Bott周期性定理

$E_{ij}$ を $(i,j)$ ブロックが $I_N$ で他が $0$ の行列とする。$\mathcal{B}(z):=I+\sum_{j=2}^{d}z^{j-1}E_{j1}$ を右から掛けると、$zI-C$ の第 1 ブロック列は $\sum_jz^{j-1}\times$（第 $j$ ブロック列）に替わる。第 $i$ 行（$i< d$）では $z\cdot z^{i-1}-z^i=0$、第 $d$ 行では $\sum_{j< d}c_{j-1}z^{j-1}+(z+c_{d-1})z^{d-1}=Q(z)$ である。第 $1$〜$d-1$ ブロック行と第 $2$〜$d$ ブロック列の部分は、対角に $-I$、そのすぐ下に $zI$ が並ぶ $\mathcal{S}(z)=-I+zL$（$L$ はブロックを 1 つ下へずらす冪零行列）であり、$\mathcal{S}(z)^{-1}=-\sum_{k=0}^{d-2}z^kL^k$ である。第 $d$ ブロック行の第 $2$〜$d$ 列を $r(z)$ とし、$\mathcal{A}(z):=\begin{pmatrix}I&0\\-r(z)\mathcal{S}(z)^{-1}&I\end{pmatrix}$（行を第 $1$〜$d-1$ と第 $d$ に分けたブロック）を左から掛けると、第 $d$ 行の第 $2$〜$d$ 列が消え、

$$\mathcal{A}(zI-C)\mathcal{B}=\begin{pmatrix}0&\mathcal{S}\\Q&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal{S}&0\\0&Q\end{pmatrix}J$$

となる。ここで $J$ は、右から掛けると最後のブロック列を先頭へ移す置換行列である。$\mathcal{A},\mathcal{B}$ は対角ブロックが $I$ の三角行列、$\mathcal{S}$ も可逆なので 1 の前半が従う。$N=1$ なら両辺の行列式をとると $\det(zI-C)=\pm Q(z)$ で、両辺とも最高次の係数が $1$ の $d$ 次多項式なので符号は $+$ である。

2：$t\in[0,1]$ について $\mathcal{S}_t:=-I+tzL$、$\mathcal{B}_t:=I+t\sum_jz^{j-1}E_{j1}$、$\mathcal{A}_t:=\begin{pmatrix}I&0\\-tr\mathcal{S}_t^{-1}&I\end{pmatrix}$ はどれも可逆で、$G_t:=\mathcal{A}_t^{-1}\mathrm{diag}(\mathcal{S}_t,Q)J\mathcal{B}_t^{-1}$ は $G_1=zI-C$ と $G_0=\mathrm{diag}(-I,Q)J$ を結ぶクラッチング関数のホモトピーである。$z$ によらない因子 $\mathrm{diag}(-I,I)$ と $J$ を外すと（クラッチング構成 の命題「クラッチング構成の基本性質」の 4）、$[\varepsilon^{Nd},zI-C]\cong[\varepsilon^{Nd},\mathrm{diag}(I,Q)]\cong\varepsilon^{N(d-1)}\oplus[\varepsilon^N,Q]$ である。$\square$

1：$y$ を固定し $A=A(y)$ とする。Jordan標準形 の補題「広義固有空間への分解」により $\mathbb{C}^n=\bigoplus_\lambda G_\lambda$ で、$A$ は各 $G_\lambda$ を保ち、そこで $A=\lambda+N_\lambda$（$N_\lambda^n=0$）である。$|z|=1$ なら $G_\lambda$ の上で $(z-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{n-1}N_\lambda^k(z-\lambda)^{-k-1}$ である（右から $z-\lambda-N_\lambda$ を掛けると $I-N_\lambda^n(z-\lambda)^{-n}=I$）。$\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1}(z-\lambda)^{-k-1}dz$ は、$k\ge1$ なら原始関数 $-(z-\lambda)^{-k}/k$ があるので $0$ である。$k=0$ では、$|\lambda|<1$ なら $(z-\lambda)^{-1}=\sum_{m\ge0}\lambda^mz^{-m-1}$、$|\lambda|>1$ なら $(z-\lambda)^{-1}=-\sum_{m\ge0}z^m\lambda^{-m-1}$ が $|z|=1$ で一様に収束するので、項ごとに積分してそれぞれ $1$、$0$ である。よって $\Pi$ は主張のとおりの冪等行列で、$A$ と可換である。$(y,z)\mapsto(zI-A(y))^{-1}$ は $Y\times S^1$ 上で連続で、$S^1$ はコンパクトなので、$y$ が $y_0$ に近ければ $z\in S^1$ について一様に $(zI-A(y))^{-1}$ は $(zI-A(y_0))^{-1}$ に近い。よって積分 $\Pi(y)$ は $y$ について連続である。

2：冪等行列の固有値は $0,1$ なので $\operatorname{rank}e(y)=\operatorname{tr}e(y)$ は整数値の連続関数で、局所定数である。$y_0$ で $\operatorname{im}e(y_0)$ の基底 $v_1,\dots,v_r$ をとると、$e(y)v_i$ は $y$ について連続で $\operatorname{im}e(y)$ に入り、$y_0$ では $v_i$ に等しい。線形独立性は開条件なので（部分束・商束・双対束 の補題「線形独立性は開条件」）$y_0$ の近くで $e(y)v_1,\dots,e(y)v_r$ は線形独立で、階数が $r$ なので $\operatorname{im}e(y)$ の基底である。同じ記事の補題「部分束の局所枠による判定」により $\operatorname{im}e$ は部分束である。$I-e$ も冪等なので同様で、$(v,w)\mapsto v+w$ がファイバーごとの同型 $\operatorname{im}e\oplus\operatorname{im}(I-e)\to\varepsilon^n$ を与える。

3：$A$ は $\Pi$ と可換なので $V$、$V'$ を保ち、$A_+:=A|_V$ の固有値は絶対値が $1$ より小さく、$A_-:=A|_{V'}$ の固有値は $1$ より大きい。2 の同型で $zI-A$ は $(z-A_+)\oplus(z-A_-)$ に移る（クラッチング構成 の命題「クラッチング構成の基本性質」の 3・5）。$t\in[0,1]$、$|z|=1$ なら $tA_+$ の固有値の絶対値は $1$ より小さいので $z-tA_+$ は可逆であり、$[V,z-A_+]\cong[V,z]$ である。$|tz|\le1$ は $A_-$ の固有値の絶対値より小さいので $tz-A_-$ は可逆であり、$[V',z-A_-]\cong[V',-A_-]\cong[V',\mathrm{id}]$ である（$-A_-$ は $z$ によらない）。最後に、同じ命題の 2〜4 により $[V,z]\cong p^*V\otimes q^*H$、$[V',\mathrm{id}]\cong p^*V'$ である。$\square$

$Y:=X\times[0,1]$ とし、ホモトピーを $h\colon Y\times S^1\to\mathrm{GL}_N(\mathbb{C})$、$M:=\max\|h^{-1}\|$ とする。クラッチング構成 の補題「Laurent 近似」により、連続な係数をもつ Laurent 多項式 $T$ で $\|T-h\|<1/(3M)$ となるものがある。$T_j:=T(\cdot,j,\cdot)$ とし、$U:=T+(1-t)(g_0-T_0)+t(g_1-T_1)$ とおくと、$U$ は Laurent 多項式で $U(\cdot,j,\cdot)=g_j$ を満たし、$\|U-h\|<2/(3M)$ なので同じ補題の 2 により可逆である。$k\ge0$ を $P:=z^kU$ が $z$ の多項式になるようにとり、その次数を $D$（$\ge k+1$）とする。lem-bott-monic の $d>D$ と $\varepsilon$ をとり、$Q:=z^dI+\varepsilon^{-1}P-I$ の同伴行列を $C\colon Y\to\mathrm{M}_{Nd}(\mathbb{C})$ とする。lem-bott-companion の 1 により $C(y)$ は絶対値 $1$ の固有値をもたないので、lem-bott-riesz により $Y$ 上の部分束 $V:=\operatorname{im}\Pi\subset\varepsilon^{Nd}$ が得られる。包含 $x\mapsto(x,0)$ と $x\mapsto(x,1)$ はホモトピックなので、$X$ 上で $V_0:=V|_{X\times\{0\}}\cong V_1:=V|_{X\times\{1\}}$ である。

両端を求める。$P(\cdot,j,\cdot)=z^{k+1}e_j+z^k(I-e_j)$ なので、$\sigma_r(z):=z^d+\varepsilon^{-1}z^r-1$ とおくと $Q(\cdot,j,\cdot)=\sigma_{k+1}(z)e_j+\sigma_k(z)(I-e_j)$ である。$\mathbb{C}^{Nd}=\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^N$ と見ると、同伴行列の定義と $I=e_j+(I-e_j)$ から $C(\cdot,j)=C(\sigma_{k+1})\otimes e_j+C(\sigma_k)\otimes(I-e_j)$ である。ここで $C(\sigma)\in\mathrm{M}_d(\mathbb{C})$ はスカラーの多項式 $\sigma$ の同伴行列である。$e_j$ と $I-e_j$ は和が $I$ で積が $0$ の冪等行列なので、$(zI-C(\cdot,j))^{-1}=(z-C(\sigma_{k+1}))^{-1}\otimes e_j+(z-C(\sigma_k))^{-1}\otimes(I-e_j)$ であり、積分して $\Pi(\cdot,j)=\Pi_{k+1}\otimes e_j+\Pi_k\otimes(I-e_j)$ を得る（$\Pi_r$ は $C(\sigma_r)$ に対する lem-bott-riesz の冪等行列）。よって $W_r:=\operatorname{im}\Pi_r\subset\mathbb{C}^d$ とおくと $V_j=(W_{k+1}\otimes\operatorname{im}e_j)\oplus(W_k\otimes\operatorname{im}(I-e_j))$ である。

lem-bott-riesz の 1 と Jordan標準形 の補題「広義固有空間への分解」の 3 により、$\dim W_r$ は $C(\sigma_r)$ の絶対値 $1$ 未満の固有値の重複度の和であり、lem-bott-companion の 1 により $\det(zI-C(\sigma_r))=\sigma_r(z)$ なので、$\sigma_r$ の $|z|<1$ の根の重複度込みの個数に等しい。$|z|=1$ では $|\varepsilon\sigma_r(z)-z^r|=\varepsilon|z^d-1|\le2\varepsilon<1=|z^r|$ なので、Rouchéの定理 により $\varepsilon\sigma_r$ と $z^r$ の $|z|<1$ の零点の個数は等しく、$\dim W_r=r$ である。$W_r$ の基底をとると $V_j\cong(\operatorname{im}e_j)^{\oplus(k+1)}\oplus(\operatorname{im}(I-e_j))^{\oplus k}\cong\operatorname{im}e_j\oplus\varepsilon^{kN}$ である（lem-bott-riesz の 2 により $\operatorname{im}e_j\oplus\operatorname{im}(I-e_j)=\varepsilon^N$）。$V_0\cong V_1$ から $\operatorname{im}e_0\oplus\varepsilon^{kN}\cong\operatorname{im}e_1\oplus\varepsilon^{kN}$ となり、$K(X)$ で $[\operatorname{im}e_0]=[\operatorname{im}e_1]$ である。$\square$