非特異多様体

$\nabla$ は $k$ 線型なので $\Theta_P$ は部分空間である。$g\in I(Y)$ を $g=\sum_ih_if_i$（$h_i\in k[x_1,\dots,x_n]$）と書くと、積の微分により
$$ \nabla g(P)=\sum_i\bigl(h_i(P)\nabla f_i(P)+f_i(P)\nabla h_i(P)\bigr)=\sum_ih_i(P)\nabla f_i(P) $$
である。$P\in Y$ から $f_i(P)=0$ だからである。よって $\Theta_P$ は $J(P)$ の行 $\nabla f_i(P)$ の線型包に含まれる。逆の包含は $f_i\in I(Y)$ から明らかである。$\square$

$B:=k[x_1,\dots,x_n]$、$\mathfrak n:=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ とおく。$\mathcal O_{Y,P}\cong(B/I(Y))_{\mathfrak n/I(Y)}$ だから、Jacobi判定法の定理「有理点の余接空間」を $I=I(Y)$ に当てはめると $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=n-\operatorname{rank}J(P)$ を得る。その証明の要点は、$\mathfrak n/\mathfrak n^2$ が $x_j-a_j$ の類を基底とする $n$ 次元空間であり、$g\in\mathfrak n$ の類が一次の係数 $\nabla g(P)$ で表されること、したがって $\mathfrak m/\mathfrak m^2\cong\mathfrak n/(\mathfrak n^2+I(Y))$ の次元は $n$ から prop-nsv-generators の $\dim\Theta_P$ を引いたものになることである。
次に、$A(Y)$ は $k$ 上有限生成の整域であり、$\mathfrak m_P$ はその極大イデアルである。次元公式の命題「有限型体整域の極大イデアルの高さ」により $\operatorname{ht}\mathfrak m_P=\dim A(Y)$ である。局所化の素イデアルは $\mathfrak m_P$ に含まれる素イデアルと対応するので $\dim A(Y)_{\mathfrak m_P}=\operatorname{ht}\mathfrak m_P$ である。また $A(Y)$ の素イデアルは $Y$ の既約閉集合と包含を逆にして対応するので（Hilbertの零点定理）、$\dim A(Y)=\dim Y$ である。以上から $\dim\mathcal O_{Y,P}=\dim Y$ である。
正則局所環の定義は $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim\mathcal O_{Y,P}$ であり、これは二つの等式により $n-\operatorname{rank}J(P)=\dim Y$、すなわち $P$ が非特異であることと同値である。最後に、Noether 局所環では常に $\dim\mathcal O_{Y,P}\le\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2$ が成り立つので（正則局所環の定義の直後の段落）、$\dim Y\le n-\operatorname{rank}J(P)$ である。$\square$

計算は体 $E\supset K$ の中で行い、$a\in R$、$s\in R\setminus\{0\}$ とする。延長 $D\colon K\to E$ があれば $D(a)=D(s\cdot a/s)=sD(a/s)+(a/s)\delta(s)$ から $D(a/s)=(s\delta(a)-a\delta(s))/s^2$ と決まるので、一意である。この式で $K\to E$ が定義できることを示す。$a/s=b/u$ とし $q:=a/s$ とおく。$au=bs$ に $\delta$ を施すと $u\delta(a)+a\delta(u)=s\delta(b)+b\delta(s)$ であり、$a=qs$、$b=qu$ を代入すると $u\delta(a)-qu\delta(s)=s\delta(b)-qs\delta(u)$ となる。両辺を $su$ で割れば $(\delta(a)-q\delta(s))/s=(\delta(b)-q\delta(u))/u$、すなわち定義は代表によらない。Leibniz 則は
$$ \frac{su\,\delta(ab)-ab\,\delta(su)}{s^2u^2}=\frac as\cdot\frac{u\delta(b)-b\delta(u)}{u^2}+\frac bu\cdot\frac{s\delta(a)-a\delta(s)}{s^2} $$
を $\delta(ab)=a\delta(b)+b\delta(a)$、$\delta(su)=s\delta(u)+u\delta(s)$ で展開して確かめられ、加法性も共通分母をとって同様に確かめられる。$\square$

$L$ の上：$D\in\operatorname{Der}_k(L,K)$（$L$ から $K$ への $k$ 上の導分）は値 $D(t_1),\dots,D(t_r)$ で決まる。多項式環 $k[t_1,\dots,t_r]$ 上では Leibniz 則から $D(g)=\sum_i(\partial g/\partial t_i)D(t_i)$ となり、$L$ 上では lem-nsv-fraction（$R=k[t_1,\dots,t_r]$、商体 $L$、$E=K$ とする）の一意性による。逆に $w\in K^r$ を任意にとると、$\delta(g):=\sum_i(\partial g/\partial t_i)w_i$ は $k[t_1,\dots,t_r]$ から $K$ への導分であり（偏微分の積の法則）、lem-nsv-fraction（同じく $E=K$）で $L$ から $K$ への導分に延びる。よって $D\mapsto(D(t_i))_i$ は $K$ 線型同型 $\operatorname{Der}_k(L,K)\cong K^r$ である。
$K$ への延長：$K/L$ は有限次分離拡大なので、原始元 $a$ により $K=L(a)=L[a]$ と書ける（原始元定理）。$a$ の $L$ 上の最小多項式を $g=\sum_ic_ix^i$ とすると、分離性から $g'(a)\neq0$ である。$D_0\in\operatorname{Der}_k(L,K)$ に対し $h=\sum_ib_ix^i\in L[x]$ の係数を微分した多項式を $h^{D_0}:=\sum_iD_0(b_i)x^i$ とおく。$D\in\operatorname{Der}_k(K,K)$ が $D_0$ の延長なら、$0=D(g(a))=g^{D_0}(a)+g'(a)D(a)$ だから $D(a)=-g^{D_0}(a)/g'(a)$ と決まり、$K=L[a]$ なので $D$ 自身も決まる。逆に $w:=-g^{D_0}(a)/g'(a)$ とおき、$\delta(h):=h^{D_0}(a)+h'(a)w$ と定めると、$(hh_1)^{D_0}=h^{D_0}h_1+hh_1^{D_0}$ と $(hh_1)'=h'h_1+hh_1'$ から $\delta$ は $x\mapsto a$ に関する Leibniz 則 $\delta(hh_1)=h(a)\delta(h_1)+h_1(a)\delta(h)$ を満たす。$\delta(g)=0$ かつ $g(a)=0$ だから $\delta(gq)=0$（$q\in L[x]$）となり、$\delta$ は $L[x]/(g)\cong K$ 上の導分を定める。したがって制限 $\operatorname{Der}_k(K,K)\to\operatorname{Der}_k(L,K)$ は $K$ 線型な全単射であり、$\dim_K\operatorname{Der}_k(K,K)=r$ である。$\square$

$D\in\operatorname{Der}_k(K,K)$ に $v(D):=(D(\bar x_1),\dots,D(\bar x_n))\in K^n$ を対応させる。多項式 $g$ について Leibniz 則から $D(g(\bar x))=\sum_j(\partial g/\partial x_j)(\bar x)D(\bar x_j)$ であり、$g=f_i$ とすると左辺は $D(0)=0$ なので $J_Kv(D)=0$ である。$A$ は $\bar x_j$ で生成されるので lem-nsv-fraction の一意性により $v$ は単射である。
逆に $J_Kv=0$ となる $v\in K^n$ をとり、$\delta(g):=\sum_j(\partial g/\partial x_j)(\bar x)v_j$ とおくと、$\delta$ は $k[x_1,\dots,x_n]$ から $K$ への $k$ 線型写像で $\delta(gh)=g(\bar x)\delta(h)+h(\bar x)\delta(g)$ を満たす。$g=\sum_ih_if_i\in I(Y)$ なら $f_i(\bar x)=0$ と $\delta(f_i)=0$ から $\delta(g)=0$ なので、$\delta$ は $A$ から $K$ への導分を定め、lem-nsv-fraction により $K$ 上の導分 $D$ に延びて $v(D)=v$ となる。よって $\operatorname{Der}_k(K,K)\cong\ker(J_K\colon K^n\to K^t)$ であり、lem-nsv-derivation-dim と直前の注意から $n-\operatorname{rank}_KJ_K=\dim Y$ である。$\square$

アフィンの場合：$Y\subset\mathbb A^n$、$r=\dim Y$ とする。thm-nsv-zariski により常に $\operatorname{rank}J(P)\le n-r$ なので、$P$ が特異であることは $\operatorname{rank}J(P)< n-r$、すなわち $(\partial f_i/\partial x_j)$ の $(n-r)$ 次小行列式がすべて $P$ で $0$ になることと同値である。よって $\operatorname{Sing}Y$ は $Y$ とそれらの小行列式の零点集合との共通部分であり、閉集合である（$n-r=0$ のときは $0$ 次小行列式を $1$ と約束し、$\operatorname{Sing}Y=\emptyset$）。
次に $n-r\ge1$ とする。lem-nsv-generic-rank により $J_K$ は $K$ 上階数 $n-r$ なので、ある $(n-r)$ 次小行列式 $\Delta\in k[x_1,\dots,x_n]$ について $\Delta(\bar x)\neq0$、すなわち $\Delta\notin I(Y)$ である。$I(Y)$ は $Y$ 上で消える多項式の全体だから、$\Delta(P)\neq0$ となる $P\in Y$ がある。この $P$ では $\operatorname{rank}J(P)\ge n-r$ であり、上の不等式と合わせて $P$ は非特異である。よって $\operatorname{Sing}Y\neq Y$ である。
一般の場合：各点はアフィン多様体と同型な開近傍 $V$ をもち（準射影多様体の定理「アフィン開集合の基」）、局所環は開近傍で決まり同型で保たれるので $\operatorname{Sing}Y\cap V=\operatorname{Sing}V$ は $V$ の閉集合である。閉集合であることは開被覆の各集合で確かめればよいので、$\operatorname{Sing}Y$ は閉である。空でない $V$ を 1 つとれば $\operatorname{Sing}V\neq V$ なので $\operatorname{Sing}Y\neq Y$ である。最後に、既約な空間の空でない開集合は稠密である。$\square$

$\operatorname{Sing}Y$ は真の閉集合である。Noether 空間の閉集合は有限個の既約閉集合の和であり、その各成分 $Z$ は $Y$ の真の既約閉集合だから、$Z\subsetneq Y$ という列の長さを考えて $\dim Z<1$ である。点は閉集合なので、2 点以上を含む既約閉集合は 1 点を真の既約閉部分集合にもち、次元が $1$ 以上になる。よって $Z$ は 1 点である。$\square$