領域を使った最大・最小

不等式 $x^2+y^2\le5$ の表す領域（原点を中心とする半径 $\sqrt5$ の円の周と内部）で、$2x+y$ の最大値と最小値を求める（図 1）。
$2x+y=k$ とおくと、これは傾き $-2$、$y$ 切片 $k$ の直線である。この直線が領域と共有点をもつような $k$ の範囲を求めればよい。直線と円の周・内部が共有点をもつのは、円の中心 $(0,0)$ と直線 $2x+y-k=0$ の距離が半径 $\sqrt5$ 以下のときである。距離は $\dfrac{|-k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt5}$ なので、条件は
$$ \frac{|k|}{\sqrt5}\le\sqrt5\iff|k|\le5\iff-5\le k\le5 $$
である。最大値は $5$、最小値は $-5$ である。$k=5$ のとき直線 $2x+y=5$ は円に接し、接点は中心から直線に下ろした垂線の足 $(2,1)$ である（$2\cdot2+1=5$、$2^2+1^2=5$）。最小値の点は $(-2,-1)$ である。

今度は、$x^2+y^2\le5$ と $y\ge0$ を同時に満たす領域（半円の周と内部）で、$x+2y$ の最大値と最小値を求める（図 2）。
$x+2y=k$ とおく。円全体で考えると、ex-eor-hs-disk と同じ計算で $-5\le k\le5$ であり、$k=5$ の接点は $(1,2)$、$k=-5$ の接点は $(-1,-2)$ である。$(1,2)$ は $y\ge0$ を満たすので、半円でも最大値は $5$ である。ところが $(-1,-2)$ は $y<0$ で半円の外にあり、$k=-5$ の直線は半円と共有点をもたない。$k$ を $-5$ から大きくしていくと、直線が半円に初めて触れるのは端の点 $(-\sqrt5,0)$ で、そのとき $k=-\sqrt5$ である。最小値は $-\sqrt5$ になる（この答えの証明は ex-eor-halfdisk で与える）。

1. $f(x,y)=2x+y$ の等高線 $C_k$ は直線 $2x+y=k$ である。$k$ を変えると、法線ベクトル $(2,1)$ の向きに平行に動く（直線の方程式と点と直線の距離 の図 2 と同じ見方）。
2. $f(x,y)=x^2+y^2$ の等高線は、$k>0$ なら原点を中心とする半径 $\sqrt k$ の円、$k=0$ なら原点 1 点、$k<0$ なら空集合である。
3. $x\ne0$ の点で $f(x,y)=\dfrac yx$ とすると、等高線 $C_k$ は直線 $y=kx$ から原点を除いたものである。$\dfrac yx$ は原点と点 $(x,y)$ を結ぶ直線の傾きなので、等高線は「傾きが $k$ の、原点を通る直線」になる。
4. $f(x,y)=xy$ の等高線は、$k\ne0$ なら双曲線 $y=\dfrac kx$、$k=0$ なら 2 本の座標軸の和集合である。

$D$ を 2 つの離れた円板 $(x+3)^2+y^2\le1$ と $(x-3)^2+y^2\le1$ を合わせたものとし、$f=x$ を考える。左の円板の点では $-4\le x\le-2$、右の円板の点では $2\le x\le4$ で、どちらの範囲の値も（たとえば $y=0$ の点で）とられる。よって値の範囲は $-4\le k\le-2$ と $2\le k\le4$ の 2 つに分かれ、間の $k=0$ はとられない。直線 $x=0$ は 2 つの円板の間を通り、$D$ と共有点をもたない。

1. ex-eor-hs-disk：$(a,b)=(0,0)$、$r=\sqrt5$、$(p,q)=(2,1)$ なので $c=0$、$s=\sqrt5$、$rs=5$ で、値の範囲は $-5\le k\le5$ である。最大の点は $P_+=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}(2,1)=(2,1)$ である。
2. $(x-1)^2+(y+2)^2\le4$ で $3x-4y$ を考える。$c=3\cdot1-4\cdot(-2)=11$、$s=\sqrt{9+16}=5$、$r=2$ なので、値の範囲は $11-10\le k\le11+10$、つまり $1\le k\le21$ である。最大の点は
   $$ P_+=(1,-2)+\frac25(3,-4)=\left(\frac{11}5,\ -\frac{18}5\right) $$
   で、$3\cdot\dfrac{11}5-4\cdot\left(-\dfrac{18}5\right)=\dfrac{33+72}5=21$ である。$\left(\dfrac{11}5-1\right)^2+\left(-\dfrac{18}5+2\right)^2=\dfrac{36+64}{25}=4$ で、確かに円の周の上にある。

ex-eor-hs-halfdisk の領域 $D$：$x^2+y^2\le5$、$y\ge0$ と $f=x+2y$ を考える。
段 1（最大値）。円板 $x^2+y^2\le5$ での最大値は、thm-eor-disk により $5$ で、点 $(1,2)$ でとる。$(1,2)$ は $y\ge0$ を満たすので $D$ の点であり、prop-eor-subset により $D$ での最大値も $5$ である。
段 2（最小値の候補）。円板での最小の点 $(-1,-2)$ は $D$ に含まれないので、prop-eor-subset は使えない。図 2 では、直線 $x+2y=k$ を $k$ が小さくなる向きに動かすと、最後に $D$ に触れるのは端の点 $(-\sqrt5,0)$ に見える。そこで $-\sqrt5$ が最小値であることを不等式で示す。
段 3（下からの評価）。$D$ の点では $y\ge0$ なので $x+2y\ge x$ である。また $x^2\le x^2+y^2\le5$ なので $x\ge-\sqrt5$ である。合わせて $x+2y\ge-\sqrt5$ である。
段 4（等号）。$(-\sqrt5,0)$ は $x^2+y^2=5\le5$、$y=0\ge0$ を満たすので $D$ の点で、$f=-\sqrt5$ である。よって最小値は $-\sqrt5$ である。

領域 $D$：$x^2+y^2\le4$、$x+y\ge2$ を考える。円の周と、弦 $x+y=2$（両端 $(2,0)$、$(0,2)$）で囲まれた弓形である。
(1) $x+y$ の最大値。円板 $x^2+y^2\le4$ での最大の点は、thm-eor-disk により $\dfrac2{\sqrt2}(1,1)=(\sqrt2,\sqrt2)$ で、値は $2\sqrt2$ である。$\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\ge2$ なので $D$ の点であり、prop-eor-subset により $D$ での最大値も $2\sqrt2$ である。
(2) $x+y$ の最小値。$D$ の点では $x+y\ge2$ で、弦の上の点、たとえば $(1,1)$（$1+1\le4$）で $2$ になる。最小値は $2$ で、弦 $x+y=2$ の上のすべての点（$0\le x\le2$）でとる。等高線 $x+y=2$ が境界の線分と重なるので、最小値をとる点は 1 つではない。
(3) $x-y$ の最大値。円板での最大の点は $(\sqrt2,-\sqrt2)$ で、$x+y=0<2$ なので $D$ の外である。$D$ の点では $-y\le x-2$（$x+y\ge2$ から）なので $x-y\le2x-2$ であり、$x^2\le4$ から $x\le2$ なので $x-y\le2$ である。等号は $x=2$ のときで、$x^2+y^2\le4$ から $y=0$ となる。最大値は $2$ で、弦の端の点 $(2,0)$ でとる。

領域 $D$：$(x-2)^2+y^2\le1$ で、$\dfrac yx$ の最大値と最小値を求める（図 3）。$D$ の点では $1\le x\le3$ なので $x\ne0$ である。
段 1（等高線）。$\dfrac yx=k$ となる点は、原点を通る直線 $y=kx$ の上の、原点以外の点である。原点は $D$ に含まれないので、$C_k$ と $D$ が共有点をもつことは、直線 $kx-y=0$ と $D$ が共有点をもつことと同じである。
段 2（距離の条件）。prf-eor-disk-distance の段 2 と同じく、直線と円板が共有点をもつのは、中心 $(2,0)$ と直線の距離が半径 $1$ 以下のときである。
$$ \frac{|2k-0|}{\sqrt{k^2+1}}\le1\iff4k^2\le k^2+1\iff k^2\le\frac13\iff-\frac1{\sqrt3}\le k\le\frac1{\sqrt3} $$
（1 つ目の同値は、両辺が $0$ 以上なので 2 乗して分母を払った）。最大値は $\dfrac1{\sqrt3}$、最小値は $-\dfrac1{\sqrt3}$ である。
段 3（最大の点）。$k=\dfrac1{\sqrt3}$ の直線 $y=\dfrac1{\sqrt3}x$ に中心 $(2,0)$ から下ろした垂線の足は $\left(\dfrac32,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。$\left(\dfrac32-2\right)^2+\dfrac34=1$ で円の周の上にあり、$\dfrac{\sqrt3/2}{3/2}=\dfrac1{\sqrt3}$ である。原点からこの円に引いた接線の傾きが、最大値と最小値になっている。
同じように、$\dfrac{y-b}{x-a}$ は点 $(a,b)$ と点 $(x,y)$ を結ぶ直線の傾きなので、等高線は点 $(a,b)$ を通る直線になる。

領域 $D$：$x^2+y^2\le1$ で、$f=(x-3)^2+(y-4)^2$ の最大値と最小値を求める。$f$ の等高線は、点 $A(3,4)$ を中心とする半径 $\sqrt k$ の円である（$k>0$ のとき）。$f(P)$ は $A$ と $P$ の距離 $AP$ の 2 乗である。
段 1（三角形の不等式）。$O$ を原点とすると $OA=\sqrt{9+16}=5$ である。$D$ の点 $P$ では $OP\le1$ なので、3 点 $O$、$P$、$A$ についての三角形の不等式（長さの三角不等式。Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学） の系「長さの三角不等式と角」）から
$$ AP\ge OA-OP\ge5-1=4,\qquad AP\le OA+OP\le5+1=6 $$
である。
段 2（等号）。$P=\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$（線分 $OA$ 上で $OP=1$）では $AP=5-1=4$、$P=\left(-\dfrac35,-\dfrac45\right)$ では $AP=5+1=6$ である。どちらも $D$ の点である。
よって最小値は $4^2=16$、最大値は $6^2=36$ である。等高線の言葉では、$A$ を中心とする円が単位円に外から接するとき（半径 $4$）と、単位円を内側に含んで接するとき（半径 $6$）である。

領域 $D$：$x\ge0$、$y\ge0$、$x+2y\le4$（三角形）で、$xy$ の最大値を求める（図 4）。
段 1（接する $k$ を判別式で探す）。$k>0$ の等高線は双曲線 $xy=k$ である。図 4 で $k$ を大きくしていくと、双曲線は右上へ動き、最後に辺 $x+2y=4$ に触れそうに見える。辺の直線の上で $x=4-2y$ を代入すると $(4-2y)y=k$、つまり
$$ 2y^2-4y+k=0 $$
である。この 2 次方程式の判別式を $\Delta$ とすると $\dfrac\Delta4=4-2k$ で、$k=2$ のとき重解 $y=1$ をもつ。このとき $x=4-2=2$ で、双曲線 $xy=2$ は直線 $x+2y=4$ に点 $(2,1)$ で接する。$(2,1)$ は $x\ge0$、$y\ge0$ を満たすので辺の上にある。
段 2（最大値であることの証明）。$D$ の点では $x\ge0$、$2y\ge0$ なので、2 数 $x$、$2y$ の相加平均と相乗平均の関係 $x\cdot2y\le\left(\dfrac{x+2y}2\right)^2$（相加平均と相乗平均。差が $\dfrac{(x-2y)^2}4\ge0$ であることから出る）と $x+2y\le4$ を使うと
$$ xy=\frac12\cdot x\cdot2y\le\frac12\left(\frac{x+2y}2\right)^2\le\frac12\cdot\left(\frac42\right)^2=2 $$
である。$(2,1)$ で $xy=2$ なので、最大値は $2$ である。
段 1 は「どこで接するか」を見つけ、段 2 は「それが本当に最大か」を示している。段 1 だけでは、双曲線が $D$ の別の場所で $D$ と交わっていないことは分からない。最小値は、座標軸の上の点（たとえば原点）での $0$ である。

領域 $D$：$1\le x^2+y^2\le4$（2 つの円の間の円環）で、$f=x$ を考える（図 5）。
直線 $x=1$ は内側の円 $x^2+y^2=1$ に点 $(1,0)$ で接し、$(1,0)$ は $D$ の点である。しかし $k=1$ は最大値ではない。$(2,0)$ も $D$ の点で、$f=2>1$ だからである。実際、$D$ の点では $x\le\sqrt{x^2+y^2}\le2$ なので、最大値は外側の円に接する $x=2$ のときの $2$ である。
満たさない仮定：領域が穴のない円板であること。崩れる主張：境界の円に接する直線の $k$ は最大値か最小値であること。thm-eor-disk の 3 で「接するときが最大・最小」と言えたのは、円板が接線の片側だけにあるからである。円環は内側の円の接線 $x=1$ の両側にまたがっている。

領域 $D$：$y\ge x^2$（放物線とその上側）で、$f=y-2x$ を考える。
段 1（接する直線）。等高線は直線 $y=2x+k$ である。放物線 $y=x^2$ と連立すると $x^2-2x-k=0$ で、判別式を $\Delta$ とすると $\dfrac\Delta4=1+k$ である。$k=-1$ のとき重解 $x=1$ をもち、直線 $y=2x-1$ は放物線に点 $(1,1)$ で接する。
段 2（最小値）。$D$ の点では $y\ge x^2$ なので $y-2x\ge x^2-2x=(x-1)^2-1\ge-1$ で、$(1,1)$ で等号が成り立つ。最小値は $-1$ である。
段 3（最大値はない）。点 $(0,t)$（$t\ge0$）は $D$ の点で、$f=t$ である。$t$ はいくらでも大きくできるので、最大値はない。
満たさない仮定：領域が有界であること。崩れる主張：接する $k$ の反対側にも最大値があること。ex-eor-hs-disk では直線を動かすと 2 か所で接したが、ここでは接する位置が 1 か所しかない。

領域 $D$：$x^2+y^2<5$（円の内部だけで、周を含まない）で $2x+y$ を考える。prf-eor-disk-cs の段 1 と同じ計算で、$D$ の点では $2x+y\le\sqrt5\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt5\cdot\sqrt5=5$ である。一方、$0< t<1$ として点 $(2t,t)$ は $4t^2+t^2=5t^2<5$ なので $D$ の点で、値は $5t$ である。$t$ を $1$ に近づけると $5t$ は $5$ にいくらでも近づくので、$5$ 未満のどんな数 $m$ についても、$m$ より大きい値がある。$D$ での最大値 $M$ があるとすると、$M$ も $D$ の点での値なので $M<5$ だが、$M$ より大きい値があることになり矛盾する。よって最大値はない。
満たさない仮定：領域が境界を含むこと。崩れる主張：接するときの $k=5$ が最大値としてとられること。接点 $(2,1)$ は周の上にあり、$D$ から除かれている。