Atiyah–Bottの不動点定理
概要
Atiyah–Bottの不動点定理（Atiyah–Bott fixed point theorem）とは、コンパクト多様体上の楕円型複体と、不動点がすべて単純な写像 $f$ から定まる幾何的な自己準同型 $T$ について、コホモロジーへの作用のトレースの交代和 $L(T)$ が、各不動点 $P$ での量 $\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\varphi_{i,P}/\lvert\det(1-df_P)\rvert$ の和に等しいという定理である。de Rham 複体では古典的な Lefschetz の不動点公式、Dolbeault 複体では正則写像の公式 $\sum_P\operatorname{tr}\varphi_P/\det_{\mathbb C}(1-df_P)$ になる。正則写像の場合は志村五郎の予想に由来し、等質空間では Weyl の指標公式を与える。
前提知識: 楕円型複体, Lefschetz不動点公式, Dolbeaultコホモロジー, 外積代数
Atiyah–Bottの不動点定理（Atiyah–Bott fixed point theorem）は、コンパクト多様体の上の楕円型複体と、それと可換な「幾何的な」自己準同型 $T$ について、コホモロジーへの作用のトレースの交代和 $L(T)$（Lefschetz 数）を、$T$ を定める写像 $f$ の不動点ごとの局所的な寄与の和として表す定理である。不動点 $P$ での寄与は
$$
\nu(P)=\frac{\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\varphi_{i,P}}{\lvert\det(1-df_P)\rvert}
$$
という、$P$ での線形代数だけで決まる量で、複体の微分作用素は表に出てこない。de Rham 複体に当てはめると古典的な Lefschetz不動点公式 が、Dolbeault 複体に当てはめると正則写像の Lefschetz 公式 $L(f,\mathcal O)=\sum_P1/\det_{\mathbb C}(1-df_P)$ が得られる。
正則写像の場合は、Woods Hole の研究集会で志村五郎（Goro Shimura, 1930–2019）が予想したもので、これが Atiyah と Bott の研究のきっかけになった（AB68 p. 458）。一般の楕円型複体での定理は、短い告知のあと、証明が AB67、応用が AB68 に発表された（AB67 序文、p. 374）。
この記事では、定理を述べ、de Rham 複体と Dolbeault 複体への特殊化を線形代数から証明する。次に、証明の中心にある不動点での局所計算を平坦な模型で証明し、熱方程式による証明の筋を示す。一般の定理の解析的な部分（parametrix や熱核の漸近展開）は証明しない。
設定と定理
$X$ を境界のないコンパクトな $C^\infty$ 級多様体、$E_0,\dots,E_N$ を $X$ 上の複素ベクトル束、$\Gamma(E_i)$ をその滑らかな切断の空間とし、微分作用素の列
$$
0\to\Gamma(E_0)\xrightarrow{d_0}\Gamma(E_1)\xrightarrow{d_1}\cdots\xrightarrow{d_{N-1}}\Gamma(E_N)\to0,\qquad d_{i+1}d_i=0
$$
が楕円型複体（主表象の列が $0$ でない余接ベクトルの上で完全）であるとする。各 $d_i$ の階数は異なってもよい（AB67 §1、p. 375）。このときコホモロジー $H^i(\Gamma(E))=\ker d_i/\operatorname{im}d_{i-1}$ は有限次元である（AB67 p. 376。各作用素の階数が等しい場合の証明は 楕円型複体 の定理「楕円型複体の Hodge 分解」）。
滑らかな写像 $f\colon X\to X$ と、ベクトル束の準同型 $\varphi_i\colon f^*E_i\to E_i$（すなわち各点 $x$ ごとの線形写像 $\varphi_{i,x}\colon(E_i)_{f(x)}\to(E_i)_x$ で $x$ について滑らかなもの）が与えられたとき、
$$
(T_is)(x):=\varphi_{i,x}\bigl(s(f(x))\bigr)\qquad(s\in\Gamma(E_i))
$$
で $T_i\colon\Gamma(E_i)\to\Gamma(E_i)$ を定める。$d_iT_i=T_{i+1}d_i$ がすべての $i$ で成り立つとき、$T=(T_i)$ を楕円型複体の幾何的な自己準同型という。$T$ はコホモロジーの自己準同型 $H^iT$ を誘導し、
$$
L(T):=\sum_{i=0}^N(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(H^iT\mid H^i(\Gamma(E))\bigr)
$$
を $T$ の Lefschetz 数という。
$f$ の不動点 $P$ は、$\det(1-df_P)\ne0$（$df_P\colon T_PX\to T_PX$ が固有値 $1$ をもたない）とき単純であるという。これは $X\times X$ の中で $f$ のグラフと対角線が $(P,P)$ で横断的に交わることと同値で、単純な不動点は孤立している。コンパクト性から、不動点がすべて単純なら不動点は有限個である（AB67 p. 377）。不動点 $P$ では $(E_i)_{f(P)}=(E_i)_P$ なので、$\varphi_{i,P}$ は $(E_i)_P$ の自己準同型であり、トレースが定まる。
楕円型複体 $\Gamma(E)$ の幾何的な自己準同型 $T$ が、不動点がすべて単純な写像 $f$ から定まっているとする。このとき
$$
L(T)=\sum_{f(P)=P}\nu(P),\qquad\nu(P):=\frac{\sum_{i}(-1)^i\operatorname{tr}\varphi_{i,P}}{\lvert\det(1-df_P)\rvert}.
$$
とくに $f$ が不動点をもたなければ $L(T)=0$ である。
定理の主張は AB67 Theorem A（pp. 377–378）である。$\nu(P)$ は一般には整数でない複素数で、de Rham 複体のように $\nu(P)=\pm1$ となる場合は特別である（AB67 p. 378 の注意 (3)）。$\varphi_i$ を微分作用素に広げた形もある（同 Theorem B と (5.4)）。不動点が孤立した等長写像の符号数作用素への特殊化は AB68 §6（Theorem 6.27）にあり、不動点集合が部分多様体になる場合は Atiyah–Singer の指数定理の方法で扱われる（同 pp. 473–474 の注意）。この記事ではこれらを証明しない。
線形代数の補題
特殊化の計算は次の 2 つの補題に帰着する。
$V$ を体 $\mathbb R$ または $\mathbb C$ 上の $m$ 次元ベクトル空間、$B\colon V\to V$ を線形写像とし、$\Lambda^qB\colon\Lambda^qV\to\Lambda^qV$ を誘導された写像とする。このとき
$$
\sum_{q=0}^m(-1)^q\operatorname{tr}\Lambda^qB=\det(1-B).
$$
複素化してもトレースと行列式は変わらないので、$V$ は複素ベクトル空間としてよい。$B$ を三角化する基底 $e_1,\dots,e_m$ をとり、$Be_j=\lambda_je_j+\sum_{i< j}b_{ij}e_i$ とする。$I=\{i_1<\dots< i_q\}$ に対し $e_I:=e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_q}$ とおくと、$\{e_I\}$ は $\Lambda^qV$ の基底である。
$$
(\Lambda^qB)e_I=Be_{i_1}\wedge\dots\wedge Be_{i_q}
$$
を展開すると、各因子は $\lambda_{i_k}e_{i_k}$ に $i_k$ より小さい番号の $e_i$ の 1 次結合を足したものなので、現れる $e_J$（$J\ne I$）は添字の和が $I$ の添字の和より真に小さい（添字が重なる項は $0$）。したがって添字の和の順に基底を並べると $\Lambda^qB$ の行列は三角で、対角成分は $\prod_{i\in I}\lambda_i$ である。よって $\operatorname{tr}\Lambda^qB$ は $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ の $q$ 次の基本対称式 $e_q(\lambda)$ に等しく、
$$
\sum_{q}(-1)^qe_q(\lambda)=\prod_{j=1}^m(1-\lambda_j)=\det(1-B).\qquad\square
$$
$W$ を $n$ 次元複素ベクトル空間、$A\colon W\to W$ を複素線形写像とし、$W$ を $2n$ 次元実ベクトル空間と見たときの $A$ を $A_{\mathbb R}$ とする。このとき $\det A_{\mathbb R}=\lvert\det_{\mathbb C}A\rvert^2$ である。
$J$ を $W$ の $i$ 倍とする。実ベクトル空間 $W$ の複素化 $W\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ は $J\otimes1$ の固有値 $\pm i$ の固有空間の直和 $W'\oplus W''$ で、$W'=\{v-iJv\}$、$W''=\{v+iJv\}$ である。$A$ は $J$ と可換なので $A_{\mathbb R}\otimes1$ は $W'$、$W''$ を保つ。$v\mapsto v-iJv$ は複素線形同型 $W\to W'$ で、これを通じて $A_{\mathbb R}\otimes1$ は $W'$ の上で $A$ に一致する。同様に $v\mapsto v+iJv$ は複素反線形な全単射 $W\to W''$ で、$W''$ の上の行列は $A$ の行列の複素共役になる。よって $\det A_{\mathbb R}=\det(A_{\mathbb R}\otimes1)=\det_{\mathbb C}A\cdot\overline{\det_{\mathbb C}A}$。$\square$
古典的な場合への特殊化
$X$ を向き付けられた閉多様体、$f\colon X\to X$ を不動点がすべて単純な滑らかな写像とする。このとき
$$
\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\bigl(f^*\mid H^i(X;\mathbb C)\bigr)=\sum_{f(P)=P}\operatorname{sgn}\det(1-df_P).
$$
$E_i=\Lambda^iT^*X\otimes\mathbb C$、$d_i$ を外微分とする de Rham 複体は楕円型複体である（楕円型複体 の例「de Rham 複体」）。$\varphi_{i,x}:=\Lambda^i(df_x)^{\mathsf T}\colon\Lambda^iT^*_{f(x)}X\to\Lambda^iT^*_xX$ とおくと、$T_i$ は微分形式の引き戻し $f^*$ で、$df^*=f^*d$ だから幾何的な自己準同型である。de Rham の定理により $H^iT$ は $f^*\colon H^i(X;\mathbb C)\to H^i(X;\mathbb C)$ に一致し、$L(T)$ は左辺である（AB67 p. 377 の例）。不動点 $P$ で lem-ab-alternating を $B=(df_P)^{\mathsf T}$ に使うと
$$
\sum_i(-1)^i\operatorname{tr}\varphi_{i,P}=\det\bigl(1-(df_P)^{\mathsf T}\bigr)=\det(1-df_P),
$$
なので $\nu(P)=\det(1-df_P)/\lvert\det(1-df_P)\rvert=\operatorname{sgn}\det(1-df_P)$ である。thm-ab-main から式が従う。$\square$
これは Lefschetz不動点公式 の定理「Lefschetz の不動点定理」の 2 と同じ式で、AB67 p. 378 の注意 (2) にある。
次に、$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体、$F$ を正則ベクトル束、$f\colon X\to X$ を正則写像、$\varphi\colon f^*F\to F$ を正則なベクトル束の準同型とする。$F$ に値をとる $(0,q)$ 形式 $\omega$ に対し、形式の部分を $f$ で引き戻し、値を $\varphi$ で $F_x$ に戻す写像を $T_q$ とする。$f$ が正則なので $f^*$ は $\bar\partial$ と可換であり、$\varphi$ が正則なので $T=(T_q)$ は $F$ 係数の Dolbeault 複体（楕円型複体。楕円型複体 の命題「Dolbeault 複体は楕円型複体」）の幾何的な自己準同型になる。$H^q(T)$ を $H^{0,q}(X;F)$ への作用とし、
$$
L(f,\varphi):=\sum_q(-1)^q\operatorname{tr}\bigl(H^q(T)\mid H^{0,q}(X;F)\bigr)
$$
とおく。$H^{0,q}(X;F)$ は Dolbeaultの定理 により層コホモロジー $H^q(X,\mathcal O(F))$ と同型である。
上の設定で、$f$ の不動点がすべて単純ならば
$$
L(f,\varphi)=\sum_{f(P)=P}\frac{\operatorname{tr}_{\mathbb C}\varphi_P}{\det_{\mathbb C}(1-df_P)}.
$$
ここで $df_P$ は正則接空間 $T^{1,0}_PX$ の上の複素線形写像（正則な Jacobi 行列）である。
不動点 $P$ のまわりの正則座標 $z_1,\dots,z_n$ で $f$ の正則な Jacobi 行列を $A=(\partial f_j/\partial z_k(P))$ とする。$f^*d\bar z_j=\sum_k\overline{a_{jk}}\,d\bar z_k$（$P$ で）なので、$T^{*0,1}_P$ の上で引き戻しは係数のベクトルに $B:=\overline{A}^{\mathsf T}$ で作用し、$q$ 次の部分には $\Lambda^qB$ で作用する。よって $\varphi_{q,P}=\varphi_P\otimes\Lambda^qB$ で、lem-ab-alternating から
$$
\sum_q(-1)^q\operatorname{tr}\varphi_{q,P}=\operatorname{tr}\varphi_P\cdot\det(1-B)=\operatorname{tr}\varphi_P\cdot\overline{\det(1-A)}.
$$
一方、正則写像の実微分 $df_P$ は $A$ が定める複素線形写像なので、lem-ab-real-det より $\lvert\det(1-df_P)\rvert=\lvert\det(1-A)\rvert^2=\det(1-A)\overline{\det(1-A)}$。単純性から $\det(1-A)\ne0$ で、
$$
\nu(P)=\frac{\operatorname{tr}\varphi_P\cdot\overline{\det(1-A)}}{\det(1-A)\,\overline{\det(1-A)}}=\frac{\operatorname{tr}\varphi_P}{\det(1-A)}.
$$
thm-ab-main から式が従う。$\square$
分母の実行列式のうち半分が分子で打ち消されることが、この公式の形を決めている（AB68 Theorem 4.12、pp. 458–459）。$F$ が自明な直線束で $\varphi$ が自然な持ち上げなら $L(f,\mathcal O)=\sum_P1/\det_{\mathbb C}(1-df_P)$ である。
証明の筋：熱核と不動点での局所計算
thm-ab-main の証明には、楕円型作用素の parametrix を使う AB67 の方法（§2 に筋、§3–§7 に細部）と、熱方程式を使う方法がある。後者の筋は次のとおりである（Gil84 §1.8、pp. 62–68）。
- 各 $E_i$ に Hermite 計量、$X$ に Riemann 計量を入れ、複体の Laplacian $\Delta_i=d_i^*d_i+d_{i-1}d_{i-1}^*$ をとる。熱作用素 $e^{-t\Delta_i}$（$t>0$）は滑らかな核 $K_i(t,x,y)$ をもつ。$\Delta_i$ の $0$ でない固有値の固有空間たちは $d$ について完全な有限次元の複体をなすので、Lefschetz不動点公式 の命題「Hopf の跡公式」と同じ議論により、すべての $t>0$ で
$$ L(T)=\sum_i(-1)^i\operatorname{Tr}\bigl(T_ie^{-t\Delta_i}\bigr) $$
が成り立つ（Gil84 Lemma 1.8.1、p. 63）。 - $T_ie^{-t\Delta_i}$ の核は $\varphi_{i,x}K_i(t,f(x),y)$ なので、そのトレースは $\int_X\operatorname{tr}\bigl(\varphi_{i,x}K_i(t,f(x),x)\bigr)dx$ である。$t\to0$ のとき、不動点から離れた所の寄与は $t$ のどんな冪よりも速く $0$ に近づき、不動点の近くでは、主表象が $\lvert\xi\rvert^2$ の Laplacian の熱核は局所座標で Gauss 核 $(4\pi t)^{-n/2}e^{-\lvert x-y\rvert^2/4t}$ で近似される（Gil84 Lemma 1.8.2–1.8.3、pp. 63–68）。de Rham 複体と Dolbeault 複体の Laplacian はこの形（Dolbeault 複体では定数倍を除いて）である。
- 左辺は $t$ によらないので、$t\to0$ の極限をとればよい。その極限が次の補題の計算である。
$U\subset\mathbb R^n$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb R^n$ を滑らかな写像、$\varphi\colon U\to M_r(\mathbb C)$ を台がコンパクトな連続な行列値関数とする。$\operatorname{supp}\varphi$ の中で $f(x)=x$ となる点は $0$ だけで、$\det(1-df_0)\ne0$ であるとする。$k_t(z):=(4\pi t)^{-n/2}e^{-\lvert z\rvert^2/4t}$ とおくと
$$
\lim_{t\to+0}\int_U\operatorname{tr}\varphi(x)\,k_t\bigl(x-f(x)\bigr)\,dx=\frac{\operatorname{tr}\varphi(0)}{\lvert\det(1-df_0)\rvert}.
$$
$g(x):=x-f(x)$ とおくと $dg_0=1-df_0$ は可逆なので、逆関数定理により $0$ の開近傍 $V\subset U$ があって $g$ は $V$ から開集合 $W\ni0$ への微分同相であり、$V$ の上で $\det dg\ne0$ である。$V$ の中にコンパクトな台をもち $0$ の近くで $1$ となる滑らかな $\chi$（$0\le\chi\le1$）をとり、$\varphi=\chi\varphi+(1-\chi)\varphi$ と分ける。
$K:=\operatorname{supp}((1-\chi)\varphi)$ はコンパクトで $0$ を含まないから、仮定より $K$ の上で $g\ne0$、よって $\lvert g\rvert\ge c>0$ となる $c$ がある。このとき
$$
\Bigl\lvert\int_U\operatorname{tr}\bigl((1-\chi)\varphi\bigr)k_t(g(x))\,dx\Bigr\rvert\le(4\pi t)^{-n/2}e^{-c^2/4t}\int_U\lvert\operatorname{tr}\varphi\rvert\,dx\xrightarrow[t\to+0]{}0.
$$
$V$ の部分は $y=g(x)$ と変数変換して
$$
\int_V\operatorname{tr}(\chi\varphi)(x)\,k_t(g(x))\,dx=\int_{\mathbb R^n}\psi(y)\,k_t(y)\,dy,\qquad\psi(y):=\frac{\operatorname{tr}(\chi\varphi)(g^{-1}(y))}{\lvert\det dg(g^{-1}(y))\rvert}
$$
となる（$\psi$ は $W$ の外で $0$ とおく。台はコンパクトで $\psi$ は連続）。$k_t\ge0$、$\int k_t=1$ であり、$\delta>0$ について $\int_{\lvert y\rvert>\delta}k_t(y)\,dy=\int_{\lvert z\rvert>\delta/\sqrt t}(4\pi)^{-n/2}e^{-\lvert z\rvert^2/4}dz\to0$ だから
$$
\Bigl\lvert\int\psi k_t-\psi(0)\Bigr\rvert\le\sup_{\lvert y\rvert\le\delta}\lvert\psi(y)-\psi(0)\rvert+2\sup\lvert\psi\rvert\int_{\lvert y\rvert>\delta}k_t\,dy.
$$
$t\to+0$ としたあと $\delta\to0$ とすれば $\int\psi k_t\to\psi(0)=\operatorname{tr}\varphi(0)/\lvert\det(1-df_0)\rvert$ である（$\chi(0)=1$）。$\square$
補題では熱核を Gauss 核に置き換えている。両者の差が極限に寄与しないことは Gil84 の漸近展開で確かめる。分母の $\lvert\det(1-df_P)\rvert$ は変数変換の Jacobian から現れる。交代和をとると thm-ab-main の $\nu(P)$ になる。和 $\sum_P\operatorname{tr}\varphi_P/\lvert\det(1-df_P)\rvert$ は $T$ の flat trace（平坦なトレース）と呼ばれ、定理は「各項の flat trace の交代和がコホモロジーのトレースの交代和に等しい」と言い換えられる（AB68 p. 466）。
例
$X=\mathbb P^1$ を $z$ と $w=1/z$ の 2 つの座標で覆い、$\lambda\ne0,1$ を複素数として $f(z)=\lambda z$ とする。不動点は $z=0$ と $w=0$（$z=\infty$）の 2 つで、正則な微分は $z=0$ で $\lambda$、$w=0$ で $f(w)=w/\lambda$ より $\lambda^{-1}$ だから、どちらも単純である。
整数 $n\ge0$ について $F=\mathcal O(n)$ とし、その切断を $z$ の座標で次数 $n$ 以下の多項式 $p(z)$、$w$ の座標で $q(w)=w^np(1/w)$ と表す。$\varphi$ を $z$ の座標の自明化で恒等写像として定めると、$(Tp)(z)=p(\lambda z)$ である。$w$ の座標では
$$
(Tq)(w)=w^n\,p(\lambda/w)=\lambda^n\Bigl(\frac w\lambda\Bigr)^n p\Bigl(\frac1{w/\lambda}\Bigr)=\lambda^n\,q(w/\lambda)
$$
なので、$w=0$ での $\varphi$ は $\lambda^n$ 倍である。cor-ab-holomorphic の右辺は
$$
\frac1{1-\lambda}+\frac{\lambda^n}{1-\lambda^{-1}}=\frac{1-\lambda^{n+1}}{1-\lambda}=1+\lambda+\dots+\lambda^n.
$$
一方、$H^{0,0}(\mathbb P^1;\mathcal O(n))$ は次数 $n$ 以下の多項式の空間で、$H^{0,1}(\mathbb P^1;\mathcal O(n))=0$ である（Dolbeaultの定理 と GAGA により代数的な層コホモロジーに帰着し、射影空間上の直線束のコホモロジー の定理「射影空間上の直線束のコホモロジー」による）。$z^k$ は $T$ の固有ベクトルで固有値は $\lambda^k$ だから、左辺も $\sum_{k=0}^n\lambda^k$ であり、両辺は一致する。
$\lambda=e^{i\theta}$ のとき、この値は $SU(2)$ の $n+1$ 次元既約表現の、固有値が $e^{\pm i\theta/2}$ の元での指標の $e^{in\theta/2}$ 倍である。一般のコンパクト Lie 群の等質空間に同じ計算を行うと Weylの指標公式が得られる（AB68 (5.11)–(5.12)、p. 465。Borel–Weilの定理 も参照）。$\mathbb P^n$ の対角な線形写像に当てはめると、補間の公式 $1=\sum_{i=0}^n\gamma_i^n/\prod_{j\ne i}(\gamma_i-\gamma_j)$ が得られる（AB68 (4.18)、p. 460）。
$X=\mathbb C/(\mathbb Z+\mathbb Zi)$、$f(z)=iz$ とする。$iz\equiv z$ は $(i-1)z\in\mathbb Z+\mathbb Zi$ と同値で、$\lvert i-1\rvert^2=2$ だから不動点は $0$ と $(1+i)/2$ の 2 つである。$f'=i$ なので単純で、cor-ab-holomorphic の右辺は $2/(1-i)=1+i$ である。左辺：Dolbeaultコホモロジー の命題「楕円曲線の Dolbeault コホモロジー」により $H^{0,0}=\mathbb C$、$H^{0,1}=\mathbb C[d\bar z]$ で、$f^*$ は定数を保ち、$f^*d\bar z=\overline{i}\,d\bar z=-i\,d\bar z$。よって $L(f,\mathcal O)=1-(-i)=1+i$ で一致する。
$X$ を連結なコンパクト複素多様体で、$q>0$ について $H^{0,q}(X)=0$ であるものとする。このとき任意の正則写像 $f\colon X\to X$ は不動点をもつ。
$X$ は連結かつコンパクトなので、正則関数は定数であり $H^{0,0}(X)=\mathbb C$ で、$f^*$ は定数を保つ。仮定から $L(f,\mathcal O)=1$ である。$f$ が不動点をもたなければ、「不動点がすべて単純」という仮定は満たされているので、cor-ab-holomorphic の右辺は空和で $0$ となり矛盾する。$\square$
この系は AB68 Corollary 4.13（p. 459）で、そこでは有理多様体（たとえば $\mathbb P^n$。Dolbeaultコホモロジー の例「複素射影空間の Hodge 数」で $h^{0,q}=0$）に当てはまることが述べられている。コンパクト Riemann 面 $X$ の単純な不動点だけをもつ正則写像では、cor-ab-holomorphic は
$$
1-\operatorname{tr}\bigl(f^*\mid H^{0,1}(X)\bigr)=\sum_{f(P)=P}\frac1{1-f'(P)}
$$
となる（AB68 (4.14)、p. 459）。
反例：仮定を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 不動点がすべて単純 | $\mathbb P^1$ の正則写像 $f(z)=z+1$ と Dolbeault 複体 | $L(T)$ が単純な不動点の寄与の和に等しいこと（$L=1$、単純な不動点はない） |
| $X$ がコンパクト | $\mathbb R$ の平行移動 $f(x)=x+1$ と de Rham 複体 | 不動点のない写像では $L(T)=0$ となること（$L=1$） |
| 複体が楕円型 | 円周 $S^1$ の自明な直線束だけからなる複体 $0\to\Gamma(S^1\times\mathbb C)\to0$ と回転の引き戻し | コホモロジーの有限次元性（$H^0=C^\infty(S^1)$ で $L(T)$ が定まらない） |
- 1 行目：不動点は $z=\infty$ だけで、$w=1/z$ では $f(w)=w/(1+w)$、$f'(0)=1$ なので単純でない。$\mathbb P^1$ は $H^{0,0}=\mathbb C$、$H^{0,1}=0$（Dolbeaultコホモロジー の例「射影直線」）なので $L(f,\mathcal O)=1$ である。
- 2 行目：$H^0_{\mathrm{dR}}(\mathbb R)=\mathbb C$（定数）、$H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb R)=0$（任意の 1 形式 $g\,dx$ は $\int_0^xg$ の微分）で、$f^*$ は定数を保つから $L=1$ だが、不動点はない。
- 3 行目：$N=0$ の複体で主表象の列は $0\to\mathbb C\to0$ となり完全でない。$H^0$ は無限次元で、トレースの交代和は定義されない。回転の角が $2\pi$ の整数倍でなければ不動点もない。
関連項目
- 前提: 楕円型複体, Lefschetz不動点公式, Dolbeaultコホモロジー, 外積代数
- 比較: Atiyah–Singerの指数定理, Hopfの指数定理
- 道具: 楕円型作用素, 擬微分作用素, 熱方程式, Dolbeaultの定理
- 例: 複素射影空間, 複素トーラス, Borel–Weilの定理
- 発展: 同変コホモロジー, Hirzebruchの符号数定理
参考文献
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