Haar関数系
概要
Haar関数系（Haar system）とは、$\varphi_0=1$ と、$n=2^\ell+k$（$0\le k< 2^\ell$）に対し 2 進区間 $[k2^{-\ell},(k+1)2^{-\ell})$ の左半分で $2^{\ell/2}$、右半分で $-2^{\ell/2}$、外で $0$ をとる関数 $\varphi_n$ からなる関数の列である。$L^2(0,1)$ の正規直交基底であり、最初の $N$ 項の部分和は、$[0,1)$ を $N$ 個の 2 進区間に分けた分割の各区間で平均をとる操作に一致する。平均はノルムを増やさないので、$1\le p< \infty$ のときこの系は $L^p(0,1)$ の基底定数 $1$ の Schauder 基底になる。積分すると $C[0,1]$ の折れ線の基底が得られる。
前提知識: Hilbert空間, Lp空間, Schauder基底
2 進区間の左右の差を測る関数
区間 $[0,1)$ を 2 等分、4 等分、…と細かくしていくとき、各 2 進区間の左半分で正、右半分で負の値をとる階段関数を集めたものが Haar 関数系である。各関数は小さな区間の中だけで $0$ でないので、関数の局所的な変化を段階ごとに取り出せる。
- Haar 関数系は $L^2(0,1)$ の正規直交基底である（thm-haar-onb）。
- 最初の $N$ 項による部分和は、$[0,1)$ を $N$ 個の 2 進区間に分けた分割の各区間で平均をとる操作に一致する（thm-haar-partial）。平均をとる操作は $L^p$ ノルムを増やさないので、$1\le p<\infty$ のとき Haar 関数系は $L^p(0,1)$ の Schauder 基底であり、基底定数は $1$ である（thm-haar-lp）。
- Haar 関数の原始関数は、$C[0,1]$ の折れ線の基底をなす山形の関数である。
局所コンパクト群の上の不変測度である「Haar 測度」とは別の概念である。この記事では実数値または複素数値の関数を扱い、$L^p(0,1)$ は Lebesgue 測度に関する空間とする。
定義
2 進区間を $I_{m,k}:=[k2^{-m},(k+1)2^{-m})$（$m\ge0$、$0\le k<2^m$）と書く。$I_{m,k}$ の左半分は $I_{m+1,2k}$、右半分は $I_{m+1,2k+1}$ である。各 $I_{m,k}$ の上で定数な関数の全体を $D_m$ と書く。$D_m$ は次元 $2^m$ の線形空間で、$D_0\subset D_1\subset\cdots$ である。
$\varphi_0:=1$ とする。整数 $n\ge1$ を、整数 $\ell\ge0$ と $0\le k<2^\ell$ によって $n=2^\ell+k$ とただ一通りに表し、
$$
\varphi_n:=2^{\ell/2}\bigl(1_{I_{\ell+1,2k}}-1_{I_{\ell+1,2k+1}}\bigr)
$$
とおく。$\varphi_n$ を Haar 関数、$(\varphi_n)_{n\ge0}$ を Haar 関数系（Haar 系）という。
$\varphi_n$（$n=2^\ell+k$）は区間 $I_{\ell,k}$ の外で $0$、左半分で $2^{\ell/2}$、右半分で $-2^{\ell/2}$ である。$\ell$ を $\varphi_n$ の段とよぶ。段 $\ell$ の関数は $2^\ell$ 個あり、台は互いに重ならず、合わせて $[0,1)$ を覆う。最初のいくつかは
$$
\varphi_1=1_{[0,\frac12)}-1_{[\frac12,1)},\quad\varphi_2=\sqrt2\bigl(1_{[0,\frac14)}-1_{[\frac14,\frac12)}\bigr),\quad\varphi_3=\sqrt2\bigl(1_{[\frac12,\frac34)}-1_{[\frac34,1)}\bigr)
$$
である。区間の端点での値は $L^p$ の元としては問題にならない。同じ関数は Brown運動 の構成（Lévy–Ciesielski の構成）でも使われる。
正規直交基底であること
$(\varphi_n)_{n\ge0}$ は $L^2(0,1)$ の正規直交系である。さらに $m\ge0$ について、$\{\varphi_n:0\le n<2^m\}$ は $D_m$ の基底である。
$n=2^\ell+k$ なら $\int|\varphi_n|^2=2^\ell\cdot2^{-\ell}=1$ であり、$\int\varphi_n=2^{\ell/2}(2^{-\ell-1}-2^{-\ell-1})=0$ なので $\varphi_0$ と直交する。同じ段の 2 つは台が交わらないので直交する。段 $\ell< \ell'$ の $\varphi_n$ と $\varphi_{n'}$ では、$\varphi_{n'}$ の台 $I_{\ell',k'}$ は $\varphi_n$ の台の左半分か右半分に含まれるか、台の外にある（2 進区間は、包含関係にあるか交わらないかのどちらかである）。いずれにせよ $\varphi_n$ は $I_{\ell',k'}$ の上で定数 $c$ なので $\int\varphi_n\varphi_{n'}=c\int\varphi_{n'}=0$ である。
$n<2^m$ なら段は $m-1$ 以下なので、$\varphi_n$ は長さ $2^{-m}$ の各 2 進区間の上で定数であり、$\varphi_n\in D_m$ である。その個数は $1+\sum_{\ell< m}2^\ell=2^m=\dim D_m$ であり、正規直交なので線形独立だから $D_m$ の基底である。$\square$
$(\varphi_n)_{n\ge0}$ は $L^2(0,1)$ の完全正規直交系である。すべての $f\in L^2(0,1)$ について $f=\sum_n\langle f,\varphi_n\rangle\varphi_n$（$L^2$ で収束）と $\|f\|_2^2=\sum_n|\langle f,\varphi_n\rangle|^2$ が成り立つ。
lem-haar-span により、$(\varphi_n)$ の有限一次結合全体は $\bigcup_mD_m$ と一致する。$\bigcup_mD_m$ は $L^2(0,1)$ で稠密である：コンパクトな台をもつ $(0,1)$ 上の連続関数は $L^2(0,1)$ で稠密であり（Bre11 Corollary 4.23、p. 109）、そのような $g$ は一様連続なので、$I_{m,k}$ の上で値 $g(k2^{-m})$ をとる階段関数で、$m$ を大きくすれば一様に、したがって $L^2$ で近似できる（Rademacher関数 の補題「2進階段関数の稠密性」）。有限一次結合が稠密な正規直交系は完全であり、展開と Parseval の等式が成り立つ（Hilbert空間 の記事の定理「完全正規直交系の特徴づけとParsevalの等式」）。$\square$
$f(t)=t$ の係数を求める。$\langle f,\varphi_0\rangle=1/2$ である。$n=2^\ell+k$ とし、$I_{\ell,k}$ の左端を $a$、半分の長さを $h=2^{-\ell-1}$ とすると、$\int_a^{a+h}t\,dt-\int_{a+h}^{a+2h}t\,dt=-h^2$ なので
$$
\langle f,\varphi_n\rangle=-2^{\ell/2}h^2=-2^{-3\ell/2-2}
$$
である。係数は段 $\ell$ だけで決まり、段が上がるごとに $2^{-3/2}$ 倍になる。Parseval の等式は $\frac14+\sum_{\ell\ge0}2^\ell\cdot2^{-3\ell-4}=\frac14+\frac1{12}=\frac13=\int_0^1t^2\,dt$ となって確かめられる。
部分和は区間ごとの平均
$f\in L^1(0,1)$ について、Haar 係数 $c_n(f):=\int_0^1f\varphi_n\,dt$ と部分和 $P_Nf:=\sum_{n< N}c_n(f)\varphi_n$（$N\ge1$）を考える。$\varphi_n$ は有界なので、$c_n(f)$ は $f\in L^1$ で定まる。
$N\ge1$ を $N=2^\ell+j$（$\ell\ge0$、$0\le j<2^\ell$）と表し、$[0,1)$ の分割 $\pi_N$ を
$$
\pi_N:=\{I_{\ell+1,i}:0\le i<2j\}\cup\{I_{\ell,i}:j\le i<2^\ell\}
$$
で定める。左から $j$ 個の段 $\ell$ の区間だけを半分に割った分割であり、区間の個数は $2j+(2^\ell-j)=N$ である。$N=2^\ell$ なら $\pi_N=\{I_{\ell,i}\}_i$ である。有限個の区間からなる分割 $\pi$ について、各 $J\in\pi$ の上で値 $\frac1{\lambda(J)}\int_Jf$ をとる関数を $E_\pi f$ と書く（$\lambda$ は Lebesgue 測度）。これは $\pi$ の生成する σ-加法族に関する $f$ の条件付き期待値である（条件付き期待値）。
$f\in L^1(0,1)$ と $N\ge1$ について $P_Nf=E_{\pi_N}f$ である。
$\pi_N$ の各区間の上で定数な関数の空間を $V_N$ とする（次元 $N$）。$n<2^\ell$ なら $\varphi_n\in D_\ell$ であり、$D_\ell$ の元は $\pi_N$ の各区間の上で定数なので $\varphi_n\in V_N$ である。$0\le i< j$ なら $\varphi_{2^\ell+i}$ は $I_{\ell+1,2i}$ と $I_{\ell+1,2i+1}$ の上で定数、ほかで $0$ なので $V_N$ に属する。こうして $\varphi_0,\ldots,\varphi_{N-1}$ の $N$ 個は $V_N$ に入り、正規直交なので $V_N$ の正規直交基底である。
$f\in L^2$ のとき、$P_Nf$ は $V_N$ への直交射影である。一方 $E_{\pi_N}f\in V_N$ であり、各 $J\in\pi_N$ で $\int_J(f-E_{\pi_N}f)=0$ なので $f-E_{\pi_N}f$ は $V_N$ に直交する。直交射影の一意性（Hilbert空間 の記事の定理「直交射影と直交分解」）により $P_Nf=E_{\pi_N}f$ である。
$f\in L^1$ の場合：$P_N$ と $E_{\pi_N}$ は、どちらも有界な関数との積分で係数を作る有限和なので、$L^1(0,1)$ から $L^1(0,1)$ への連続線形写像である。両者は $L^2(0,1)$ の上で一致し、$L^2(0,1)$ は $L^1(0,1)$ で稠密なので（Lp空間 の命題「単関数の稠密性」）、$L^1$ 全体で一致する。$\square$
$1\le p<\infty$ とする。Haar 関数系 $(\varphi_n)_{n\ge0}$ は、この順序で $L^p(0,1)$ の Schauder 基底であり、すべての $f\in L^p(0,1)$ について
$$
f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\varphi_n\quad(L^p\text{ で収束}),\qquad\|P_Nf\|_p\le\|f\|_p
$$
が成り立つ。基底定数は $1$ である。
部分和はノルムを増やさない。 $J\in\pi_N$ の上で、Hölder の不等式（Hölderの不等式）により $\bigl|\frac1{\lambda(J)}\int_Jf\bigr|^p\le\frac1{\lambda(J)}\int_J|f|^p$ である。両辺に $\lambda(J)$ を掛けて $J$ について足すと $\|E_{\pi_N}f\|_p\le\|f\|_p$ となり、thm-haar-partial から $\|P_Nf\|_p\le\|f\|_p$ である。
収束する。 $\varepsilon>0$ とする。thm-haar-onb の証明と同じく $\bigcup_mD_m$ は $L^p(0,1)$ で稠密なので、$\|f-g\|_p<\varepsilon$ となる $g\in D_m$ がある。$N\ge2^m$ なら $\pi_N$ の区間の段は $m$ 以上なので、$g$ はその各区間の上で定数であり、$E_{\pi_N}g=g$ である。よって
$$
\|P_Nf-f\|_p\le\|E_{\pi_N}(f-g)\|_p+\|g-f\|_p<2\varepsilon
$$
であり、$P_Nf\to f$ である。
係数は一意である。 $f=\sum_na_n\varphi_n$ が $L^p$ で収束するとする。$\varphi_k$ は有界なので $u\mapsto\int u\varphi_k$ は $L^p(0,1)$ 上の連続線形汎関数であり、項別に当てると正規直交性から $c_k(f)=a_k$ である。
以上で Schauder 基底であることが示された（Schauder基底 の定義「Schauder基底」）。部分和の作用素は $P_N$ で $\|P_N\|\le1$、$P_N1=1$ なので $\sup_N\|P_N\|=1$ であり、基底定数は $1$ である（Schauder基底 の定理「係数汎関数の連続性と基底定数」）。$\square$
thm-haar-partial の要点は、途中の $N$ で打ち切っても部分和が「平均をとる」という正の操作になることである。平均はどの $L^p$ ノルムも増やさないので、収束は稠密な部分空間で確かめれば足りる。
原始関数と折れ線の基底
$n=2^\ell+k\ge1$ のとき、$\int_0^t\varphi_n(s)\,ds$ は $I_{\ell,k}$ の外で $0$、$I_{\ell,k}$ の中点で最大値 $2^{\ell/2}\cdot2^{-\ell-1}=2^{-\ell/2-1}$ をとる山形の折れ線である。$C[0,1]$ の折れ線の基底（Schauder基底 の定義「折れ線の基底」）では、節点を $d_0=0$、$d_1=1$、$d_2=\frac12$、$d_3=\frac14$、$d_4=\frac34,\ldots$ と並べるので、$I_{\ell,k}$ の中点は $d_{n+1}$ である。$d_0,\ldots,d_n$ のうち $d_{n+1}$ の両隣は $I_{\ell,k}$ の両端なので、$C[0,1]$ の基底の関数 $h_{n+1}$ は $2^{\ell/2+1}\int_0^t\varphi_n$ に等しい。また $h_0=1$、$h_1(t)=t=\int_0^t\varphi_0$ である。こうして Haar 関数系を積分すると、$C[0,1]$ の Schauder 基底が得られる（Schauder基底 の定理「$C[0,1]$ の基底」）。Haar 関数自身は連続でないので $C[0,1]$ には入らない。
Walsh 関数系との比較
Walsh関数 の系 $(w_n)$ も、最初の $2^m$ 個が $D_m$ の基底になる。したがって $N=2^m$ のとき、Haar 系と Walsh 系の部分和はどちらも $D_m$ への直交射影であり、$E_{\pi_{2^m}}$ に一致する。両者の違いは中間の $N$ と関数の形にある。
| Haar 関数系 | Walsh 関数系 | |
|---|---|---|
| 関数の値 | $0$ と $\pm2^{\ell/2}$ | $\pm1$ |
| 台 | 長さ $2^{-\ell}$ の 1 つの 2 進区間 | $[0,1)$ 全体 |
| 部分和 $N$ 項（$N$ が $2$ のべき） | 2 進区間ごとの平均 | 2 進区間ごとの平均 |
| 部分和 $N$ 項（一般の $N$） | 分割 $\pi_N$ での平均（thm-haar-partial） | 平均の形とは限らない |
表の最後の行の Walsh 系の例として $N=3$ をとる。$w_0=1$、$w_1=r_1$、$w_2=r_2$ はどれも長さ $\frac14$ の 4 つの 2 進区間の上で定数で、それらの一次結合の 4 つの値 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ は $x_1-x_2-x_3+x_4=0$ を満たす（$r_1r_2=w_3$ との直交性）。分割 $\pi$ での平均 $E_\pi$ の像は $\pi$ の各区間で定数な関数全体である。$S_3=E_\pi$ なら、像の次元から $\pi$ は 3 つの区間からなり、各区間 $J$ の指示関数 $1_J$ が $w_0,w_1,w_2$ の一次結合になるので、$J$ は長さ $\frac14$ の小区間のいくつかの和集合である。ところが 4 つの小区間を 3 つにまとめると 1 つは単独で残り、その指示関数の値の組は上の式の左辺を $\pm1$ にする。よって $S_3$ はどの分割の平均とも一致しない。
反例の表
thm-haar-onb と thm-haar-lp の仮定を 1 つずつ外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 定数関数 $\varphi_0$ を含むこと | $f=1$ と系 $(\varphi_n)_{n\ge1}$ | 完全性 |
| 正規化の因子 $2^{\ell/2}$ | $\psi_n:=1_{I_{\ell+1,2k}}-1_{I_{\ell+1,2k+1}}$ | 正規直交性 |
| $p< \infty$（$p=\infty$ にする） | $f=1_{[0,1/3)}\in L^\infty(0,1)$ | $\Vert P_Nf-f\Vert_\infty\to0$ |
- $n\ge1$ なら $\int\varphi_n=0$ なので、$1$ は $(\varphi_n)_{n\ge1}$ のすべてに直交し、$0$ でない。
- $n=2^\ell+k$ なら $\|\psi_n\|_2^2=2^{-\ell}$ であり、$\ell\ge1$ で $1$ にならない。直交性は保たれるが、係数は $\langle f,\psi_n\rangle/\|\psi_n\|_2^2$ で取り出す必要がある。
- $1/3$ は 2 進有理数でないので、$\pi_N$ の区間のうち $1/3$ を含むもの $J$ は、$1/3$ の左右に正の長さの部分をもつ。$f$ はそこでそれぞれ $1$ と $0$ をとり、$P_Nf=E_{\pi_N}f$ は $J$ の上で定数 $c$ なので、$\Vert P_Nf-f\Vert_\infty\ge\max(|1-c|,|c|)\ge1/2$ である。$0< s< s'<1$ なら $\Vert1_{[0,s)}-1_{[0,s')}\Vert_\infty=1$ なので、非可算個の $1_{[0,s)}$ が互いに距離 $1$ 離れており、$L^\infty(0,1)$ は可分でない。したがってそもそも Schauder 基底をもたない（Schauder基底 の系「基底をもつ空間は可分」）。
文献
Haar 関数の定義（$n=k+2^\ell$、$0\le k\le2^\ell-1$ による番号づけ）と、$(\varphi_n)_{n\ge0}$ が $L^2(0,1)$ の正規直交基底であることを示す演習は Bre11 Exercise 5.31（p. 155）にある。同書 Chapter 5 の Comments の 4（p. 146）は、階段関数からなる $L^2(0,1)$ の基底として Haar 基底と Walsh 基底を挙げ、Comments の 5（p. 146）は Schauder 基底を紹介している。$C_c^\infty$ の稠密性は同書 Corollary 4.23（p. 109）である。この記事の証明は記事内で完結させた。
関連項目
- 前提: Hilbert空間, Lp空間, Schauder基底
- 比較: Walsh関数, Rademacher関数, 正規直交基底
- 応用: Brown運動, 条件付き期待値
参考文献
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