完全数

$d$ が $mn$ の正の約数であるとき、$d_1:=\gcd(d,m)$、$d_2:=\gcd(d,n)$ とおく。$m$ と $n$ が互いに素なので $d_1$ と $d_2$ も互いに素であり、$d_1d_2$ は $d$ を割る。また $d$ の任意の素因数 $q$ は $m$ または $n$ の一方だけを割り、たとえば $q\mid m$ なら $q\nmid n$ と $d\mid mn$ から $d$ における $q$ の指数は $m$ における指数以下なので、$d_1=\gcd(d,m)$ における $q$ の指数は $d$ における指数に等しい（$q\mid n$ のときは $d_2$ について同様）。よって $d=d_1d_2$ である。逆に $m$ の約数 $d_1$ と $n$ の約数 $d_2$ に対し $d_1d_2$ は $mn$ の約数であり、$\gcd(d_1d_2,m)=d_1$、$\gcd(d_1d_2,n)=d_2$ である。よって $d\mapsto(d_1,d_2)$ は $mn$ の正の約数の集合から $m$ の正の約数と $n$ の正の約数の組の集合への全単射であり、
$$\sigma(mn)=\sum_{d\mid mn}d=\sum_{d_1\mid m}\sum_{d_2\mid n}d_1d_2=\sigma(m)\sigma(n)$$
となる。$\square$

$p^e$ の正の約数は $1,p,\dots,p^e$ に限るので、$\sigma(p^e)$ は等比数列の和であり、$(p-1)(1+p+\cdots+p^e)=p^{e+1}-1$ から第 1 の等式を得る。lem-perfect-number-sigma-multiplicative を繰り返し用いると $\sigma(N)=\prod_i\sigma(p_i^{e_i})$ であり、
$$\frac{\sigma(p^e)}{p^e}=\frac{p^{e+1}-1}{p^e(p-1)}=\frac{1-p^{-(e+1)}}{1-p^{-1}}$$
から第 2 の等式を得る。完全数の条件 $\sigma(N)=2N$ は $\sigma(N)/N=2$ と同値である。最後に、$1-p^{-(e+1)}$ は $1-p^{-1}$ より大きく $1$ より小さいので、因子は $1$ より大きく $1/(1-p^{-1})=p/(p-1)$ より小さい。$\square$

$n=ab$（$a,b\ge2$）と分解できたとすると、$x^b-1=(x-1)(x^{b-1}+\cdots+x+1)$ に $x=2^a$ を代入して $2^n-1=(2^a-1)(2^{a(b-1)}+\cdots+2^a+1)$ となる。$a\ge2$ より $2^a-1\ge3$ であり、第 2 因子は $2^a+1\ge5$ 以上なので、$2^n-1$ は $1$ でも自身でもない約数 $2^a-1$ をもち、素数でない。$\square$

(2 ⇒ 1) $q:=2^p-1$ が素数であるとする。$q$ は奇数なので $2^{p-1}$ と $q$ は互いに素であり、lem-perfect-number-sigma-multiplicative と prop-perfect-number-product-criterion により
$$\sigma(N)=\sigma(2^{p-1})\sigma(q)=(2^p-1)(q+1)=(2^p-1)2^p=2\cdot2^{p-1}(2^p-1)=2N$$
となる。$p\ge2$ なので $N$ は偶数である。
(1 ⇒ 2) $N$ を偶数の完全数とし、$N=2^{k}M$（$k\ge1$、$M$ は奇数）と書く。$2^k$ と $M$ は互いに素なので
$$2^{k+1}M=2N=\sigma(N)=\sigma(2^k)\sigma(M)=(2^{k+1}-1)\sigma(M)$$
である。$2^{k+1}-1$ は奇数なので $2^{k+1}$ と互いに素であり、$2^{k+1}-1$ は $M$ を割る。$M=(2^{k+1}-1)M'$ とおくと、両辺を $2^{k+1}-1$ で割って $\sigma(M)=2^{k+1}M'$ を得る。ここで $M'$ と $M$ は $M$ の相異なる正の約数であり（$2^{k+1}-1\ge3$ なので $M'< M$）、
$$M+M'=(2^{k+1}-1)M'+M'=2^{k+1}M'=\sigma(M)$$
である。$\sigma(M)$ は $M$ の正の約数すべての和であり、その中の二つ $M$ と $M'$ だけで和全体に達しているので、$M$ の正の約数は $M$ と $M'$ の二つしかない。正の約数が二つしかない数は素数であり、その約数は $1$ と自身なので $M'=1$、$M=2^{k+1}-1$ は素数である。$p:=k+1$ とおくと lem-perfect-number-mersenne-exponent により $p$ は素数であり、$N=2^{p-1}(2^p-1)$ となる。
一意性：$N=2^{p-1}(2^p-1)$ において $2^p-1$ は奇数なので、$p-1$ は $N$ の素因数分解における $2$ の指数であり、$N$ から定まる。$\square$

thm-perfect-number-euclid-euler により写像は偶数の完全数の集合への全射であり、一意性の主張により単射である。$\square$

$N=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ と素因数分解する。$N$ は奇数なので各 $p_i$ は奇素数であり、$2N\equiv2\pmod 4$ である。prop-perfect-number-product-criterion により $2N=\sigma(N)=\prod_i\sigma(p_i^{a_i})$ である。
$\sigma(p^a)=1+p+\cdots+p^a$ は $a+1$ 個の奇数の和なので、$a$ が偶数のとき奇数、$a$ が奇数のとき偶数である。積 $\prod_i\sigma(p_i^{a_i})$ は偶数なので、$a_i$ が奇数となる $i$ が少なくとも一つある。もし二つ以上あれば積は $4$ で割り切れ、$2N\equiv2\pmod 4$ に反する。よって指数が奇数の素因数はちょうど一つであり、それを $p=p_1$、$\alpha=a_1$ とおくと、残りの指数はすべて偶数なので $N=p^{\alpha}M^2$（$M:=\prod_{i\ge2}p_i^{a_i/2}$、$p\nmid M$）と書ける。さらに $\sigma(p^{\alpha})\cdot(\text{奇数})=2N\equiv2\pmod 4$ であるから、$\sigma(p^{\alpha})$ は $4$ で割り切れず、$\sigma(p^{\alpha})\equiv2\pmod 4$ である。
$p\equiv3\pmod 4$ と仮定すると $p^k\equiv(-1)^k\pmod 4$ なので、$\sigma(p^{\alpha})\equiv\sum_{k=0}^{\alpha}(-1)^k\pmod 4$ となる。$\alpha+1$ は偶数なので右辺は $0$ であり、$\sigma(p^{\alpha})\equiv0\pmod 4$ となって矛盾する。よって $p\equiv1\pmod 4$ である。このとき $p^k\equiv1\pmod 4$ なので $\sigma(p^{\alpha})\equiv\alpha+1\pmod 4$ であり、$\alpha+1\equiv2\pmod 4$、すなわち $\alpha\equiv1\pmod 4$ を得る。$\square$

prf-perfect-number-euler-odd-form で見たように $\sigma(p^{\alpha})\equiv2\pmod 4$ なので $\sigma(p^{\alpha})/2$ は整数であり、$\sigma(q_i^{2b_i})$ は奇数である。乗法性により
$$N=\frac{\sigma(N)}{2}=\frac{\sigma(p^{\alpha})}{2}\prod_{i=1}^s\sigma(q_i^{2b_i})$$
であり、右辺の各因子は $N$ を割り切る。最後に、$p\equiv1\pmod 4$ より $p^{\alpha}\equiv1\pmod 4$ であり、$M=q_1^{b_1}\cdots q_s^{b_s}$ は奇数なので $M^2\equiv1\pmod 4$ である。よって $N=p^{\alpha}M^2\equiv1\pmod 4$ である。$\square$