始対象(∞圏)
概要
始対象(∞圏)（initial object）とは、そこから任意の対象への写像空間が可縮となる対象である。射のホモトピー類が一つという条件より強く、射の選択と全高次の比較まで一意にする。通常圏の脈体では古典的な始対象と一致し、空図式の余極限としても特徴づけられる。
前提知識: ∞圏, 単体的集合, Kan複体, 写像空間(∞圏), 始対象
動機
通常の始対象からは、どの対象へもただ一つの射が出る。∞圏で必要なのは、射のホモトピー類が一つという条件だけではない。射を選ぶ空間、その選択を比較する道、さらに道同士の比較まで含めて一意であることが重要になる。
始対象は空図式の余極限（余極限(∞圏)）であり、一般の余極限も適切な余錐の∞圏の始対象として定義される。したがって、一意性をどの意味で要求するかが普遍性全体の基礎になる。
定義の準備
本稿では $(\infty,1)$-圏を準圏で扱う。単体的集合は、有限非空全順序集合と順序保存写像の圏 $\Delta$ からの反変集合値関手である。標準単体を $\Delta^n$、第 $i$ 面以外を合わせたホーンを $\Lambda_i^n$ と書く。準圏 $\mathcal C$ は、すべての $n\ge2,\ 0< i< n$ について $\Lambda_i^n\to\mathcal C$ が $\Delta^n$ へ延長する単体的集合である。
すべてのホーンを充填する単体的集合はKan複体と呼び、空間のモデルに用いる。空間が可縮（可縮空間）とは、一点へ向かう写像が弱ホモトピー同値、すなわち連結成分とすべてのホモトピー群を同型にすることである。特に空空間は可縮ではない。
対象 $x,y$ の写像空間（写像空間(∞圏)）には、$n$-単体を
$$
\{\sigma:\Delta^{n+1}\to\mathcal C
\mid \sigma|_{\{0,\ldots,n\}}\text{ は }x\text{ で定値},\
\sigma(n+1)=y\}
$$
とする右Homモデルを使える。定値条件は頂点だけでなく面全体の条件である。これはKan複体となり、$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ と書く空間を表す。ホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）$h\mathcal C$ の射はその $\pi_0$、同値射は $h\mathcal C$ で同型になる辺である。これらの基礎比較は HTT09 §§1.2.2–1.2.4 による。
宇宙 $\mathbb U\in\mathbb V$ を固定し、小さいとは $\mathbb U$-小をいう。扱う圏は $\mathbb V$ 内、写像空間は $\mathbb U$ 内とする。
定義と基本的な性質
準圏 $\mathcal C$ の対象 $s$ が始対象（initial object）であるとは、すべての対象 $x\in\mathcal C$ に対して
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(s,x)\simeq *
$$
となることをいう。ここで $\simeq$ は空間の同値である。
始対象の定義は HTT09 §1.2.12 の終対象（終対象(∞圏)）の双対である。射の存在に加えて、全高次の比較が可縮であることまで要求している。
二つの始対象は同値である。
$s,t$ が始対象なら、写像空間の非空性から $u:s\to t$ と $v:t\to s$ を取れる。$\operatorname{Map}(s,s)$ と $\operatorname{Map}(t,t)$ の $\pi_0$ は一点なので、$vu$ と $uv$ はそれぞれの恒等射に一致するホモトピー類を持つ。従って $[u]$ と $[v]$ は $h\mathcal C$ で互いに逆であり、$u$ は同値射である。
この証明は二対象の同値を示している。さらに、始対象をすべて集めた充満部分準圏は、存在すれば可縮Kan複体になる。これは選択と比較をすべて含む、より強い一意性であり、HTT09 命題1.2.12.9の双対を用いる。上の $\pi_0$ の計算だけで強い主張まで証明したわけではない。
$s\simeq t$ なら、$s$ が始対象であることと $t$ が始対象であることは同値である。
対象 $x$ を固定する。スライス $\mathcal C_{/x}\to\mathcal C$ は右ファイブレーションであり、対象 $s$ 上のファイバーは、$\Delta^n\star\Delta^0\to\mathcal C$ で $\Delta^n$ 側が $s$ で定値、最後の頂点が $x$ である単体からなる。これは上で定めた右Homモデル $\operatorname{Map}^{R}_{\mathcal C}(s,x)$ そのものである。右ファイブレーションでは、同値な対象 $s\simeq t$ 上のファイバー $\operatorname{Map}(s,x)$ と $\operatorname{Map}(t,x)$ は同値である（HTT09 §2.1・§2.4）。従って一方が可縮であることと他方が可縮であることは同値であり、これをすべての $x$ に適用すればよい。
通常の圏への回収
通常圏 $A$ の対象 $s$ は、通常の意味で始対象であることと、脈体 $NA$ の始対象であることが同値である。
脈体 $NA$ の単体は合成可能な射の列である。右Homの定値面を指定すると、列の最初の射はすべて $s$ の恒等射となり、最後に一本の射 $s\to x$ が残る。従って全次数で
$$
\operatorname{Map}^{R}_{NA}(s,x)\cong
\operatorname{Hom}_A(s,x)_{\mathrm{disc}}
$$
となる。面・退化はこの射を変えない。離散空間が可縮であることは、その集合がちょうど一点であることと同値なので、通常の定義を回収する。
例と反例
小Kan複体の∞圏（空間の∞圏）$\mathcal S$ では、空Kan複体 $\emptyset$ が始対象である。任意のKan複体 $X$ に対し、写像単体的集合 $X^{\emptyset}$ は各次数で一点である。局所Kan表示の写像空間比較により、$\operatorname{Map}_{\mathcal S}(\emptyset,X)$ も可縮となる。
半順序集合 $P$ を、$a\le b$ のときだけ射が一つある圏とみなす。$NP$ の始対象は、すべての $x$ に対して $s\le x$ となる最小元である。例えば通常の順序を入れた $\mathbb N=\{0,1,\ldots\}$ では $0$ が始対象である。
$c\in\mathcal C$ に対し、スライス圏（スライス圏(∞圏)）$\mathcal C_{c/}$ の $n$-単体を、初頂点が $c$ である写像 $\Delta^0\star\Delta^n\to\mathcal C$ とする。joinでは左側の頂点を先に並べる。この準圏は $c$ から出る射と整合的な三角形を集めたもので、$\operatorname{id}_c$ が始対象になる。
実際、$f:c\to x$ に対する写像空間は、スライスの写像空間比較により、恒等写像
$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,x)\to\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,x)$
の $f$ 上のホモトピーファイバーである。恒等写像のホモトピーファイバーは可縮なので結論を得る。スライスの準圏性・この比較は HTT09 §§1.2.9, 4.2.1 を採用している。
$K=N(B\mathbb Z)$ とする。ここで $B\mathbb Z$ は対象が一つ、自己射群が $\mathbb Z$ の通常の亜群である。$K$ は連結Kan複体だが、基本群 $\pi_1K\cong\mathbb Z$ なので可縮ではない。
$K_n=\mathbb Z^n$ の成分ごとの加法を合成に使い、一対象の単体的豊穣圏 $A$ を $A(a,a)=K$ で定める。面・退化は加法を保つため、これは厳密な単位と合成を持ち、局所Kanである。その整合的脈体（ホモトピー整合的脈体）$\mathcal C=N_{\mathrm{hc}}A$ の自己写像空間は $K$ と同値になる。
従って $h\mathcal C$ は一対象・一射の圏であり、$a$ はそこで始対象である。しかし $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(a,a)\simeq K$ は可縮でないから、$\mathcal C$ の始対象ではない。これは「ホモトピー圏で始対象なら∞圏でも始対象」という含意を破る。局所Kan表示の比較は HTT09 §1.1.5、§2.2 による。
$\pi_1N(B\mathbb Z)=\mathbb Z$ は、辺 $[m]$ と2単体の関係 $[m][n]=[m+n]$ からも計算できる。反例の問題は射のホモトピー類の数ではなく、その比較空間の非自明なループにある。
余極限・豊穣表示との接続
空図式の余錐準圏は $\mathcal C$ 自身なので、その余極限は始対象である。一般図式 $p:K\to\mathcal C$ の余錐準圏は、$n$-単体を $K\star\Delta^n\to\mathcal C$（$K$ 上で $p$）とする。余極限はこの準圏の始対象であり、頂点の対象だけでなく余錐を含む（HTT09 定義1.2.13.4）。
単体的豊穣圏 $A$ は、各対象対に単体的集合 $A(x,y)$ を持ち、単位と結合的な合成を持つ。各HomがKanなら局所Kanという。整合的脈体 $N_{\mathrm{hc}}A$ の $n$-単体は $\mathfrak C[\Delta^n]\to A$ という豊穣関手である。$\mathfrak C[\Delta^n](i,j)$ は、$i< j$ のとき両端を含む区間の部分集合の包含半順序の脈体、同じ対象では一点、逆向きでは空とし、合成を和集合で定める。
この表示では $A(s,x)\simeq *$ が始対象の条件になる。厳密に一点であることまでは必要ない。 一般の豊穣圏の始対象（始対象(豊穣圏)）を、基礎圏や導来比較の指定なしにこの条件と同一視はできない。ここで用いるのは局所Kan表示と準圏の写像空間比較である（HTT09 命題1.1.5.10、§2.2）。
関連項目
参考文献
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