正則包

$\mathcal{O}(X)$ に、コンパクト集合 $K$ の上の上限 $\sup_K|u|$ を半ノルムとする位相を入れる。$X$ のコンパクト集合の増大列 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で各コンパクト集合がどれかに含まれるものをとると、この位相は可算個の半ノルム $\sup_{K_j}|u|$ で定まる。局所一様極限は正則なので（多変数の正則関数 の定理「局所一様極限」）完備であり、$\mathcal{O}(X)$ は Fréchet空間 である。$\mathcal{O}(Y)$ も同様である。制限 $R\colon\mathcal{O}(Y)\to\mathcal{O}(X)$ は連続な線形全単射なので（prop-eh-algebra）、Fréchet空間 の定理「Fréchet空間の間の開写像」の 2 により $E_Y=R^{-1}$ は連続である。半ノルムの列は増大するので、コンパクト集合 $K\subset X$ と $C>0$ で $\sup_L|E_Yu|\le C\sup_K|u|$（$u\in\mathcal{O}(X)$）となるものがある。$u$ を $u^m$ に替えると、$E_Y(u^m)=(E_Yu)^m$ なので $\sup_L|E_Yu|^m\le C\sup_K|u|^m$ である。$m$ 乗根をとって $m\to\infty$ とすると $\sup_L|E_Yu|\le\sup_K|u|=\sup_K|E_Yu|$ を得る。$\mathcal{O}(Y)$ の元はすべて $E_Yu$ の形なので、$L\subset\widehat K_Y$ である。$\square$

$Y$ を $X$ の正則拡大とし、$Y\ne X$ と仮定する。$X$ は $Y$ の空でない開集合で $Y$ は連結なので、$X$ は $Y$ の中で閉でなく、$X$ の閉包に属し $X$ に属さない点 $p\in Y$ がある。$p$ のコンパクトな近傍 $L\subset Y$ をとり、lem-eh-hull の $K\subset X$ を選ぶ。prop-eh-algebra の 2 により $L\cap X\subset\widehat K_Y\cap X=\widehat K_X$ である。$X$ は正則凸なので $\widehat K_X$ はコンパクトで、Hausdorff 空間 $Y$ の中で閉である。$p$ は $L\cap X$ の点の極限なので $p\in\widehat K_X\subset X$ となり、矛盾する。$\square$

1：$\sigma=\sigma'$ となる点の集合は、$X$ が Hausdorff なので閉である。$\sigma(\zeta)=\sigma'(\zeta)=y$ なら、$\varphi$ が単射になる $y$ の近傍に $\zeta$ の近くの点の像が入り、$\varphi\circ\sigma=\varphi\circ\sigma'$ から $\sigma=\sigma'$ となるので開でもある。$\sigma_x$ を半径 $\rho$ の枝とすると、$y=\sigma_x(\eta)$ について $\sigma_x$ の $\Delta(\eta,\rho-\|\eta-\varphi(x)\|_\infty)$ への制限は $y$ での枝なので、像（$\varphi\circ\sigma_x=\mathrm{id}$ から $\sigma_x$ は局所双正則で、像は開集合）の上で $D^\alpha u=\partial^\alpha(u\circ\sigma_x)\circ\varphi$ は正則である。半径が $d(x)$ に増加する枝の列は互いに一致するので、合わせると半径 $d(x)$ の枝になる。

2：$u\circ\sigma_x$ は $\Delta(\varphi(x),d(x))$ の上で正則で、$\varphi(x)$ での微分係数は $D^\alpha u(x)$ なので、冪級数展開により $u\circ\sigma_x=T_xu$ である。$\rho< \rho'< d(x)$ について $M$ を $\Delta(\varphi(x),\rho')$ の上の $|u\circ\sigma_x|$ の上限とすると、Cauchy の評価式から $|D^\alpha u(x)|\rho^{|\alpha|}/\alpha!\le M$ なので、$r(x)\ge\rho$ である。

3：$\sigma_x$ の $\Delta(\eta,d(x)-\delta)$ への制限は $y$ での枝なので $d(y)\ge d(x)-\delta$ である。$T_xu$ は $\Delta(\varphi(x),r(x))$ の上で正則で、2 により $\eta$ の近くで $u\circ\sigma_x$ に等しいので、$\eta$ での Taylor 係数は $D^\alpha u(y)$ である。$\Delta(\eta,r(x)-\delta)\subset\Delta(\varphi(x),r(x))$ の上で Cauchy の評価式を使うと $r(y)\ge r(x)-\delta$ を得る。連続性：$d(x)=\infty$ なら、前半により $x$ の近傍 $\sigma_x(\mathbb{C}^n)$ の上で $d=\infty$ である。$d(x)< \infty$、$\delta< d(x)/2$ とすると $d(y)>\delta$ なので、$\sigma_y$ は $\varphi(x)$ で定義される。$\sigma_x$ と $\sigma_y$ は凸集合 $\Delta(\varphi(x),d(x))\cap\Delta(\eta,d(y))$ の上で $\eta$ で一致するので、1 により $\sigma_y(\varphi(x))=x$ である。役割を入れ替えて $d(x)\ge d(y)-\delta$ を得る。よって $x$ の近傍 $\sigma_x(\Delta(\varphi(x),d(x)/2))$ の上で $|d(y)-d(x)|\le\|\varphi(y)-\varphi(x)\|_\infty$ である。

4：$d(x)=\infty$ なら、$\sigma_x\colon\mathbb{C}^n\to X$ は局所双正則なので像は開集合である。像の点列 $\sigma_x(\eta_k)$ が $y$ に収束すれば、$\eta_k=\varphi(\sigma_x(\eta_k))\to\varphi(y)$ なので $\sigma_x(\eta_k)\to\sigma_x(\varphi(y))$ であり、Hausdorff 性から $y=\sigma_x(\varphi(y))$ は像に属する。$X$ は連結なので $\sigma_x$ は全射で、$\varphi$ はその逆写像である。

5：$X$ の点での $X$ の枝は $Y$ の枝でもあり、$X$ の上で $E_Yu=u$ である。$\mathcal{O}(Y)=E_Y(\mathcal{O}(X))$ なので、$r$ を定める関数の族は同じである。$\square$

(i)：$\varphi_j\circ\sigma$ は第 $j$ 座標関数なので、$(\varphi_j)_B(\zeta)=\zeta_j$ である。後半は点の分離による。

(ii)：$D^\alpha u\in\mathcal{O}(X)$ の $x_0$ での Taylor 係数は $D^{\alpha+\beta}u(x_0)$ なので、$(D^\alpha u)_B$ と $\partial^\alpha u_B$ は $B$ の上の正則関数で $\varphi(x_0)$ での Taylor 係数が等しく、多重円板 の定理「冪級数展開」により $B$ 全体で等しい。$x\sim\zeta$ を $D^\alpha u$ に使うと $D^\alpha u(x)=\partial^\alpha u_B(\zeta)$ である。$x$ に半径 $\rho$ の枝 $\sigma$ があり $\Delta(\zeta,\rho)\subset B$ となる $\rho>0$ をとると、$\eta\in\Delta(\zeta,\rho)$ について、lem-eh-branch の 2 と冪級数展開から$$u(\sigma(\eta))=\sum_\alpha\frac{D^\alpha u(x)}{\alpha!}(\eta-\zeta)^\alpha=\sum_\alpha\frac{\partial^\alpha u_B(\zeta)}{\alpha!}(\eta-\zeta)^\alpha=u_B(\eta)$$である。

貼り合わせ：$V:=\{x\in X\mid\text{ある }\zeta\text{ で }x\sim\zeta\}$ は (ii) により開集合で、$\varphi(V)$ も開集合である。(i) により $\varphi\colon V\to\varphi(V)$ は単射な局所双正則写像、すなわち双正則写像である。$Y:=(X\sqcup B)/(x\sim\varphi(x),\ x\in V)$ に商位相を入れると、$X$ と $B$ は $Y$ の開集合である。$X$ の上で $u$、$B$ の上で $u_B$ となる関数 $\tilde u$ は well-defined で連続である。$X$ の 2 点は点の分離で、$B$ の 2 点は座標関数で、同一視されない $X$ の点と $B$ の点は $\sim$ の定義により、どれかの $\tilde u$ で分けられる。よって $Y$ は Hausdorff である。$Y$ は可算な開基をもつ開集合 2 つの和で、$x_0\sim\varphi(x_0)$ なので連結である。座標変換は $\varphi|_V$ なので $Y$ は複素多様体で、$X$ の上で $\varphi$、$B$ の上で恒等写像となる写像は局所双正則である。$\tilde u=E_Yu$ であり、$\mathcal{O}(Y)$ は点を分離する。包含 $B\to Y$ が $x_0$ での半径 $r(x_0)$ の枝である。$\square$

増大列の和．Riemann 領域の増大列 $Y_0\subset Y_1\subset\cdots$ で、各 $Y_{m+1}$ が $Y_m$ の正則拡大で写像が延長になっているものについて、和集合 $\bigcup_mY_m$（$U$ が開とは各 $U\cap Y_m$ が開のこと）はまた Riemann 領域で、各 $Y_m$ の正則拡大である。実際、2 点は同じ $Y_m$ に入り、そこで分離する関数は $Y_{m+1},Y_{m+2},\dots$ へ順に延びて和集合の上の連続関数になるので Hausdorff であり、可算な開基・連結性・複素構造・局所双正則な写像は各段から受け継がれる。

構成．$X_0:=X$ とし、$X_k$ まで決まったら、$X_k$ の稠密な点列 $a_1,a_2,\dots$（可算な開基による）をとる。$X_k$ から始めて $a_1,a_2,\dots$ に lem-eh-gluing を順に使い、その和集合を $X_{k+1}$ とする。$\widetilde X:=\bigcup_kX_k$ とおく。lem-eh-branch の 5 により、$r$ はどの段で測っても同じである。

$d=r$．$x\in X_k$、$0< R< r(x)$ とする。$x$ での $X_k$ の有限な半径 $\rho$ の枝 $\sigma$ をとり、$\rho$ と $(r(x)-R)/3$ の小さいほうを $\delta$ とする（$r(x)=\infty$ なら $\delta:=\rho$）。開集合 $\sigma(\Delta(\varphi(x),\delta))$ は点列のある点 $a=\sigma(\eta)$ を含む。lem-eh-branch の 3 により $r(a)\ge r(x)-\delta$ であり、$a$ を処理した段で $a$ に半径 $r(a)$ の枝 $\tau$ がある。$\Delta(\varphi(x),\delta)\subset\Delta(\eta,2\delta)\subset\Delta(\eta,r(a))$ なので、$\tau$ と $\sigma$ は $\Delta(\varphi(x),\delta)$ の上の $\varphi$ の切断で、$\eta$ で一致する。よってlem-eh-branch の 1 により $\tau(\varphi(x))=x$ である。$\Delta(\varphi(x),R)\subset\Delta(\eta,R+\delta)\subset\Delta(\eta,r(a))$ なので、$\tau$ の制限は $x$ での半径 $R$ の枝であり、$d(x)\ge R$ である。$R$ は任意なので $d(x)\ge r(x)$ で、lem-eh-branch の 2 と合わせて $d(x)=r(x)$ である。$\square$

1：$t$ を固定する。$x\in K$ について $t|f(x)|< s_x< s_x+\varepsilon_x< d(x)$ となる $s_x,\varepsilon_x>0$ をとる。コンパクト集合 $C_x:=\sigma_x(\{\|\zeta-\varphi(x)\|_\infty\le s_x+\varepsilon_x\})$ と、$x$ の開近傍 $N_x:=\{y=\sigma_x(\eta)\mid\|\eta-\varphi(x)\|_\infty< \varepsilon_x,\ t|f(y)|< s_x\}$ をとる。$y=\sigma_x(\eta)\in N_x$ では $\sigma_x(\Delta(\eta,s_x))\subset C_x$ なので、Cauchy の評価式により $|D^\alpha u(y)|\le\alpha!\,s_x^{-|\alpha|}\sup_{C_x}|u|$ であり、$|D^\alpha u(y)|(t|f(y)|)^{|\alpha|}/\alpha!\le\sup_{C_x}|u|$ である。$K$ を有限個の $N_{x_i}$ で覆い、$M_u:=\max_i\sup_{C_{x_i}}|u|$ とおくと、$K$ の上で $|D^\alpha u\cdot f^{|\alpha|}|\,t^{|\alpha|}/\alpha!\le M_u$ である。$D^\alpha u\cdot f^{|\alpha|}\in\mathcal{O}(X)$ なので、同じ不等式が $\widehat K_X$ の上で成り立つ。$\zeta\in\widehat K_X$ と $\rho< t|f(\zeta)|$ について $\sup_\alpha|D^\alpha u(\zeta)|\rho^{|\alpha|}/\alpha!\le M_u$ なので、$d(\zeta)=r(\zeta)\ge t|f(\zeta)|$ である。$t\to1$ とする。

2：連続性は lem-eh-branch の 3 による。多重劣調和性は局所的な性質なので、枝 $\sigma:=\sigma_x$ の上で $v:=-\log d\circ\sigma$ を調べる。$a\in\mathbb{C}^n$、$b\ne0$ が $\{a+\zeta b\mid|\zeta|\le1\}\subset\Delta(\varphi(x),d(x))$ を満たすとし、$b_j\ne0$ となる $j$ を選ぶ。1 変数の多項式 $p$ が $|\zeta|=1$ で $v(a+\zeta b)\le\operatorname{Re}p(\zeta)$ を満たすとする。$f:=\exp\bigl(-p((\varphi_j-a_j)/b_j)\bigr)\in\mathcal{O}(X)$ は $f(\sigma(a+\zeta b))=e^{-p(\zeta)}$ を満たし、コンパクト集合 $K:=\{\sigma(a+\zeta b)\mid|\zeta|=1\}$ の上で $|f|=e^{-\operatorname{Re}p}\le e^{-v}=d$ である。$u\in\mathcal{O}(X)$ について $\zeta\mapsto u(\sigma(a+\zeta b))$ は閉円板の近傍で正則なので、最大値原理(複素解析) の定理「最大値原理」により、$|\zeta|\le1$ の点 $\sigma(a+\zeta b)$ は $\widehat K_X$ に属する。1 によりそこでも $|f|\le d$ であり、とくに $v(a)\le\operatorname{Re}p(0)$ である。

$\varepsilon>0$ をとる。Parsevalの等式 の命題「部分和の平均の一様収束」を $\theta\mapsto v(a+e^{i\theta}b)$ に使って実部をとると、実数値の三角多項式 $Q(\theta)=\sum_{|k|\le N}q_ke^{ik\theta}$（$q_{-k}=\overline{q_k}$）で $|v(a+e^{i\theta}b)-Q(\theta)|< \varepsilon$ となるものがある。$p(\zeta):=q_0+\varepsilon+2\sum_{k=1}^Nq_k\zeta^k$ とおくと $\operatorname{Re}p(e^{i\theta})=Q(\theta)+\varepsilon$ なので、$v(a)\le q_0+\varepsilon\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}v(a+e^{i\theta}b)\,d\theta+2\varepsilon$ である。$\varepsilon\to0$ とし、$v$ が連続であることと 多重劣調和関数 の命題「円板の平均による言い換え」から、$v$ は多重劣調和である。$\square$

$f$ が正則であること．$S$ の点で $|w|< \frac12$ なら、$|w|^2=1+2\rho\cos\theta+\rho^2< \frac14$ から $\cos\theta< -\frac{3/4+\rho^2}{2\rho}\le-\frac{43}{48}$ である（分数は $\frac12< \rho\le\frac23$ で減少する）。$\cos\frac12\le1-\frac18+\frac1{384}< \frac{43}{48}$ なので、$\theta$ の範囲では $\pi-\frac12< \theta< \pi+\frac12$ である。このとき $1-w=\rho e^{i(\theta-\pi)}$ で $|\theta-\pi|< \frac12$ なので、2 つの式は一致する。$H$ と第 2 の集合の共通部分は $\{|z_1|< \frac14\}\times(S\cap\{|w|< \frac12\})$ なので、$f$ は well-defined で正則である（第 2 の式は $1-z_2$ の対数の連続な分枝 $\log\rho+i(\theta-\pi)$ の半分の指数関数）。共通部分は $(0,\frac25)$ を含むので、$X$ は連結である。

双円板を含むこと．$U$ をそのような開集合とする。$U$ は $\varphi=\mathrm{id}$ で Riemann 領域である。$v\in\mathcal{O}(U)$ の $H$ への制限は、Reinhardt領域 の定理「対数凸包への延長」と例「延長の例」の 1 により、$\Delta(0,1)$ の上で原点での Taylor 級数の和に延びるので、その Taylor 級数は $\Delta(0,1)$ で収束し、$r(0)\ge1$ である。cor-eh-stein の 3 により原点に半径 $1$ 以上の枝があり、$\varphi=\mathrm{id}$ なので枝は恒等写像で、$\Delta(0,1)\subset U$ である。$f$ の延長 $F$ と $(1-z_2)^{1/2}$ は $H$ の上で等しく、$\Delta(0,1)$ は連結なので、一致の定理により $\Delta(0,1)$ の上で等しい。

矛盾．$w_*$ は $\theta=\frac{8\pi}3< 3\pi-1$、$\rho=\frac35$ の点として $S$ に属し、$|w_*|^2=1-\frac35+\frac9{25}< 1$ なので、$(0,w_*)\in X\cap\Delta(0,1)$ である。$f(0,w_*)=\sqrt{3/5}\,e^{5\pi i/6}$ だが、$1-w_*=\frac35e^{-\pi i/3}$ の主値の平方根は $\sqrt{3/5}\,e^{-\pi i/6}=-f(0,w_*)$ であり、$X$ の上で $F=f$ であることに反する。$\square$