超関数の畳み込み

$x_0\in\mathbb{R}^n$ を固定し、$\chi\in\mathcal{D}$ を開球 $B(x_0,1)$ の上で $1$ となるようにとる。$G(x,y):=\chi(x)\varphi(x-y)$ は、$x\in\operatorname{supp}\chi$、$y\in x-\operatorname{supp}\varphi$ の外で $0$ なので $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)$ に属し、$x\in B(x_0,1)$ なら $(T*\varphi)(x)=\langle T,G(x,\cdot)\rangle$ である。超関数のテンソル積 の補題「片方の変数への作用」により、$x\mapsto\langle T,G(x,\cdot)\rangle$ は滑らかで、$\partial^\alpha$ は $G$ の $x$ についての微分として $T$ の中に入る。$B(x_0,1)$ の上では $\partial_x^\alpha G(x,y)=(\partial^\alpha\varphi)(x-y)$ なので、$\partial^\alpha(T*\varphi)=T*\partial^\alpha\varphi$ である。一方、連鎖律から $(\partial^\alpha\varphi)(x-y)=(-\partial_y)^\alpha[\varphi(x-y)]$ なので、超関数の微分の定義により
$$ \langle\partial^\alpha T,\varphi(x-\cdot)\rangle=(-1)^{|\alpha|}\langle T,\partial_y^\alpha[\varphi(x-\cdot)]\rangle=\langle T,(\partial^\alpha\varphi)(x-\cdot)\rangle $$
である。最後に、$x\notin\operatorname{supp}T+\operatorname{supp}\varphi$ なら $\varphi(x-\cdot)$ の台 $x-\operatorname{supp}\varphi$ は $\operatorname{supp}T$ と交わらないので $(T*\varphi)(x)=0$ である（$\operatorname{supp}\varphi$ はコンパクトなので、この和は閉集合である）。$\square$

1．$\chi$、$\chi'$ がともに $F_{\operatorname{supp}\varphi}$ の開近傍 $W$ の上で $1$ なら、$G:=(\chi-\chi')\varphi^+$ は $W$ の上と、開集合 $\{(x,y)\mid x+y\notin\operatorname{supp}\varphi\}$ の上で $0$ である。この 2 つの開集合の和は $F$ を含むので、$\operatorname{supp}G$ は $F$ と交わらない。超関数のテンソル積 の命題「テンソル積の台」により $F=\operatorname{supp}(T\otimes S)$ なので、$T\otimes S$ は $F$ の補集合の上で $0$ であり、$\langle T\otimes S,G\rangle=0$ である。
次に評価を示す。コンパクト集合 $M$ を固定し、$F_M$ の開近傍で $1$ となる $\chi_M$ を 1 つとる。$\operatorname{supp}\varphi\subset M$ なら $F_{\operatorname{supp}\varphi}\subset F_M$ なので、どの $\varphi\in\mathcal{D}_M$ にも同じ $\chi_M$ が使える。よって $\varphi\mapsto\langle T*S,\varphi\rangle$ は $\mathcal{D}_M$ の上で線形である（2 つのテスト関数の和は、両方の台を含む $M$ で扱う）。$\operatorname{supp}\chi_M\subset K\times L$ とすると、超関数のテンソル積 の定理「超関数のFubiniの定理」の 1 と Leibniz の公式、$\partial_x^\alpha\partial_y^\beta\varphi^+=(\partial^{\alpha+\beta}\varphi)^+$ から
$$ |\langle T*S,\varphi\rangle|\le C_KC_L\max_{|\alpha|\le N_K,\,|\beta|\le N_L}\sup|\partial_x^\alpha\partial_y^\beta(\chi_M\varphi^+)|\le C\max_{|\gamma|\le N_K+N_L}\sup|\partial^\gamma\varphi| $$
であり（$C$ は $M$ と $\chi_M$ による）、$T*S$ は超関数である。
2．$z_k=x_k+y_k\to z$、$(x_k,y_k)\in F$ とする。$M:=\{z_k\}\cup\{z\}$ はコンパクトなので $(x_k,y_k)\in F_M$ はコンパクト集合の点列であり、部分列が $(x,y)\in F$ に収束して $x+y=z$ である。よって和は閉集合である。$\operatorname{supp}\varphi$ が $\operatorname{supp}T+\operatorname{supp}S$ と交わらなければ $F_{\operatorname{supp}\varphi}=\emptyset$ なので $\chi=0$ がとれ、$\langle T*S,\varphi\rangle=0$ である。よって $T*S$ は和の補集合の上で $0$ である。
3 は変数の入れ替え、4 は積の形の切り落とし $\chi_1(x)\chi_2(y)$ による。

1．$\operatorname{supp}\partial^\alpha T\subset\operatorname{supp}T$ なので、台の条件は小さい台に引き継がれ、$T*S$ に使える $\chi$ はそのまま $(\partial_jT)*S$ にも使える。超関数のテンソル積 の命題「微分・積・収束・結合」の 1 から
$$ \langle(\partial_jT)*S,\varphi\rangle=\langle\partial_{x_j}(T\otimes S),\chi\varphi^+\rangle=-\langle T\otimes S,(\partial_{x_j}\chi)\varphi^+\rangle-\langle T\otimes S,\chi\,\partial_{x_j}\varphi^+\rangle $$
である。$\partial_{x_j}\chi$ は $\chi=1$ となる開近傍 $W$ の上で $0$ なので、$(\partial_{x_j}\chi)\varphi^+$ は $W$ と $\{x+y\notin\operatorname{supp}\varphi\}$ の上で $0$ であり、定理「畳み込みの基本性質」の 1 の証明と同じ理由で第 1 項は $0$ である。$\partial_{x_j}\varphi^+=(\partial_j\varphi)^+$ なので、第 2 項は $-\langle T*S,\partial_j\varphi\rangle=\langle\partial_j(T*S),\varphi\rangle$ である。$S$ の側も $\partial_{y_j}$ で同じ計算をすればよく、繰り返して一般の $\alpha$ と $P(\partial)$ を得る。
2．$\delta$ の台 $\{0\}$ はコンパクトなので、thm-cvd-basic の 4 により $\langle\delta*S,\varphi\rangle=\langle S,y\mapsto\langle\delta,\varphi(\cdot+y)\rangle\rangle=\langle S,\varphi\rangle$ である。後半は 1 による。
3．1 と 2 から $P(\partial)(E*f)=(P(\partial)E)*f=\delta*f=f$ である。$f$ の台がコンパクトなら thm-cvd-basic の 4（と 3）により台の条件が成り立つ。$\square$

定義により、$F_{\operatorname{supp}\psi}$ の開近傍 $W$ の上で $1$ となる $\chi$ について
$$ \langle T*\varphi,\psi\rangle=\langle T,k\rangle,\qquad k(x):=\int\varphi(y)\chi(x,y)\psi(x+y)\,dy $$
である（$\operatorname{supp}S=\operatorname{supp}\varphi$）。$k_0(x):=\int\varphi(y)\psi(x+y)\,dy=(\check\varphi*\psi)(x)$ とおくと $k_0\in\mathcal{D}$ である。$k=k_0$ が $\operatorname{supp}T$ の開近傍で成り立つことを示す。$C:=\{(x,y)\mid y\in\operatorname{supp}\varphi,\ x+y\in\operatorname{supp}\psi\}$ はコンパクトで、$C\cap F=F_{\operatorname{supp}\psi}\subset W$ である。コンパクト集合 $C\setminus W$ の点 $(x,y)$ は $y\in\operatorname{supp}\varphi$ なので $x\notin\operatorname{supp}T$ を満たし、その第 1 成分の像 $P$ はコンパクトで $\operatorname{supp}T$ と交わらない。$x\notin P$ なら、$\varphi(y)\psi(x+y)\ne0$ となる $y$ について $(x,y)\in C\cap W$ なので $\chi(x,y)=1$ であり、$k(x)=k_0(x)$ である。よって $\langle T,k\rangle=\langle T,k_0\rangle$ である。
次に $\Phi(x,z):=\varphi(z-x)\psi(z)$ とおくと $\Phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)$ で、$k_0(x)=\int\Phi(x,z)\,dz$ である。$1$ を $z$ の変数の上の Lebesgue 測度の正則超関数とすると、超関数のテンソル積 の定理「超関数のFubiniの定理」の 2 により
$$ \langle T,k_0\rangle=\langle T\otimes1,\Phi\rangle=\int\langle T,\Phi(\cdot,z)\rangle\,dz=\int\psi(z)\langle T,\varphi(z-\cdot)\rangle\,dz $$
である。$\square$

thm-cvd-consistency により $\langle T*\rho_\varepsilon,\psi\rangle=\langle T,\check\rho_\varepsilon*\psi\rangle$ である。$\check\rho$ も軟化子であり、$\check\rho_\varepsilon=(\check\rho)_\varepsilon$ である。$0<\varepsilon\le1$ なら $\check\rho_\varepsilon*\psi$ の台はコンパクト集合 $L:=\operatorname{supp}\psi+\overline B(0,1)$ に入り（軟化子 の記事の命題「軟化の基本性質」の 2）、$\partial^\alpha(\check\rho_\varepsilon*\psi)=\check\rho_\varepsilon*\partial^\alpha\psi$ は $\partial^\alpha\psi$ に一様収束する（同記事の定理「軟化による近似」の 1。$\partial^\alpha\psi$ は一様連続）。$T$ の $L$ での評価から $\langle T,\check\rho_\varepsilon*\psi\rangle\to\langle T,\psi\rangle$ である。$\square$