イデアル層

1. $M\mapsto\widetilde{M}$ は完全関手なので（準連接層 の記事の命題「付随する層をとる関手の性質」）、単射 $I\to A$ から単射 $\widetilde{I}\to\widetilde{A}$ が得られる。$\widetilde{I}$ は $\mathcal{O}_X$ 加群層なので、その像は部分 $\mathcal{O}_X$ 加群層、すなわちイデアル層であり、定義により準連接である。
2. 同記事の命題「付随する層の茎と基本開集合上の切断」により $\widetilde{I}(D(f))=I_f$、$\widetilde{I}_{\mathfrak{p}}=I_{\mathfrak{p}}$ で、局所化は完全なのでこれらは $A_f$、$A_{\mathfrak{p}}$ の部分集合である。$I\not\subset\mathfrak{p}$ なら $I$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の単元を含むので $I_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$、$I\subset\mathfrak{p}$ なら $I_{\mathfrak{p}}\subset\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}\neq A_{\mathfrak{p}}$ である。よって $V(\widetilde{I})=V(I)$ である。
3. $\Gamma(X,\widetilde{I})=I$ は 3 で $f=1$ としたものである。逆に $\mathcal{I}$ を準連接イデアル層とし、$I:=\Gamma(X,\mathcal{I})$ とおく。$I$ は $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=A$ の部分 $A$ 加群、すなわちイデアルである。同記事の定理「準連接性の 3 つの特徴づけ」により、標準的な射 $\alpha\colon\widetilde{I}\to\mathcal{I}$ は同型である。合成 $\widetilde{I}\xrightarrow{\alpha}\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X=\widetilde{A}$ は準連接層の射で、大域切断の写像は包含 $I\subset A$ である。準連接層の間の射は大域切断の写像で決まる（上の命題の充満忠実性）ので、この合成は 1 の単射 $\widetilde{I}\to\widetilde{A}$ に等しい。したがって部分層として $\mathcal{I}=\widetilde{I}$ である。以上で $I\mapsto\widetilde{I}$ と $\mathcal{I}\mapsto\Gamma(X,\mathcal{I})$ は互いに逆である。包含について：$I\subset J$ なら各 $D(f)$ で $I_f\subset J_f$ なので、基本開集合が開基であることから $\widetilde{I}\subset\widetilde{J}$ であり、逆は大域切断をとればよい。$\square$

1. 制限 $i_U\colon i^{-1}(U)\to U$ は閉埋め込みであり（閉埋め込み の記事の命題「閉埋め込みは終域の上で局所的に判定できる」の証明の最初の段）、そのイデアル層は $\ker(i^\sharp|_U)=\mathcal{I}_Z|_U$ である。同記事の定理「アフィンスキームへの閉埋め込み」の 2 と 4 により、$i_U$ のイデアル層は $\widetilde{I}$ で、$I$ は $i^{-1}(U)\cong\operatorname{Spec}A/I$ をみたすただ 1 つのイデアルである。$X$ はアフィン開集合で覆えるので、$\mathcal{I}_Z$ は準連接である。
2. 1 と thm-ideal-sheaf-affine の 3 により $V(\mathcal{I}_Z)\cap U=V(I)$ であり、同じ定理「アフィンスキームへの閉埋め込み」の 2 により $V(I)=i(Z)\cap U$ である。$U$ を動かして $V(\mathcal{I}_Z)=i(Z)$ を得る。$i_*\mathcal{O}_Z\cong\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Z$ は def-ideal-sheaf-closed-immersion で見た。準連接層の余核は準連接である（準連接層 の記事の定理「準連接層の圏の閉性」）。$\square$

1. 要点：準連接性は局所的なので $X=U=\operatorname{Spec}A$ としてよく、和・積・共通部分はそれぞれ加群の射 $I\oplus J\to A$、$I\otimes_AJ\to A$、$A\to A/I\oplus A/J$ に付随する層の射の像・像・核である。$M\mapsto\widetilde{M}$ は完全で直和・テンソル積と交換するので、これらは $\widetilde{I+J}$、$\widetilde{IJ}$、$\widetilde{I\cap J}$ になる。
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   $M\mapsto\widetilde{M}$ は完全で直和と交換する（準連接層 の記事の命題「付随する層をとる関手の性質」）ので、像とも交換する。和の射 $\widetilde{I}\oplus\widetilde{J}=\widetilde{I\oplus J}\to\widetilde{A}$ は $\sigma\colon I\oplus J\to A$、$(a,b)\mapsto a+b$ に付随する射だから、その像は $\widetilde{\sigma(I\oplus J)}=\widetilde{I+J}$ である。同じ命題により $\widetilde{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\widetilde{J}\cong\widetilde{I\otimes_AJ}$ であり、積の射はこの同一視のもとで $\mu\colon I\otimes_AJ\to A$、$a\otimes b\mapsto ab$ に付随するので、像は $\widetilde{\mu(I\otimes_AJ)}=\widetilde{IJ}$ である。冪は積の繰り返しである。共通部分：$f\in\mathcal{O}_X(W)$ が $\mathcal{I}(W)$ に入ることは $\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ で $0$ に写ることと同値なので、$\mathcal{I}\cap\mathcal{J}=\ker(\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\oplus\mathcal{O}_X/\mathcal{J})$ である。$\mathcal{O}_X/\widetilde{I}=\widetilde{A/I}$ なので、これは $\widetilde{\ker(A\to A/I\oplus A/J)}=\widetilde{I\cap J}$ である。

2. 茎で考える。局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ の 2 つのイデアル $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ について、$\mathfrak{a}+\mathfrak{b}\neq\mathcal{O}_{X,x}$ は $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ がともに極大イデアルに含まれることと同値であり、$\mathfrak{a}\mathfrak{b}\neq\mathcal{O}_{X,x}$ と $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}\neq\mathcal{O}_{X,x}$ はどちらも「$\mathfrak{a}$ か $\mathfrak{b}$ の一方が真のイデアル」と同値である（両方が単位イデアルなら積も共通部分も単位イデアルで、一方が真なら積も共通部分もそれに含まれる）。def-ideal-sheaf-operations の茎の等式と合わせて主張を得る。$\square$

つねに $\mathcal{I}\mathcal{J}\subset\mathcal{I}\cap\mathcal{J}$ である。部分層は茎で決まるので、各点 $x$ で $\mathcal{I}_x\cap\mathcal{J}_x\subset\mathcal{I}_x\mathcal{J}_x$ を示せばよい。仮定から $\mathcal{I}_x+\mathcal{J}_x=\mathcal{O}_{X,x}$ なので $1=a+b$（$a\in\mathcal{I}_x$、$b\in\mathcal{J}_x$）と書ける。$c\in\mathcal{I}_x\cap\mathcal{J}_x$ なら $c=ca+cb$ で、$ca=ac\in\mathcal{I}_x\mathcal{J}_x$、$cb\in\mathcal{I}_x\mathcal{J}_x$ である。$\square$

1. $f$ を $V\to U$ に制限すると、引き戻しは開集合への制限と両立するので $(f^*\mathcal{I})|_V=(f|_V)^*\widetilde{I}$ である。準連接層 の記事の命題「引き戻し」により $(f|_V)^*\widetilde{I}\cong\widetilde{I\otimes_AB}$ であり、$f^*\mathcal{I}\to\mathcal{O}_Y$ は $V$ の上で包含 $I\to A$ に $\otimes_AB$ を施した $I\otimes_AB\to A\otimes_AB=B$、$a\otimes b\mapsto ab$ に付随する射になる。その像は $IB$ であり、$\widetilde{\ }$ は像と交換するので $(\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_Y)|_V=\widetilde{IB}$ である。このような $V$ は $Y$ を覆うので、$\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_Y$ は準連接である。
2. 閉埋め込み の記事の命題「閉埋め込みの底変換」とその証明により、$i'$ は閉埋め込みであり、上の $U,V$ について $i'^{-1}(V)=i^{-1}(U)\times_UV$ で、$i^{-1}(U)\cong\operatorname{Spec}A/I$ から $i'^{-1}(V)\to V$ は $\operatorname{Spec}B/IB\to\operatorname{Spec}B$ と同一視される。したがって prop-ideal-sheaf-closed-immersion の 1 により $\mathcal{I}_{Z'}|_V=\widetilde{IB}=(\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_Y)|_V$ である。$\mathcal{O}_Y$ の 2 つの部分層が開被覆の各開集合の上で一致するので $\mathcal{I}_{Z'}=\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_Y$ である。$\square$