矩形波・のこぎり波のFourier級数（高校数学）

段 1（$a_n=0$）。$(-\pi,\pi)$ の $0$ 以外の点で $f(-x)=-f(x)$、$g(-x)=-g(x)$ であり、$\cos nx$ は $\cos n(-x)=\cos nx$ を満たす。よって $f(x)\cos nx$ と $g(x)\cos nx$ は、$x$ と $-x$ で値の符号が逆になる。$x=-y$ と置き換えると $\displaystyle\int_{-\pi}^0f(x)\cos nx\,dx=\int_0^\pi f(-y)\cos ny\,dy=-\int_0^\pi f(y)\cos ny\,dy$ なので、$[-\pi,0]$ と $[0,\pi]$ の積分が打ち消し合って $a_n=0$ である（$n=0$ も含む）。$g$ も同じである。
段 2（矩形波の $b_n$）。同じ置き換えで、今度は $f(x)\sin nx$ が $x$ と $-x$ で同じ値になるので、$\displaystyle\int_{-\pi}^0f(x)\sin nx\,dx=\int_0^\pi f(y)\sin ny\,dy$ である。よって
$$ b_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx\,dx=\frac2\pi\left[-\frac{\cos nx}n\right]_0^\pi=\frac2\pi\cdot\frac{1-\cos n\pi}n=\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi n} $$
である。$n$ が奇数なら $1-(-1)^n=2$ で $b_n=\dfrac4{\pi n}$、偶数なら $0$ である。
段 3（のこぎり波の $b_n$）。段 2 と同じく $b_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi x\sin nx\,dx$ で、部分積分により
$$ \int_0^\pi x\sin nx\,dx=\left[-\frac{x\cos nx}n\right]_0^\pi+\frac1n\int_0^\pi\cos nx\,dx=-\frac{\pi\cos n\pi}n+\frac1n\left[\frac{\sin nx}n\right]_0^\pi=\frac{(-1)^{n+1}\pi}n $$
である。よって $b_n=\dfrac2\pi\cdot\dfrac{(-1)^{n+1}\pi}n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}n$ である。$\square$

跳びの点：$x=k\pi$（$k$ は整数）なら $\sin nx=\sin nk\pi=0$ なので、thm-fsq-coeff の部分和はどれも $0$ である。
跳びのない点：この部分は、この記事では証明せず、次の定理を引用する（Leb26b の Theorem 11.8.10）。
周期 $2\pi$ の関数 $h$ が $[-\pi,\pi]$ で積分可能で、ある点 $x$ について、正の数 $\delta$ と $M$ があって $\lvert t\rvert<\delta$ のすべての $t$ で $\lvert h(x+t)-h(x)\rvert\le M\lvert t\rvert$ が成り立つならば、$\displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N(x)=h(x)$ である。
$x$ が $\pi$ の整数倍でないとき、$\delta$ を $x$ から最も近い $\pi$ の整数倍までの距離とすると、$\lvert t\rvert<\delta$ で $f(x+t)=f(x)$ なので、$M=0$ で条件が成り立つ。$-\pi< x<\pi$ のときは、$\delta=\pi-\lvert x\rvert$ とすると、$\lvert t\rvert<\delta$ で $g(x+t)-g(x)=t$ なので、$M=1$ で条件が成り立つ。$\square$

prop-fsq-converge の (1) で $x=\dfrac\pi2$ とする。奇数 $n=2j-1$ について $\sin\dfrac{(2j-1)\pi}2=(-1)^{j-1}$ なので、$N=2m-1$ のとき
$$ S_N\left(\frac\pi2\right)=\frac4\pi\left(1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{m-1}}{2m-1}\right) $$
である。$f\left(\dfrac\pi2\right)=1$ なので、$m\to\infty$ で右辺のかっこの中は $\dfrac\pi4$ に近づく。$\square$

1 つ目の等号は、$\left(\dfrac{\sin(2k-1)x}{2k-1}\right)'=\cos(2k-1)x$ による。2 つ目は、積和の公式 $2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\beta-\alpha)$（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く の命題「積和の公式」）で $\alpha=x$、$\beta=(2k-1)x$ とすると
$$ 2\sin x\cos(2k-1)x=\sin2kx-\sin(2k-2)x $$
となることから出る。$k=1$ から $m$ まで足すと、右辺は隣どうしが打ち消し合って $\sin2mx-\sin0=\sin2mx$ が残る。$0< x<\pi$ で $\sin x>0$ なので、両辺を $2\sin x$ で割ってよい。$\square$

要点：ex-fsq-start の (3) により $S_{2m-1}(\pi-x)=S_{2m-1}(x)$ なので、$0< x\le\dfrac\pi2$ で考えればよい。$\dfrac\pi{2m}$ ずつの区間で $S_{2m-1}$ は増加と減少を繰り返し、各区間での増減の量は、$\dfrac1{\sin x}$ が $0< x\le\dfrac\pi2$ で減少することから、右の区間ほど小さい。したがって、山の高さは右へ行くほど低くなる。

方針：lem-fsq-peak により $M_m=S_{2m-1}\left(\dfrac\pi{2m}\right)$ である。この値を区分求積の和の形に書きかえる。
段 1（区分求積の和に書く）。$h=\dfrac\pi m$、$t_k=\left(k-\dfrac12\right)h=\dfrac{(2k-1)\pi}{2m}$ とおくと、$\dfrac1{2k-1}=\dfrac\pi{2mt_k}=\dfrac h{2t_k}$ なので
$$ M_m=\frac4\pi\sum_{k=1}^m\frac{\sin\frac{(2k-1)\pi}{2m}}{2k-1}=\frac4\pi\sum_{k=1}^m\frac h2\cdot\frac{\sin t_k}{t_k}=\frac2\pi\cdot h\sum_{k=1}^m\varphi(t_k),\qquad\varphi(t)=\frac{\sin t}t $$
である。$t_k$ は、$[0,\pi]$ を $m$ 等分した $k$ 番目の小区間 $[(k-1)h,kh]$ の中点である。
段 2（$\varphi$ は連続で減少）。$\varphi(0)=1$ と定めると、$\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}t=1$（sin x/xの極限）により $\varphi$ は $[0,\pi]$ で連続である。$0< t\le\pi$ で $\varphi'(t)=\dfrac{t\cos t-\sin t}{t^2}$ で、分子 $u(t)=t\cos t-\sin t$ は $u(0)=0$、$u'(t)=\cos t-t\sin t-\cos t=-t\sin t<0$（$0< t<\pi$）なので $u(t)<0$ である。よって $\varphi$ は $[0,\pi]$ で減少する。
段 3（極限）。区分求積と積分の定義 の系「区分求積の公式」により、連続関数 $\varphi$ について、各小区間から選んだ点での値の和は、$m\to\infty$ で積分に近づく。中点 $t_k$ を選ぶと
$$ \lim_{m\to\infty}h\sum_{k=1}^m\varphi(t_k)=\int_0^\pi\varphi(t)\,dt $$
である（$\varphi$ が減少するので、中点の和は右端の和 $h\sum\varphi(kh)$ と左端の和 $h\sum\varphi((k-1)h)$ の間にあり、この 2 つが積分に近づくことからも分かる）。段 1 とあわせて主張の極限を得る。
段 4（値）。$\displaystyle\int_0^\pi\frac{\sin t}t\,dt$ は初等関数で書けない。数値計算（中点の和や Taylor 展開による）で $1.85193\ldots$ で、$\dfrac2\pi$ 倍すると $1.17897\ldots$ である。これは Wei26 に載っている値 $1.851937052\ldots$、$1.178979744\ldots$ と一致する。$\square$