剰余群

同義語：商群quotient groupfactor group

概要

定義

以下、群 $G$ の演算を積 $xy$ で書き、単位元を $e$ と書く。$N$ を $G$ の正規部分群、すなわちすべての $g\in G$ について $gNg^{-1}\subset N$ を満たす部分群とする（$N\trianglelefteq G$ と書く）。$x\in G$ の $N$ による左剰余類 $xN=\{xn\mid n\in N\}$ の全体を $G/N$ と書く（剰余類）。$xN=yN$ であることと $x^{-1}y\in N$ であることは同値であり、$G$ は互いに交わらない左剰余類の和集合である（剰余類の記事の命題「剰余類による分割」）。

剰余群

$N$ を群 $G$ の正規部分群とする。$G/N$ に積を
$$ (xN)(yN):=xyN\qquad(x,y\in G) $$
で定めると、これは代表元 $x,y$ の選び方によらずに定まり、$G/N$ は群になる（prop-quotient-group-construction）。この群を $G$ の $N$ による剰余群または商群（quotient group、factor group）という。写像
$$ \pi\colon G\to G/N,\qquad x\mapsto xN $$
を標準射影（自然な射影）という。

演算を和で書くアーベル群 $A$ では、剰余群は $A/N=\{a+N\mid a\in A\}$ で、和は $(a+N)+(b+N):=(a+b)+N$、単位元は $0+N=N$、$a+N$ の逆元は $-a+N$ である。

剰余群の構成

$N$ を群 $G$ の正規部分群とする。

$xN=x'N$、$yN=y'N$ ならば $xyN=x'y'N$ である。すなわち def-quotient-group の積は代表元によらない。
この積について $G/N$ は群であり、単位元は $eN=N$、$xN$ の逆元は $x^{-1}N$ である。
標準射影 $\pi\colon G\to G/N$ は全射な群準同型であり、$\ker\pi=N$ である。
部分集合としての積 $\{ab\mid a\in xN,\ b\in yN\}$ は $xyN$ に等しい。
$G/N$ の位数は指数 $[G:N]$ に等しい。特に $G$ が有限なら $|G/N|=|G|/|N|$ である。

1：$xN=x'N$、$yN=y'N$ なら、$x'=xn_1$、$y'=yn_2$（$n_1,n_2\in N$）と書ける。
$$ x'y'=xn_1yn_2=xy\,(y^{-1}n_1y)\,n_2 $$
であり、$N$ は正規なので $y^{-1}n_1y\in N$、よって $(y^{-1}n_1y)n_2\in N$ である。したがって $x'y'\in xyN$ であり、$x'y'N=xyN$ である。
2：結合律は $G$ の結合律から従う：$\bigl((xN)(yN)\bigr)(zN)=(xy)zN=x(yz)N=(xN)\bigl((yN)(zN)\bigr)$。$(eN)(xN)=xN=(xN)(eN)$ なので $eN=N$ は単位元であり、$(x^{-1}N)(xN)=eN=(xN)(x^{-1}N)$ なので $x^{-1}N$ は $xN$ の逆元である。
3：$\pi(xy)=xyN=(xN)(yN)=\pi(x)\pi(y)$ なので $\pi$ は群準同型であり、すべての $xN$ は $\pi(x)$ なので全射である。$\pi(x)=N$ は $xN=eN$、すなわち $x=e^{-1}x\in N$ と同値なので、$\ker\pi=N$ である。
4：$a=xn_1$、$b=yn_2$ なら 1 の計算により $ab\in xyN$ である。逆に $xyn\in xyN$ は $x\in xN$ と $yn\in yN$ の積である。
5：$G/N$ は左剰余類の集合そのものなので、その基数は定義により $[G:N]$ である。$G$ が有限なら、剰余類の記事の定理「有限群における位数と指数」により $|G|=[G:N]\,|N|$ である。$\square$

1 の計算で $N$ の正規性を使ったのは $y^{-1}n_1y\in N$ の一箇所だけである。この仮定を外すと積は定まらない（ex-quotient-group-not-normal）。実際、左剰余類の集合 $G/H$ 上で $(xH)(yH):=xyH$ が代表元によらずに定まることは、$H$ が正規であることと同値である（正規部分群の記事の定理「正規性の同値条件」）。3 により、正規部分群はすべて群準同型の核として現れる。

直感

剰余群 $G/N$ は、$G$ の中で「$N$ の元の違いを無視する」ことで得られる群である。$N$ の元をすべて単位元とみなすと、$x$ と $xn$（$n\in N$）は区別できなくなり、その区別できなくなった元の集まりが剰余類 $xN$ である。剰余類どうしの掛け算は代表元を掛けてから剰余類をとればよく、どの代表元を選んでも結果が同じになることを保証するのが正規性である。整数を $n$ で割った余りだけに注目する合同算術は、$\mathbb{Z}$ の中で $n$ の倍数の違いを無視した剰余群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の計算にほかならない。$G/N$ は $G$ より小さく単純な群であることが多く、$G$ の性質を $N$ と $G/N$ の性質に分けて調べることが群論の基本的な方法になる。ただし、$N$ と $G/N$ だけから $G$ が決まるわけではない（ex-quotient-group-extension）。

例と反例

整数の剰余群

$n\ge1$ とする。整数の加法群 $\mathbb{Z}$ はアーベル群なので部分群 $n\mathbb{Z}$ は正規であり、剰余群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{0+n\mathbb{Z},1+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ は位数（群の位数）$n$ の群である（元の個数は剰余類の記事の命題「法 n の剰余類の個数」）。和は $n$ を法とする合同算術
$$ (a+n\mathbb{Z})+(b+n\mathbb{Z})=(a+b)+n\mathbb{Z} $$
であり、$a+n\mathbb{Z}=a\cdot(1+n\mathbb{Z})$ なので $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $1+n\mathbb{Z}$ で生成される巡回群である。$\mathbb{Z}$ の部分群は $n\mathbb{Z}$（$n\ge0$）の形のものに限る（部分群の記事の例「整数の加法群の部分群」）ので、$\mathbb{Z}$ の剰余群は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$n\ge1$）と $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}$ に尽きる。

実数の整数による剰余群

実数の加法群 $\mathbb{R}$ の部分群 $\mathbb{Z}$ による剰余群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の元 $t+\mathbb{Z}$ は、区間 $[0,1)$ の代表元（$t$ の小数部分）をちょうど 1 つもつ。和は「$1$ を法とする小数部分の足し算」であり、たとえば $(0.7+\mathbb{Z})+(0.6+\mathbb{Z})=0.3+\mathbb{Z}$ である。$t\mapsto e^{2\pi it}$ は $\mathbb{R}$ から絶対値 $1$ の複素数のなす乗法群 $S^1$（円周群）への全射準同型で核が $\mathbb{Z}$ なので、準同型定理により $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$ である（群準同型の記事の例「指数関数による準同型」）。区間 $[0,1]$ の両端を貼り合わせると円周になることと対応している。
$t+\mathbb{Z}$ が有限位数をもつのは $t$ が有理数のときに限る。実際、$m\ge1$ について $m(t+\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ は $mt\in\mathbb{Z}$ と同値である。したがって $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の有限位数の元の全体は $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ であり、これは $S^1$ の $1$ の冪根全体に対応する（$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ についてはアーベル群の記事の例「反例：有理数の剰余群」も参照）。

行列式と符号による剰余群

体 $k$ 上の一般線形群 $\mathrm{GL}_n(k)$ の特殊線形群 $\mathrm{SL}_n(k)$ は行列式 $\det\colon\mathrm{GL}_n(k)\to k^\times$ の核であり、$\det$ は全射なので $\mathrm{GL}_n(k)/\mathrm{SL}_n(k)\cong k^\times$ である。同様に $n\ge2$ なら、対称群 $S_n$ の交代群 $A_n$ は符号（置換の符号）$S_n\to\{\pm1\}$ の核であり、$S_n/A_n\cong\{\pm1\}$ は位数 $2$ の群である（いずれも群準同型の記事の例「第1同型定理による同型の例」）。$S_n/A_n$ の 2 つの元は、偶置換全体 $A_n$ と奇置換全体 $(1\,2)A_n$ である。

アーベル化

$G$ の交換子部分群 $[G,G]$（交換子 $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ の全体が生成する部分群）は $G$ の正規部分群であり（正規部分群の記事の例「交換子のなす部分群」）、剰余群 $G^{\mathrm{ab}}:=G/[G,G]$ はアーベル群である。さらに、$N\trianglelefteq G$ について $G/N$ がアーベル群であることと $[G,G]\subset N$ であることは同値である（可解群の記事の補題「交換子部分群とアーベル商」）。実際、$N$ は正規なので左剰余類と右剰余類が一致し、$(xN)(yN)=(yN)(xN)$、すなわち $xyN=yxN$ は $Nxy=Nyx$、すなわち $xy(yx)^{-1}=xyx^{-1}y^{-1}\in N$ と同値である。$G^{\mathrm{ab}}$ を $G$ のアーベル化という。

$G$ がアーベル群なら $[G,G]=\{e\}$ で、$G^{\mathrm{ab}}=G$ である。
$G=S_3$ では $[S_3,S_3]=A_3$ であり、$S_3^{\mathrm{ab}}=S_3/A_3$ は位数 $2$ の巡回群である。実際、互換は自分自身の逆元なので $[(1\,2),(1\,3)]=\bigl((1\,2)(1\,3)\bigr)^2=(1\,3\,2)^2=(1\,2\,3)$ であり、部分群 $[S_3,S_3]$ は $(1\,2\,3)$ が生成する $A_3$ を含む。逆に $S_3/A_3$ は位数 $2$ でアーベル群なので $[S_3,S_3]\subset A_3$ である。

反例：正規でない部分群では積が定まらない

$S_3$ の部分群 $H=\{e,(1\,2)\}$ は正規でない（置換の積 $\sigma\tau$ は $\tau$ を先に施す）。$(1\,2\,3)(1\,2)=(1\,3)$ なので $(1\,3)H=(1\,2\,3)H$ である。この左剰余類に右から $(1\,3)H$ を掛けることを考えると、代表元 $(1\,3)$ を使えば
$$ (1\,3)(1\,3)H=eH=H, $$
代表元 $(1\,2\,3)$ を使えば $(1\,2\,3)(1\,3)=(2\,3)$ なので
$$ (1\,2\,3)(1\,3)H=(2\,3)H=\{(2\,3),(1\,3\,2)\} $$
となり、$H\neq(2\,3)H$ である。したがって $(xH)(yH):=xyH$ は代表元のとり方によって値が変わり、$S_3/H$ 上の積として定まらない。この例は「部分群である」を満たすが「正規」を満たさず、含意「任意の部分群 $H$ について、$G/H$ 上の積 $(xH)(yH)=xyH$ が定まる」を破る。

反例：正規部分群と剰余群だけでは群は決まらない

巡回群 $G_1=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ とその部分群 $N_1=\{0,2\}$（ここでは $a+4\mathbb{Z}$ を $a$ と略記する）、および Klein四元群と同型な直積 $G_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とその部分群 $N_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\{0\}$ を考える。$N_1\cong N_2\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、$G_1/N_1$ も $G_2/N_2$ も位数 $2$ の群、したがって $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型である。しかし $G_1$ は位数 $4$ の元 $1$ をもち、$G_2$ の元はすべて位数 $2$ 以下なので、$G_1\not\cong G_2$ である（同型は元の位数を保つ）。
$S_3$ と $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は、ともに位数 $3$ の正規部分群（$A_3$ と $\{0,2,4\}$）をもち、その剰余群はともに位数 $2$ である。正規部分群も剰余群もアーベル群だが、$S_3$ は可換でない。
1 は「$N_1\cong N_2$ かつ $G_1/N_1\cong G_2/N_2$」を満たすが「$G_1\cong G_2$」を満たさず、含意「正規部分群と剰余群が同型なら群も同型」を破る。2 は「$N$ と $G/N$ がアーベル群」を満たすが「$G$ がアーベル群」を満たさず、含意「$N$ と $G/N$ が可換なら $G$ も可換」を破る。$N$ と $G/N$ から $G$ を組み立てる方法を調べるのが群の拡大の理論である。

性質

普遍性

剰余群の普遍性

$N$ を群 $G$ の正規部分群、$\pi\colon G\to G/N$ を標準射影とする。群準同型 $f\colon G\to H$ が $N\subset\ker f$ を満たすならば、$\bar f\circ\pi=f$ となる群準同型 $\bar f\colon G/N\to H$ がただ一つ存在し、$\bar f(xN)=f(x)$ で与えられる。$\bar f$ の像は $f$ の像に等しく、$\ker\bar f=\{xN\mid x\in\ker f\}$ である。特に $\bar f$ が単射であることと $\ker f=N$ であることは同値である。

普遍性の証明の所在

存在と一意性は群準同型の記事の定理「群の第1同型定理」の 1 で証明されている（一意性は $\pi$ が全射であることから、存在は $xN=yN\Rightarrow f(x)=f(y)$ を $N\subset\ker f$ から導くことによる）。$\bar f(xN)=f(x)$ から像の等式と核の記述が従い、$\ker\bar f$ が単位元 $N$ だけからなることは $\ker f\subset N$、すなわち $\ker f=N$ と同値である。$N=\ker f$ の場合が準同型定理（第 1 同型定理）$G/\ker f\cong\operatorname{im}f$ であり、同じ定理の 2 にある。

普遍性は「$N$ の元を単位元に送る準同型は、すべて $G/N$ を経由する」ことを述べる。これにより、剰余群 $G/N$ は元の具体的な形（剰余類）によらず、次のように同型を除いて特徴づけられる（Lan02 Chapter I §3、DF04 §3.1）。

普遍性による剰余群の一意性

$N$ を群 $G$ の正規部分群とする。群 $Q$ と群準同型 $q\colon G\to Q$ が次の 2 条件を満たすとする。

$N\subset\ker q$。
$N\subset\ker f$ を満たす任意の群準同型 $f\colon G\to H$ に対し、$\tilde f\circ q=f$ となる群準同型 $\tilde f\colon Q\to H$ がただ一つ存在する。
このとき、$\varphi\circ\pi=q$ を満たす群同型 $\varphi\colon G/N\to Q$ がただ一つ存在する。

条件 1 と thm-quotient-group-universal により、$\varphi\circ\pi=q$ となる群準同型 $\varphi\colon G/N\to Q$ がただ一つある。$\ker\pi=N$（prop-quotient-group-construction の 3）なので、条件 2 を $f=\pi$ に適用すると、$\psi\circ q=\pi$ となる群準同型 $\psi\colon Q\to G/N$ がある。
このとき $(\psi\circ\varphi)\circ\pi=\psi\circ q=\pi$ である。一方、恒等写像も $\mathrm{id}_{G/N}\circ\pi=\pi$ を満たす。thm-quotient-group-universal の一意性を $f=\pi$ に適用すると、$\chi\circ\pi=\pi$ を満たす準同型 $\chi\colon G/N\to G/N$ はただ一つなので、$\psi\circ\varphi=\mathrm{id}_{G/N}$ である。同様に $(\varphi\circ\psi)\circ q=\varphi\circ\pi=q$ であり、恒等写像も $\mathrm{id}_Q\circ q=q$ を満たすので、条件 2 の一意性（$f=q$ の場合。条件 1 により適用できる）から $\varphi\circ\psi=\mathrm{id}_Q$ である。よって $\varphi$ は逆写像 $\psi$ をもつ群準同型、すなわち群同型である。一意性は $\varphi\circ\pi=q$ を満たす準同型の一意性から従う。$\square$

普遍性から、アーベル化の特徴づけも得られる。

アーベル群への準同型とアーベル化

$G$ を群、$\pi\colon G\to G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$ を標準射影とする。アーベル群 $A$ への任意の群準同型 $f\colon G\to A$ に対し、$\bar f\circ\pi=f$ となる群準同型 $\bar f\colon G^{\mathrm{ab}}\to A$ がただ一つ存在する。したがって、$G$ からアーベル群 $A$ への準同型の全体は、$G^{\mathrm{ab}}$ から $A$ への準同型の全体と $f\mapsto\bar f$ によって一対一に対応する。

$x,y\in G$ について、$A$ が可換なので
$$ f([x,y])=f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1}=e_A $$
であり、交換子はすべて $\ker f$ に属する。$\ker f$ は部分群なので、交換子の生成する部分群 $[G,G]$ も $\ker f$ に含まれる。thm-quotient-group-universal を $N=[G,G]$ に適用すると、$\bar f$ がただ一つ存在する。対応が一対一であること：$\bar f$ から $f=\bar f\circ\pi$ が復元されるので単射であり、任意の準同型 $g\colon G^{\mathrm{ab}}\to A$ は $f=g\circ\pi$ の $\bar f$ に等しい（一意性）ので全射である。$\square$

たとえば $G=S_n$（$n\ge2$）では $[S_n,S_n]=A_n$、したがって $S_n^{\mathrm{ab}}=S_n/A_n\cong\{\pm1\}$ である。実際、$S_n/A_n$ は位数 $2$ でアーベル群なので $[S_n,S_n]\subset A_n$ である。逆に、互換はすべて互いに共役であり（$\sigma(1\,2)\sigma^{-1}=(\sigma(1)\,\sigma(2))$）、アーベル群への準同型は共役な元に同じ値をとるので、標準射影 $\pi\colon S_n\to S_n^{\mathrm{ab}}$ はすべての互換を同じ元 $t$ に送る。$S_n$ の元は互換の積として書け（対称群の記事の定理「互換による生成」）、偶置換は偶数個の互換の積なので、$t^2=\pi((1\,2)^2)=e$ から $\pi(A_n)=\{e\}$、すなわち $A_n\subset[S_n,S_n]$ である。よって $S_n$ からアーベル群への準同型は、すべて符号を経由する。$n=3$ の場合は ex-quotient-group-abelianization で直接確かめた。

中心による剰余群

中心による剰余群が巡回群なら可換

$Z(G)$ を群 $G$ の中心（群の中心）とする。$G/Z(G)$ が巡回群ならば、$G$ はアーベル群であり、$Z(G)=G$ である。

$Z:=Z(G)$ は正規部分群である（正規部分群の記事の例「中心とその部分群」）。$G/Z$ が $gZ$ で生成されるとすると、任意の $x\in G$ について $xZ=(gZ)^i=g^iZ$ となる整数 $i$ があり、$x=g^iz$（$z\in Z$）と書ける。$x=g^iz$、$y=g^jw$（$z,w\in Z$）とすると、$z,w$ はすべての元と可換であり、$g^i$ と $g^j$ も可換なので
$$ xy=g^izg^jw=g^ig^jzw=g^jg^iwz=g^jwg^iz=yx $$
である。よって $G$ はアーベル群であり、$Z(G)=G$ である。$\square$

位数が素数の平方の群

$p$ を素数とすると、位数 $p^2$ の群はアーベル群である。

$|G|=p^2$ とする。有限 p群の中心は単位元だけからならない（群の中心の記事の定理「有限 $p$-群の中心は自明でない」）。Lagrangeの定理により $|Z(G)|$ は $p$ か $p^2$ である。$|Z(G)|=p$ なら $|G/Z(G)|=p$（prop-quotient-group-construction の 5）であり、素数位数の群は巡回群なので（Lagrangeの定理の記事の系「素数位数の群」）、prop-quotient-group-center-cyclic により $Z(G)=G$ となって $|Z(G)|=p$ に矛盾する。よって $|Z(G)|=p^2$、すなわち $Z(G)=G$ であり、$G$ はアーベル群である。$\square$

位数 $p^3$ では非可換な群がある。四元数群 $Q_8$ や正方形の二面体群（位数 $8=2^3$）がその例であり、これらの中心は位数 $2$（$Q_8$ では $\{\pm1\}$、二面体群では $180$ 度回転と恒等変換）であり、中心による剰余群は位数 $4$ で巡回群でない（中心の外の元の $2$ 乗は中心に属するので、剰余群の元の位数は $2$ 以下である）。

剰余群に伝わる性質と対応定理

剰余群に遺伝する性質

標準射影 $\pi$ は全射準同型なので、$G$ の性質のうち全射準同型の像に伝わるものは剰余群に伝わる。$G$ がアーベル群なら $G/N$ もアーベル群であり（アーベル群の記事の命題「アーベル群の部分群と商」）、$G$ が $g$ で生成される巡回群なら $G/N$ は $gN$ で生成される巡回群である。$x\in G$ の位数が有限な $m$ なら、$xN$ の位数は $m$ を割り切る（群準同型の記事の命題「単位元と逆元の保存」の 4）。$G$ が有限生成群なら $G/N$ も有限生成である（生成元の像が生成する）。一方、逆向きには伝わらない（ex-quotient-group-extension）。

対応定理と第3同型定理

$N\trianglelefteq G$ とする。$N$ を含む $G$ の部分群 $M$ と $G/N$ の部分群は $M\mapsto M/N=\pi(M)$ により一対一に対応し、この対応は包含関係を保ち、$M\trianglelefteq G$ と $M/N\trianglelefteq G/N$ が対応する。$N\subset M$ がともに正規なら $(G/N)/(M/N)\cong G/M$ である（第 3 同型定理）。これらの言明は群準同型の記事の注意「第2・第3同型定理と対応定理」にあり、証明は DF04 §3.3 に譲る。たとえば $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の部分群は、$n\mathbb{Z}\subset d\mathbb{Z}$、すなわち $d\mid n$ を満たす $d\ge1$ について $d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ に限り、$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})/(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ である。

他の代数系の商

同じ構成は他の代数系にもある。環 $R$ の両側イデアル $I$ による剰余環 $R/I$ は、加法群の剰余群 $R/I$ に積 $(a+I)(b+I)=ab+I$ を入れたものである。環上の加群 $M$ の部分加群による剰余加群、ベクトル空間の線形部分空間による商ベクトル空間も、加法群の剰余群にスカラー倍を入れたものである。いずれの場合も、核としてちょうど現れる部分構造（イデアル、部分加群、線形部分空間）で割り、thm-quotient-group-universal と同じ形の普遍性と準同型定理が成り立つ。