作用素のスペクトル

同義語：点スペクトル連続スペクトル剰余スペクトル近似点スペクトル近似固有値spectrum of an operator

概要

前提知識: Banach空間, 線形写像, 固有値, 開写像定理

定義

以下、$X\ne\{0\}$ は複素数体上の Banach 空間、$T\colon X\to X$ は全域で定義された有界複素線形作用素とする。$I$ は恒等作用素である。$T$ が有界であるとは、ある定数 $C$ に対して $\|Tx\|\le C\|x\|$ がすべての $x\in X$ で成り立つことをいう。作用素ノルムは $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|$ である。
固有値を調べる問題は、方程式 $(\lambda I-T)x=0$ が零でない解を持つかという問題である。スペクトルは、非斉次方程式 $(\lambda I-T)x=y$ を、任意の右辺 $y$ に対して安定に解けるかまで調べる。

作用素のスペクトル

$\lambda I-T\colon X\to X$ が全単射で、その逆作用素が有界であるような複素数 $\lambda$ の全体を レゾルベント集合 といい、$\rho(T)$ と書く。その補集合
$$ \sigma(T)=\mathbb C\setminus\rho(T) $$
を $T$ の スペクトル（spectrum）という。$\lambda\in\rho(T)$ における逆作用素 $R(\lambda,T)=(\lambda I-T)^{-1}$ をレゾルベントという。

今の設定では、全単射な有界作用素の逆は開写像定理の有界逆写像定理によって自動的に有界である。従って $\lambda\in\sigma(T)$ は、$\lambda I-T$ が単射でないか、全射でないことと同値である。ただし、像の上だけで定義する逆作用素の有界性は別問題である。単射でも像が閉じていなければ、その逆は有界でない。
定義の基本形と固有値との差は Bre11 §6.3、Remark 6 に対応する。同書のこの節は実 Banach 空間を基本とするが、ここでは複素数体を固定する。$\lambda I-T$ の代わりに $T-\lambda I$ を使っても、逆が存在するかと逆の有界性は変わらないのでスペクトルは同じである。レゾルベントそのものは符号が変わる。

三つの部分への分け方

像の 稠密性 とは、そのノルム閉包が空間全体になることである。像が稠密であることと、像が空間全体に等しいことは区別する。前者は各右辺を解ける右辺でいくらでも近似できること、後者は各右辺を正確に解けることを表す。

点・連続・剰余スペクトル

$A_\lambda=\lambda I-T$ とおく。次の互いに重ならない三つの集合を用いる。

点スペクトル $\sigma_p(T)$ は、$\ker A_\lambda\ne\{0\}$ となる $\lambda$ の全体である。これは固有値の集合である。
連続スペクトル $\sigma_c(T)$ は、$A_\lambda$ が単射で、その像が稠密だが全射でない $\lambda$ の全体である。
剰余スペクトル $\sigma_r(T)$ は、$A_\lambda$ が単射で、その像が稠密でない $\lambda$ の全体である。

この排他的な分類は DLMF §1.18(ix) の「Spectrum of an Operator」の約束と一致する。文献によっては、像が稠密でない点を単射性と無関係に剰余スペクトルと呼び、その場合は点スペクトルと重なり得る。本記事の $\sigma_r(T)$ には単射性を要求し、固有値を入れない。
この定義における「連続」は、$\lambda$ の集合が区間になることや、スペクトル測度が連続であることを意味しない。連続スペクトルの定義は、個々の $\lambda$ における逆作用素と像の性質を述べている。測度による絶対連続・特異連続という分解はスペクトル定理の先の別の分類である。

$A_\lambda$ の性質	属する場所	方程式について分かること
単射でない	$\sigma_p(T)$	斉次方程式に零でない解がある
単射、像は稠密、非全射	$\sigma_c(T)$	解はあれば一意だが、解けない右辺がある
単射、像は非稠密	$\sigma_r(T)$	解ける右辺の近似でも届かない右辺がある
単射かつ全射	$\rho(T)$	すべての右辺を一意かつ有界な逆で解ける

全単射なら有界逆写像定理が使え、単射でない場合を除けば像は稠密か非稠密のいずれかである。このため
$$ \sigma(T)=\sigma_p(T)\,\dot\cup\,\sigma_c(T)\,\dot\cup\,\sigma_r(T) $$
となる。$\dot\cup$ は互いに素な和を表す。有限次元では単射と全射が同値なので、連続・剰余スペクトルは空である。この有限次元の結論を、そのまま無限次元へ移してはいけない。

直感と最初の例

スペクトルの三分類は「行列式が零」の代わりに、核と像を個別に調べるための分類である。無限次元では、座標を一つずらすだけの作用素でも単射と全射が分かれる。また、像が稠密な真部分空間になると、解の一意性と近似可能性があっても、解の安定性は失われる。

有限次元では固有値だけになる

$X=\mathbb C^2$、$T(z_1,z_2)=(az_1,bz_2)$ とする。$\lambda\ne a,b$ では $A_\lambda$ の逆は $(y_1,y_2)\mapsto(y_1/(\lambda-a),y_2/(\lambda-b))$ である。$\lambda=a$ または $b$ では零でない核がある。従って $\sigma(T)=\sigma_p(T)=\{a,b\}$、$\sigma_c(T)=\sigma_r(T)=\emptyset$ である。$a=b$ でも同じ記述が成り立つ。

有限次元でスペクトルの点を数えることと、その固有空間が全空間を張ることも別である。例えば零でない二次の冪零行列はスペクトルが $\{0\}$ だが、固有ベクトルの基底を持たない。スペクトルを求めるだけで、対角化まで得られるわけではない。

固有値の極限に現れる連続スペクトル

$X=\ell^2(\mathbb N;\mathbb C)$ とし、$D(x_n)=(x_n/n)$ とする。$0$ は固有値ではない。一方、$D$ の像は有限個の成分だけが非零の列をすべて含むので稠密であるが、全射ではない。この像の計算は閉値域定理の例「像が閉じていない対角作用素」にある。従って $0\in\sigma_c(D)$ である。また標準単位ベクトル $e_n$ は固有値 $1/n$ の固有ベクトルであり、$\|De_n\|=1/n\to0$ となる。

この例では、各固有値 $1/n$ が点スペクトルに入る一方、その極限 $0$ は連続スペクトルに入る。スペクトル全体が閉であることから、点スペクトルだけも閉であると結論することはできない。

すでに分かっている一般的な性質

$B(X)$ を有界線形作用素全体の Banach 代数とすると、上の定義は $T\in B(X)$ の代数的スペクトルに一致する。従って Banach代数の定理「スペクトルは非空コンパクト」により、
$$ \emptyset\ne\sigma(T)\subset\{\lambda\in\mathbb C:|\lambda|\le\|T\|\} $$
であり、$\sigma(T)$ はコンパクトである。この一般定理の証明は同記事に譲り、ここでは繰り返さない。$X\ne\{0\}$ と複素数体はこの非空性に必要な仮定である。
$\rho(T)$ の開性、レゾルベントの正則性と恒等式はレゾルベントの定理「レゾルベントの展開と正則性」「レゾルベント恒等式」にある。特に $|\lambda|>\|T\|$ では
$$ R(\lambda,T)=\lambda^{-1}\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{-n}T^n $$
が作用素ノルムで収束し、$\lambda\in\rho(T)$ である。これは Banach代数の命題「Banach 代数の Neumann 級数」の適用である。以下のシフトの計算でも、この外側の領域は共通して使える。

近似固有ベクトルと解の不安定性

零でない固有ベクトルがなくても、単位ベクトルに対して $Tx$ と $\lambda x$ の差をいくらでも小さくできることがある。これは、逆作用素を有界にできない理由を数値的な誤差の形で表す。

近似点スペクトル

$\|x_n\|=1$ かつ $\|(\lambda I-T)x_n\|\to0$ を満たす列 $(x_n)$ が存在するとき、$\lambda$ を 近似固有値 といい、その全体を 近似点スペクトル $\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$ という。列 $(x_n)$ を近似固有ベクトルの列という。

近似点スペクトルの判定と三分類

$\lambda\in\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$ であることは、$A_\lambda$ が下から有界でないこと、すなわち $\|A_\lambda x\|\ge c\|x\|$ を全 $x$ で満たす $c>0$ が存在しないことと同値である。また
$$ \sigma_p(T)\cup\sigma_c(T)\subset\sigma_{\mathrm{ap}}(T)\subset\sigma(T) $$
であり、$\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$ は閉集合である。

下からの評価があれば単位列の残差は $c$ 以上なので零に近づかない。逆にそのような評価がなければ、各正整数 $n$ に対して $\|x_n\|=1$、$\|A_\lambda x_n\|<1/n$ となる元を選べる。これで最初の同値を得る。
固有値では単位固有ベクトルを繰り返せばよい。連続スペクトルでは $A_\lambda$ は単射で像が稠密だが全射でない。もし下からの評価があれば、開写像定理の命題「下からの評価と閉な像」により像は閉となり、稠密性から全射となって矛盾する。従って連続スペクトルも近似点スペクトルに含まれる。
$\lambda\in\rho(T)$ なら $x=R(\lambda,T)A_\lambda x$ から $\|A_\lambda x\|\ge\|x\|/\|R(\lambda,T)\|$ である。従って近似点スペクトルに入らない。最後に $A_\lambda$ が定数 $c>0$ で下から有界なら、$|\mu-\lambda|< c/2$ に対して
$$ \|A_\mu x\|\ge\|A_\lambda x\|-|\mu-\lambda|\|x\|\ge(c/2)\|x\| $$
となる。近似点スペクトルの補集合は開なので、主張した閉性が従う。$\square$

この命題がいうのは、近似固有値が真の固有値とは限らないということである。$A_\lambda$ が単射なら、近似列は異なる小さい右辺 $y_n=A_\lambda x_n\to0$ を作るが、その解 $x_n$ のノルムは常に1である。右辺の小ささから解の小ささを一様には保証できず、逆作用素は像の上で非有界になる。逆に、解けない右辺があるという理由だけでは近似固有ベクトルの存在は結論できない。

スペクトルの境界は近似固有値からなる

複素平面内での境界について、$\partial\sigma(T)\subset\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$ である。

$\lambda\in\partial\sigma(T)$ とし、$\lambda_n\in\rho(T)$、$\lambda_n\to\lambda$ を選ぶ。スペクトルは閉だから $\lambda\in\sigma(T)$ である。レゾルベントの定理「レゾルベントの展開と正則性」にある評価により、
$$ \|R(\lambda_n,T)\|\ge\frac1{\operatorname{dist}(\lambda_n,\sigma(T))}\ge\frac1{|\lambda_n-\lambda|}\longrightarrow\infty. $$
作用素ノルムの上限の定義から、$\|y_n\|=1$ かつ $\|R(\lambda_n,T)y_n\|\ge\|R(\lambda_n,T)\|/2$ となる $y_n$ を選べる。$x_n=R(\lambda_n,T)y_n/\|R(\lambda_n,T)y_n\|$ とおけば $\|x_n\|=1$ であり、
$$ \|A_\lambda x_n\|\le\|A_{\lambda_n}x_n\|+|\lambda-\lambda_n| \le\frac2{\|R(\lambda_n,T)\|}+|\lambda-\lambda_n|\longrightarrow0. $$
従って $\lambda$ は近似固有値である。$\square$

この結論は「スペクトルのすべての点が近似固有値である」とは述べていない。次の右シフトでは、円周は近似固有値になるが、円板の内部は近似固有値にならない。

右シフト：固有値がなくてもスペクトルは円板になる

$H=\ell^2(\mathbb N;\mathbb C)$ に内積 $\langle x,y\rangle=\sum_{n\ge1}x_n\overline{y_n}$ を入れる。内積は第1変数で線形とする。右シフトと左シフトを
$$ S(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots),\qquad L(x_1,x_2,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots) $$
とする。$\|Sx\|=\|x\|$、$\|Lx\|\le\|x\|$、$Le_2=e_1$ なので両作用素のノルムは1である。随伴の計算は随伴作用素の節「行列、ずらし、掛け算作用素」にあり、$S^*=L$、$L^*=S$ である。以下では固有値だけでなく、すべての複素数について像の性質を計算する（Bre11 Exercise 6.18 の複素数体上の計算）。
像の稠密性には、随伴作用素の命題「核と像の直交補」を使う。それを $A_\lambda=\lambda I-T$ に当てると
$$ \overline{\operatorname{ran}(\lambda I-T)} =\bigl(\ker(\overline\lambda I-T^*)\bigr)^\perp $$
である。従って像が稠密であることと、$\overline\lambda$ が $T^*$ の固有値でないことは同値である。複素共役を落とさないことと、この式には像の閉包が付いていることが重要である。

右シフトの三分類

右シフト $S$ について
$$ \sigma(S)=\{\lambda:|\lambda|\le1\},\quad \sigma_p(S)=\emptyset,\quad \sigma_c(S)=\{\lambda:|\lambda|=1\},\quad \sigma_r(S)=\{\lambda:|\lambda|<1\}. $$
近似点スペクトルは円周 $\sigma_{\mathrm{ap}}(S)=\{\lambda:|\lambda|=1\}$ である。

まず $Sx=\lambda x$ を考える。$\lambda\ne0$ なら第1成分から $x_1=0$、次の成分を順に比較して全 $x_n=0$ となる。$\lambda=0$ でも $S$ は単射なので $x=0$ である。従って固有値はない。$|\lambda|>1$ は、すでに述べた Neumann 級数の評価によりレゾルベント集合に入る。
$|\lambda|<1$ では逆三角不等式から
$$ \|(S-\lambda I)x\|\ge\|Sx\|-|\lambda|\|x\|=(1-|\lambda|)\|x\| $$
であり、像は閉である。一方、$Ly=\overline\lambda y$ の解は
$$ y=c(1,\overline\lambda,\overline\lambda^2,\ldots) $$
であり、これは $|\lambda|<1$ なら任意の $c\in\mathbb C$ について $\ell^2$ に入る。上の核と像の公式より、$S-\lambda I$ の像はこの一次元の核の直交補に等しい。特に稠密でなく、全射でもない。従って円板内部は剰余スペクトルである。また表示した正の下界から、内部には近似固有値がない。
$|\lambda|=1$ では、$Ly=\overline\lambda y$ の同じ漸化式に非零の $\ell^2$ 解がないので、$S-\lambda I$ の像は稠密である。ここで
$$ x^{(N)}=N^{-1/2}(1,\lambda^{-1},\ldots,\lambda^{-(N-1)},0,0,\ldots) $$
を取ると、$\|x^{(N)}\|=1$ で、$(S-\lambda I)x^{(N)}$ の非零成分は第1成分と第 $N+1$ 成分だけである。それぞれの絶対値は $N^{-1/2}$ だから
$$ \|(S-\lambda I)x^{(N)}\|=\sqrt{2/N}\longrightarrow0. $$
もし全射なら、単射でもあるので有界逆写像定理によって正の下界が存在し、この列に矛盾する。よって像は稠密だが非全射、すなわち連続スペクトルである。円周の近似固有ベクトルも具体的に得られた。内側と外側は下から有界なので、近似点スペクトルは円周だけである。$\square$

内側の像はより明示的に
$$ \operatorname{ran}(S-\lambda I) =\left\{z\in\ell^2:\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}z_n=0\right\} \qquad(|\lambda|<1) $$
と書ける。級数は Cauchy–Schwarz の不等式によって絶対収束する。この連続線形汎関数が零になることが、右辺 $z$ に対する可解性の条件である。$\lambda=0$ では単に $z_1=0$ となる。右シフトの「最初の成分に値を作れない」という現象が、円板内部の各 $\lambda$ で一つの線形条件として残っている。

左シフト：同じ円板が異なる三分類を持つ

左シフトの三分類

左シフト $L$ について
$$ \sigma(L)=\{\lambda:|\lambda|\le1\},\quad \sigma_p(L)=\{\lambda:|\lambda|<1\},\quad \sigma_c(L)=\{\lambda:|\lambda|=1\},\quad \sigma_r(L)=\emptyset. $$
近似点スペクトルは閉円板全体である。$|\lambda|<1$ では $L-\lambda I$ は全射だが単射でない。

方程式 $Lx=\lambda x$ は $x_{n+1}=\lambda x_n$ と同値なので、解は $x=c(1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ である。非零解が $\ell^2$ に入ることは $|\lambda|<1$ と同値である。従って点スペクトルは開円板であり、各固有空間は一次元である。
$|\lambda|<1$ では $LS=I$ より
$$ (L-\lambda I)S=I-\lambda S $$
である。右辺は Neumann 級数によって可逆なので、$S(I-\lambda S)^{-1}$ は $L-\lambda I$ の右逆である。従って $L-\lambda I$ は全射である。核が非零なので二つの片側逆を持つ逆作用素ではない。
$|\lambda|=1$ では上の固有ベクトルの形から単射である。また $L^*=S$ に固有値がないことは前定理で確認したので、核と像の公式から $L-\lambda I$ の像は稠密である。単位ベクトル
$$ u^{(N)}=N^{-1/2}(1,\lambda,\ldots,\lambda^{N-1},0,0,\ldots) $$
に対しては、$(L-\lambda I)u^{(N)}$ の非零成分は第 $N$ 成分だけで、その絶対値は $N^{-1/2}$ である。従って残差は零に近づき、有界逆写像定理により全射ではない。よって円周は連続スペクトルである。
$|\lambda|>1$ は $\|L\|=1$ と Neumann 級数によってレゾルベント集合に入る。以上ですべての複素数を調べ終え、剰余スペクトルは空である。開円板では固有ベクトル、円周では表示した近似列を使えるので、近似点スペクトルは閉円板全体になる。$\square$

$\lambda$ の領域	右シフト $S$	左シフト $L$
$\lvert\lambda\rvert<1$	単射、像は閉な余次元1部分空間、剰余スペクトル	全射、核は一次元、点スペクトル
$\lvert\lambda\rvert=1$	単射、像は稠密だが非全射、連続スペクトル	単射、像は稠密だが非全射、連続スペクトル
$\lvert\lambda\rvert>1$	有界な逆がある	有界な逆がある

二つの作用素は同じスペクトルを持つが、円板内部で単射性と全射性が逆になる。スペクトルを集合として知ることと、方程式のどの性質が失敗しているかを知ることは異なる。$LS=I$ だけから $SL=I$ としてはいけない。実際 $SL$ は第1成分を零にする射影である。

近似固有値と剰余スペクトルは別の軸である

右シフトの剰余スペクトルの各点では $S-\lambda I$ に正の下界がある。従って、スペクトルに入るすべての点で近似固有ベクトルが作れるわけではない。一方、剰余スペクトルの点では近似固有ベクトルが作れない、と反対向きに一般化することもできない。

剰余スペクトルにも近似固有値がある例

上の右シフト $S$ と対角作用素 $D(x_n)=(x_n/n)$ の直和 $T=S\oplus D$ を $H\oplus H$ 上で考える。両者は単射なので $T$ も単射である。しかし $\operatorname{ran}T$ の第1成分は、常に先頭の座標が零である。連続汎関数 $(y,z)\mapsto y_1$ が像上で零になるので、像は稠密ではなく $0\in\sigma_r(T)$ である。
同時に $v_n=(0,e_n)$ は単位ベクトルで、$\|Tv_n\|=\|De_n\|=1/n\to0$ である。従って $0\in\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$ でもある。近似点スペクトルは三分類の第四の排他的な部分ではない。

三分類は核と像の稠密性・全射性を使う。一方、近似固有値は単位球面上の残差の下限を使う。この二つの問いを混同しなければ、右シフトと直和の例の違いを同じ定義で説明できる。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
空間の有限次元性	右シフト $S$	スペクトルが固有値だけからなること
全射性（単射性だけを残す）	$S$ は単射だが像の先頭成分は零	有界作用素の可逆性
単射性（全射性だけを残す）	左シフト $L$ は全射だが $Le_1=0$	有界作用素の可逆性
像の閉性（稠密性だけを残す）	$\lvert\lambda\rvert=1$ での $S-\lambda I$	像が空間全体に等しいこと
像の稠密性（単射な非可逆作用素を考える）	$\lvert\lambda\rvert<1$ での右シフト	近似固有ベクトルの列が存在すること
像の閉性（単射性と像の非稠密性を残す）	$S\oplus D$ の $\lambda=0$	残差の正の下界が存在すること
スカラー体が複素数	実平面の90度回転	非零空間上の有界作用素の実スペクトルが非空であること

最後の行は、実数 $\lambda$ に限って $\lambda I-J$ の可逆性を調べる場合である。$J^2=-I$ より $(\lambda I-J)^{-1}=(\lambda I+J)/(1+\lambda^2)$ で、すべての実数で逆がある（Bre11 Remark 6）。また $X=\{0\}$ では唯一の写像が全単射であり、スペクトルは空になる。このため冒頭の非零という仮定も省けない。

他のスペクトル理論との関係

レゾルベントとの関係。 スペクトルは逆作用素が存在しないパラメータの集合であり、レゾルベントはその外側で得られる作用素値関数である。恒等式や正則性、非有界作用素の定義域の問題はレゾルベントが扱う。本記事の三分類を非有界作用素へ移す場合は、定義域・閉性と像の上の逆の連続性を改めて確認する必要がある。
コンパクト性との関係。 コンパクト作用素では零でないスペクトルの点に固有値の性質が回復する。これはコンパクト作用素の定理「コンパクト作用素のスペクトル」およびコンパクト作用素のスペクトル理論の定理「Rieszの分解定理」で扱う。本記事のシフトにはコンパクト性を仮定していないので、開円板全体が剰余スペクトルになる現象と矛盾しない。
自己共役性との関係。 自己共役作用素のスペクトルが実数に含まれること、剰余スペクトルがなくなることは、一般の有界作用素にはない性質である。実スペクトルについては自己共役作用素の定理「自己共役作用素のスペクトル」を参照する。剰余がないことは、実数 $\lambda$ に対して核と像の公式の右辺が $\ker(\lambda I-T)^\perp$ となり、単射なら像が稠密になることから従う。一般のスペクトルを最初から実数の集合と考えてはいけない。
大きさと分解との関係。 $\max_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda|$ はスペクトル半径であり、冪 $T^n$ のノルムの増大率と結び付く。ただし半径は点・連続・剰余の違いを記録しない。右シフトと左シフトはどちらも半径1だが、上で計算した内部の分類は異なる。またスペクトル定理は、自己共役性や正規性を使って作用素を分解する定理であり、単にスペクトルを定義することより強い内容を持つ。