^2x$ を代入して $\varepsilon\to0$ とすると、prop-wal-basic の 1 によりどの積分も収束して
$$ W_{p+2}=(p+1)(W_p-W_{p+2}) $$
となり、$(p+2)W_{p+2}=(p+1)W_p$ を得る。整数の値は、$W_0=\frac\pi2$、$W_1=1$ から漸化式をくり返し使えば得られる。$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{(2^nn!)^2}=\binom{2n}n4^{-n}$ と $\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\frac{(2^nn!)^2}{(2n+1)!}$ は、分母・分子に $(2n)!!$ を掛ければ確かめられる。$\square$

1：$p>-1$ について $f(p):=(p+1)W_pW_{p+1}$ とおく。thm-wal-recursion から
$$ f(p+1)=(p+2)W_{p+1}W_{p+2}=(p+2)W_{p+1}\cdot\frac{p+1}{p+2}W_p=f(p) $$
であり、$f$ は周期 $1$ をもつ。とくに整数 $m\ge0$ について $f(m)=f(0)=W_0W_1=\frac\pi2$ である。
一般の $p>-1$ について、$k:=\lfloor p\rfloor$（$k\ge-1$、$k\le p< k+1$）とおき、$k+n\ge0$ となる整数 $n\ge1$ をとる。prop-wal-basic の 3 から $W_{k+n+1}\le W_{p+n}\le W_{k+n}$、$W_{k+n+2}\le W_{p+n+1}\le W_{k+n+1}$ なので、周期性と整数での値を使うと
$$ f(p)=f(p+n)=(p+n+1)W_{p+n}W_{p+n+1}\le(p+n+1)W_{k+n}W_{k+n+1}=\frac{p+n+1}{k+n+1}\cdot\frac\pi2, $$
$$ f(p)\ge(p+n+1)W_{k+n+1}W_{k+n+2}=\frac{p+n+1}{k+n+2}\cdot\frac\pi2 $$
である。左辺は $n$ によらず、右辺はどちらも $n\to\infty$ で $\frac\pi2$ に収束するので、$f(p)=\frac\pi2$ である。
2：$p>0$ とする。単調性 $W_{p+1}\le W_p$ と 1 から $W_p^2\ge W_pW_{p+1}=\frac\pi{2(p+1)}$ である。また $p-1>-1$ なので、$W_p\le W_{p-1}$ と 1（$p-1$ について）から $W_p^2\le W_{p-1}W_p=\frac\pi{2p}$ である。2 つを $\sqrt{\pi/(2p)}$ で割ると、比は $\sqrt{p/(p+1)}$ 以上 $1$ 以下になり、はさみうちの原理により $1$ に収束する。$\square$

prf-wal-product を $W$ の代わりに $F$ について行うと、すべての $p>0$ について $\frac\pi{2(p+1)}\le F(p)^2\le\frac\pi{2p}$ が得られる。$r(p):=F(p)/W_p$ とおくと、2 と thm-wal-recursion から $r(p+2)=r(p)$ であり、thm-wal-product の 2 と合わせて、$p>0$ では $\frac p{p+1}\le r(p)^2\le\frac{p+1}p$ である。$p>-1$ を固定すると $r(p)=r(p+2n)$ で、$n\to\infty$ のとき右辺の上下の評価は $1$ に収束するので $r(p)=1$ である。$\square$

左辺の有限積を $P_n$ とすると、thm-wal-recursion の値の式から $P_n=\frac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!!\,(2n+1)!!}$ であり、$\frac{W_{2n}}{W_{2n+1}}=\frac\pi2\cdot\frac1{P_n}$ である。単調性 $W_{2n+1}\le W_{2n}\le W_{2n-1}$ と漸化式 $W_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}W_{2n-1}$ から
$$ 1\le\frac{W_{2n}}{W_{2n+1}}\le\frac{W_{2n-1}}{W_{2n+1}}=1+\frac1{2n} $$
なので、$W_{2n}/W_{2n+1}\to1$、すなわち $P_n\to\frac\pi2$ である。$\square$

thm-wal-recursion から $\binom{2n}n4^{-n}=\frac2\pi W_{2n}$ である。thm-wal-product の 2 を $p=2n$ に使うと $\sqrt{\frac\pi{2(2n+1)}}\le W_{2n}\le\sqrt{\frac\pi{4n}}$ であり、$\frac2\pi$ を掛ければ主張の不等式になる。$\square$

前半は ベータ関数 の系「$\Gamma(\frac12)$ と三角関数の冪の積分」の 2 である。$p=2x-1$（$p>0$）とおくと $W_p^2=\frac\pi4\cdot\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(x+\frac12)^2}$ であり、thm-wal-product の 2 は $\frac\pi{4x}\le W_p^2\le\frac\pi{4(x-\frac12)}$ となる。逆数をとって平方根をとれば後半を得る。$\square$

すべての実数 $t$ について $1+t\le e^t$ である。$t=-x^2$ とすると $0\le x\le1$ で $0\le1-x^2\le e^{-x^2}$、$t=x^2$ とすると $e^{-x^2}\le(1+x^2)^{-1}$ である。整数 $n\ge2$ について $n$ 乗して積分すると、$G:=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$（$\le\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2$ で収束する）について
$$ \int_0^1(1-x^2)^n\,dx\le\int_0^1e^{-nx^2}\,dx\le\int_0^\infty e^{-nx^2}\,dx=\frac G{\sqrt n}\le\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n} $$
である（等号は $x=y/\sqrt n$ の置換）。左端で $x=\cos\theta$、右端で $x=\tan\theta$ と置換すると、prop-wal-basic の 2 により
$$ \int_0^1(1-x^2)^n\,dx=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}\theta\,d\theta=W_{2n+1},\qquad\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}\theta\,d\theta=W_{2n-2} $$
となる（$dx=-\sin\theta\,d\theta$、$dx=d\theta/\cos^2\theta$ と $1+\tan^2\theta=1/\cos^2\theta$ を使った）。よって $\sqrt nW_{2n+1}\le G\le\sqrt nW_{2n-2}$ であり、thm-wal-product の 2 から
$$ \sqrt{\frac{\pi n}{4(n+1)}}\le\sqrt nW_{2n+1},\qquad\sqrt nW_{2n-2}\le\sqrt{\frac{\pi n}{4(n-1)}} $$
である。両端は $n\to\infty$ で $\frac{\sqrt\pi}2$ に収束するので、$G=\frac{\sqrt\pi}2$ である。$\square$