Dirichlet問題

両辺の 2 乗はどちらも $1-2\,x\cdot y+|x|^2|y|^2$ に等しい。後半は $y=\zeta$（$|\zeta|=1$）とおいたものである。$\square$

要点：1 は積の Laplace 作用素の公式による直接計算、2 は定義から明らか、3 は lem-dp-symmetry で $P(x,\zeta)$ を、単位閉球の近くで調和な関数の $\zeta$ での値に書き直し、平均値の性質を使う。4 は $\zeta$ が $\eta$ から離れていれば分母が下から押さえられ、分子 $1-|x|^2$ が $0$ に近づくことによる。

要点：$|x|\le\rho<1$ では $P(x,\zeta)$ の偏導関数が一様に有界なので積分記号の下で微分でき、後半は優収束定理による。

$B$ 上での調和性は lem-dp-poisson-harmonic である。$B$ の中での連続性は調和性から、$S$ の上での連続性は $f$ の連続性から出るので、$\eta\in S$ で $x\to\eta$（$x\in B$）のとき $u(x)\to f(\eta)$ となることを示せばよい。
$\varepsilon>0$ をとる。$f$ の連続性から、$\delta>0$ があって $|\zeta-\eta|<\delta$ なら $|f(\zeta)-f(\eta)|<\varepsilon$ である。$\|f\|:=\max_S|f|$ とおく。prop-dp-poisson-kernel の 2・3 から $f(\eta)=\int_Sf(\eta)P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ なので
$$ |u(x)-f(\eta)|\le\int_S|f(\zeta)-f(\eta)|\,P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)\le\varepsilon\int_{|\zeta-\eta|<\delta}P(x,\zeta)\,d\sigma+2\|f\|\int_{|\zeta-\eta|\ge\delta}P(x,\zeta)\,d\sigma $$
である。第 1 項は 3 より $\varepsilon$ 以下、第 2 項は 4 より $x\to\eta$ で $0$ に収束する。よって $\limsup_{x\to\eta}|u(x)-f(\eta)|\le\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $u(x)\to f(\eta)$ である。$\square$

$u$ と、thm-dp-ball で作った境界値 $u|_{\partial B(a,r)}$ の解は、どちらも $\overline B(a,r)$ 上で連続、$B(a,r)$ 上で調和で、境界で一致するので、調和関数 の記事の系「境界値による一意性」により等しい。$\square$

要点：球の中では境界値が同じ調和関数なので劣調和関数の比較から $v\le\tilde v$ となり、外の点での劣平均値の性質はこの不等式から出る。

$\overline B(a,r)\subset\Omega$ を任意にとり、$H_f$ が $B(a,r)$ 上で調和であることを示す。
段 1（$a$ で上限に近づく増加列）．$v_k\in\mathcal{S}_f$ を $v_k(a)\to H_f(a)$ となるようにとる。$V_k:=\max(v_1,\dots,v_k)$ とおくと、$V_k$ は $\overline\Omega$ 上で連続、$\Omega$ 上で劣調和（劣調和関数 の記事の命題「和・最大値・上限」）、境界で $f$ 以下なので $V_k\in\mathcal{S}_f$ であり、$k$ について増加する。$V_k$ の $B(a,r)$ での Poisson 修正を $u_k$ とすると、lem-dp-poisson-modification により $u_k\in\mathcal{S}_f$、$u_k$ は増加列、$V_k\le u_k\le H_f$ である。特に $u_k(a)\to H_f(a)$ である。
段 2（極限は調和）．球面 $\partial B(a,r)$ 上で $V_k$ は増加して、ある関数 $g$ に収束する（$V_1\le V_k\le M$ で $V_1$ は球面上で連続なので、$V_k$ は一様に有界で、$g$ は有界な Borel 可測関数）。$B(a,r)$ 上で $u_k=P_{a,r}[V_k]$ なので、lem-dp-poisson-harmonic（を $B(a,r)$ に移したもの）により、$B(a,r)$ の各点で $u_k$ は $U:=P_{a,r}[g]$ に収束し、$U$ は $B(a,r)$ 上で調和である。$u_k\le H_f$ から $U\le H_f$、段 1 から $U(a)=H_f(a)$ である。
段 3（$H_f\le U$）．$v\in\mathcal{S}_f$ を任意にとる。$Y_k:=\max(V_k,v)\in\mathcal{S}_f$ の $B(a,r)$ での Poisson 修正を $Z_k$ とすると、段 1・段 2 と同じ理由で $Z_k$ は $\mathcal{S}_f$ の増加列で、$B(a,r)$ 上で調和関数 $Z:=P_{a,r}[\lim_kY_k]$ に各点収束し、$Z\le H_f$ である。$Y_k\ge V_k$ から $Z_k\ge u_k$ なので $Z\ge U$ である。すると $Z-U$ は $B(a,r)$ 上の $0$ 以上の調和関数で、$(Z-U)(a)\le H_f(a)-U(a)=0$ だから $a$ で最小値 $0$ をとる。調和関数 の記事の「最大値原理」（最小値の場合）により $B(a,r)$ 上で $Z=U$ である。したがって $B(a,r)$ 上で $v\le Y_k\le Z_k\le Z=U$ である。$v\in\mathcal{S}_f$ は任意なので $H_f\le U$ となる。
段 2 の $U\le H_f$ と合わせて、$B(a,r)$ 上で $H_f=U$ であり、$H_f$ は調和である。$\square$

$w$ を $\zeta$ における障壁とし、$\varepsilon>0$ をとる。$f$ の連続性から $\rho>0$ があって、$\partial\Omega\cap B(\zeta,\rho)$ の上で $|f-f(\zeta)|<\varepsilon$ である。$w$ はコンパクト集合 $\overline\Omega\setminus B(\zeta,\rho)$ の上で連続かつ負なので、ある $\delta>0$ について $w\le-\delta$ である。$C:=2\max_{\partial\Omega}|f|/\delta$ とおくと、$\partial\Omega$ 全体で
$$ f(\zeta)-\varepsilon+Cw\le f\le f(\zeta)+\varepsilon-Cw $$
が成り立つ（$B(\zeta,\rho)$ の中では $|f-f(\zeta)|<\varepsilon$ と $w\le0$ から、外では $Cw\le-2\max|f|$ から）。
左の関数 $f(\zeta)-\varepsilon+Cw$ は $\mathcal{S}_f$ に属するので、$\Omega$ 上で $H_f\ge f(\zeta)-\varepsilon+Cw$ である。一方 $v\in\mathcal{S}_f$ なら、$v+Cw$ は $\overline\Omega$ 上で連続、$\Omega$ 上で劣調和で、$\partial\Omega$ 上で $v+Cw\le f+Cw\le f(\zeta)+\varepsilon$ だから、劣調和関数 の記事の「劣調和関数の比較原理」（$h$ は定数）により $\Omega$ 上で $v\le f(\zeta)+\varepsilon-Cw$ である。上限をとって $H_f\le f(\zeta)+\varepsilon-Cw$ である。
$x\to\zeta$ のとき $w(x)\to w(\zeta)=0$ なので、$\limsup_{x\to\zeta}|H_f(x)-f(\zeta)|\le\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意だから $H_f(x)\to f(\zeta)$ である。$\square$

十分性：各境界点に障壁があれば、$u:=H_f$（$\Omega$ 上）、$u:=f$（$\partial\Omega$ 上）は $\Omega$ 上で調和（thm-dp-perron-harmonic）で、$\zeta\in\partial\Omega$ に $\Omega$ の中から近づくと $f(\zeta)$ に収束し（thm-dp-barrier-continuity）、$\partial\Omega$ の中で近づくときは $f$ の連続性から $f(\zeta)$ に収束する。よって $u$ は解である。
必要性：Dirichlet 問題が解けるとし、$\zeta\in\partial\Omega$ について境界値 $f(x):=-|x-\zeta|$ の解を $w$ とする。$w$ は調和なので劣調和であり、$w(\zeta)=0$、$\partial\Omega\setminus\{\zeta\}$ 上で $w<0$、調和関数 の記事の「弱最大値原理」により $\Omega$ 上で $w\le0$ である。$\Omega$ のある点で $w=0$ となると仮定して矛盾を導けば、$w$ は障壁である。

要点：外部の閉球を半分に縮めて $\overline\Omega$ と $\zeta$ だけで接するようにし、その中心 $c'$ についての基本解 $|x-c'|^{2-n}$（$n=2$ では $-\log|x-c'|$）から定数を引く。

要点：分離超平面定理により、各境界点 $\zeta$ で $\Omega$ を片側に含む超平面がとれ、その反対側で $\zeta$ に接する閉球が外部球条件を与える。

解 $u$ があったとする。実部をとって $u$ は実数値としてよい。$n\ge3$ なら $\Phi(x):=|x|^{2-n}-1$、$n=2$ なら $\Phi(x):=\log(1/|x|)$ とおく。$\Phi$ は $\Omega$ 上で調和、正で、$S$ 上で $0$、$x\to0$ で $+\infty$ に発散する。$\varepsilon>0$ について $u-\varepsilon\Phi$ は $\Omega$ 上で調和で、$S$ の点に近づくと $u-\varepsilon\Phi\to0$、原点に近づくと $u$ は有界なので $u-\varepsilon\Phi\to-\infty$ である。調和関数 の記事の「弱最大値原理」により $\Omega$ 上で $u\le\varepsilon\Phi$ であり、$\varepsilon\to0$ として $u\le0$ を得る。すると $u$ の原点での連続性から $u(0)\le0$ となり、$u(0)=f(0)=1$ に反する。$\square$