完全群

1 $\Leftrightarrow$ 2：$G/[G,G]$ が 1 元だけからなることは $[G,G]=G$ と同値である。
1 $\Rightarrow$ 3：$f\colon G\to A$ を群準同型、$A$ をアーベル群とする。交換子部分群 の記事の命題「交換子の基本的な性質」の 3 により $f([x,y])=[f(x),f(y)]$ であり、$A$ は可換なので同命題の 1 によりこれは $A$ の単位元である。よって交換子はすべて $f$ の核 $\ker f$ に属し、$\ker f$ は部分群なので $[G,G]\subset\ker f$ である。$[G,G]=G$ なので $f$ は自明である。
3 $\Rightarrow$ 2：標準射影 $\pi\colon G\to G^{\mathrm{ab}}$ はアーベル群への群準同型である（$G^{\mathrm{ab}}$ がアーベル群であることは 交換子部分群 の記事の命題「アーベル商と交換子部分群」の 2）。3 により $\pi$ は自明であり、$\pi$ は全射なので $G^{\mathrm{ab}}$ は単位元だけからなる。
1 $\Leftrightarrow$ 4：交換子部分群 の記事の命題「アーベル商と交換子部分群」の 1 により、正規部分群 $N$ について $G/N$ がアーベル群であることは $[G,G]\subset N$ と同値である。1 を仮定すると、$G/N$ がアーベル群なら $G=[G,G]\subset N$ なので $N=G$ である。逆に 4 を仮定し、$N=[G,G]$（正規部分群で、$G/N$ はアーベル群）に適用すると $[G,G]=G$ を得る。
4 $\Rightarrow$ 5：$N$ を指数が素数 $p$ の正規部分群とすると、$G/N$ は位数 $p$ の群なので巡回群であり（Lagrangeの定理 の記事の系「素数位数の群」）、とくにアーベル群である。$N\neq G$ なので 4 に反する。
5 $\Rightarrow$ 2（$G$ は有限群）：$A:=G^{\mathrm{ab}}$ が自明群でないと仮定して矛盾を導く。$A$ は有限アーベル群なので演算を加法で書く。$A$ の部分群は有限個であり、$\{0\}$ は $A$ と異なる部分群なので、$A$ と異なる部分群のうち包含について極大なもの $B$ がとれる。$c\in A\setminus B$ をとると、$B+\langle c\rangle$ は $B$ を真に含む部分群なので、極大性から $B+\langle c\rangle=A$ である。よって剰余群 $A/B$ は $c$ の類 $\bar c$ で生成される巡回群であり、その位数を $m$ とすると $m\ge2$ である。$m$ が素数でないとし、$m=m_1m_2$（$1< m_1,m_2< m$）と書く。$B':=B+\langle m_1c\rangle$ とおくと、$A/B$ における $B'$ の像は $\langle m_1\bar c\rangle$ であり、$m_1\bar c$ の位数は $m_2$ である。$m_2>1$ なので $m_1c\notin B$、よって $B'\neq B$ であり、$m_2< m$ なので像が $A/B$ 全体でなく、$B'\neq A$ である。これは $B$ の極大性に反するので、$m=p$ は素数である。
$\pi\colon G\to A$ を標準射影とし、$N:=\pi^{-1}(B)$ とおく。$N$ は $\ker\pi=[G,G]$ を含む部分群なので、交換子部分群 の記事の命題「アーベル商と交換子部分群」の 3 により $G$ の正規部分群である。写像 $gN\mapsto\pi(g)+B$ は $G/N$ から $A/B$ への全単射である（$\pi(g)-\pi(h)\in B$ と $h^{-1}g\in N$ は同値なので定義は代表元によらず単射であり、$\pi$ が全射なので全射である）。よって $N$ の指数は $p$ であり、5 に反する。$\square$

1：交換子部分群 の記事の命題「準同型による像」の 2 により、$f$ が全射なら $f([G,G])=[H,H]$ である。$[G,G]=G$ なので $[H,H]=f(G)=H$ である。
2：$n$ についての帰納法により、$n=2$ の場合を示せばよい。$G\times H$ において積と逆元は成分ごとなので、交換子も成分ごとに計算され、$[(x,e),(x',e)]=([x,x'],e)$、$[(e,y),(e,y')]=(e,[y,y'])$ である。よって $[G,G]\times\{e\}$ と $\{e\}\times[H,H]$ は $[G\times H,G\times H]$ に含まれ、$(a,b)=(a,e)(e,b)$ から $[G,G]\times[H,H]\subset[G\times H,G\times H]$ を得る。$G,H$ が完全群なら左辺は $G\times H$ なので、$G\times H$ は完全群である。
3：$\pi\colon G\to G/N$ を標準射影とする。$\pi$ は全射なので、1 と同じく $\pi([G,G])=[G/N,G/N]=G/N$ である。よって任意の $g\in G$ に対し $\pi(c)=\pi(g)$ となる $c\in[G,G]$ があり、$c^{-1}g\in\ker\pi=N$ から $g\in[G,G]N$ である。一方、$N$ は完全群なので、交換子部分群 の記事の命題「準同型による像」の 3 により $N=[N,N]\subset[G,G]$ である。$[G,G]$ は部分群なので $[G,G]N=[G,G]$ となり、$G=[G,G]$ を得る。$\square$

1：$D_1=[G,G]$ なので、前の 2 つの条件は同値である。$D_1=G$ なら、$D_i=G$ を仮定すると $D_{i+1}=[G,G]=G$ となり、帰納法によりすべての $i$ で $D_i=G$ である。逆は $i=1$ とすればよい。
2：$i$ についての帰納法による。$P\subset D_0=G$ である。$P\subset D_i$ なら、$P$ は $D_i$ の部分群なので 交換子部分群 の記事の命題「準同型による像」の 3 により $[P,P]\subset[D_i,D_i]=D_{i+1}$ であり、$P=[P,P]$ から $P\subset D_{i+1}$ である。
3：$P:=\bigl\langle\bigcup_\lambda P_\lambda\bigr\rangle$ とおく。各 $\lambda$ について $P_\lambda$ は $P$ の部分群なので、同じ命題により $P_\lambda=[P_\lambda,P_\lambda]\subset[P,P]$ である。よって $[P,P]$ は $\bigcup_\lambda P_\lambda$ を含む部分群であり、$P$ はそれを含む最小の部分群なので $P\subset[P,P]$、すなわち $[P,P]=P$ である（族が空なら $P=\{e\}$ で、これも完全群である）。族として完全群である部分群全体をとると、得られる $P(G)$ は完全群であり、すべての完全群である部分群を含む。
4：$D_0\supset D_1\supset\cdots$ は有限群の部分群の減少列なので、位数 $|D_i|$ は増えない正の整数の列であり、ある $r$ で $|D_r|=|D_{r+1}|$、したがって $D_r=D_{r+1}=[D_r,D_r]$ となる。すなわち $D_r$ は完全群であり、$D_r\subset P(G)$ である。2 により $P(G)\subset D_r$ なので $D_r=P(G)$ である。
$G$ が可解群なら、ある $s$ で $D_s=\{e\}$ である（可解群 の記事の定理「可解性の同値な特徴づけ」）。2 により、完全群である部分群 $P$ は $P\subset D_s=\{e\}$ を満たす。逆に、完全群である部分群が $\{e\}$ だけなら、完全群 $D_r$ は $\{e\}$ であり、同定理により $G$ は可解群である。$\square$