直交群・特殊直交群の分類空間のコホモロジー

有限段で考えると、同じ空間は $\widetilde G_{n-1}^N$ 上の直交補束の零切断を除いた空間でもある。逆の対応は、向き付き $Y$ と $0\ne v\in Y^\perp$ から $X=\mathbb Rv\oplus Y$ に向き $(v,o_Y)$ を与えるものである。直交射影は
$$ P_Y=P_X-\frac{vv^{\mathsf T}}{\|v\|^2},\qquad P_X=P_Y+\frac{vv^{\mathsf T}}{\|v\|^2} $$
と書けるので、両対応はGrassmann多様体の局所座標で連続である。向きの符号も局所正基底で連続に対応する。この補束の階数は $r=N-n+1$ である。
補束には、$Y$ の正基底の後に補空間の正基底を並べると標準的な $\mathbb R^N$ の向きになる、という向きを入れる。任意の体 $F$ について、その補束のThom同型とGysin列を使う。$q\leq r-2$ なら、関係する相対コホモロジーは底の負次数コホモロジーとなり0なので、有限段の $f_N^*$ は次数 $q$ で同型である。体係数の評価 $H^q\cong\operatorname{Hom}_F(H_q,F)$ は写像について自然であり、ベクトル空間の非零元は線形汎関数で検出できるから、$(f_N)_*$ も同じ範囲でホモロジー同型になる。
無限模型の有限個の特異単体の像はコンパクトである。Grassmann多様体のSchubert胞体によるCW構造では、コンパクト集合は有限部分複体に含まれ、各胞体はある有限段に入る。向き被覆では各胞体の二つの持ち上げについて同じことが成り立つ。$E_0$ 側ではベクトル $v$ も底の部分空間 $X$ に入る。したがって有限サイクルと、その境界を与える有限鎖は、両側とも共通の有限段で扱える。$N$ を十分大きくして $q\leq N-n-1$ とすれば、上の有限段の同型により、$f$ は全次数で体係数ホモロジー同型となる。
整数特異鎖の写像 $f_\#$ の写像錐 $C$ は非負次数の自由アーベル群の複体である。$C\otimes\mathbb Q$ が非輪状なので $H_q(C)$ はねじれ群である。さらに全素数 $p$ について $C\otimes\mathbb F_p$ が非輪状なので、普遍係数列の $\operatorname{Tor}(H_q(C),\mathbb F_p)=H_q(C)[p]$ は0である。非零のねじれ群は何らかの素数位数の元を持つので、$H_q(C)=0$ となる。
自由アーベル群の部分群は自由だから、$C$ のサイクル群は自由である。境界写像の切断を選べば、$C_q=Z_q\oplus s(Z_{q-1})$ と分解でき、$h(z+sy)=sz$ が収縮を与える。ゆえに $f_\#$ は整数鎖ホモトピー同値であり、$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(-,A)$ を取っても余鎖ホモトピー同値になる。これで全アーベル群係数の同型が従う。$\square$

まず $BSO$ を階数について帰納的に計算する。階数1の有限有向Grassmann多様体は $S^{N-1}$ である。サイクルと境界の有限段還元によって無限模型の正次数ホモロジーは0、0次は $\mathbb Z$ となり、同じ自由鎖の議論でコホモロジーは $\Lambda$ となる。
偶階数 $2m$ について、下の奇階数の環が $\Lambda[p_1,\ldots,p_{m-1}]$ と分かっているとする。$\lambda_{2m}$ はこの生成元すべてを像に持つので全射である。向き付き普遍束のGysin列は各次数で
$$ 0\to H^{j-2m}(BSO(2m);\Lambda)\xrightarrow{\smile e}H^j(BSO(2m);\Lambda) \xrightarrow{\lambda_{2m}}H^j(BSO(2m-1);\Lambda)\to0 $$
となり、Euler類の乗法は単射である。任意の類 $x$ の像を下の環の多項式 $P$ で表すと、$x-P=ey$ であり、$y$ の次数は $2m$ だけ低い。この操作を反復して、全類が $p_1,\ldots,p_{m-1},e$ の多項式になる。関係式があるなら、まず $\lambda_{2m}$ で $e$ を含まない項を消し、次に $e$ の単射性で次数を下げる。負次数では0なので関係式は零多項式だけである。$p_m=e^2$ は前述の整数公式を係数変更すればよい。
次に奇階数 $2m+1$、$m\geq1$ を考える。$2e=0$ と2の可逆性から $e=0$ なので、Gysin列は
$$ 0\to B^j\xrightarrow{\lambda_{2m+1}}E^j\to B^{j-2m}\to0, \quad B=H^*(BSO(2m+1);\Lambda),\quad E=H^*(BSO(2m);\Lambda) $$
となる。$A=\Lambda[p_1,\ldots,p_m]\subseteq E$ と置く。$p_m=e^2$ であり、$e$ の指数の偶奇で分けると、各次数で
$$ E^j=A^j\oplus eA^{j-2m} $$
である。$A$ は $\lambda_{2m+1}$ の像に含まれる。
$\Lambda$ の分数体を $K$ とし、各加群の階数を $K$ による局所化の次元で測る。局所化の完全性から、$a_j=\operatorname{rank}A^j$、$b_j=\operatorname{rank}B^j$ は $b_j+b_{j-2m}=a_j+a_{j-2m}$ を満たす。負次数からの帰納法で $b_j=a_j$ となる。もし像に $a+ea'$、$a'\ne0$ があれば、すでに像にある $a$ を引いて $ea'$ も像に入る。直和性と整域性から、$A^j$ の単項式基底と $ea'$ は線形独立であり、像の階数が $a_j$ より大きくなって矛盾する。したがって像は $A$ であり、$B=A$ を得る。
最後に $BO$ へ移る。向きを忘れる二葉被覆 $p\colon BSO(n)\to BO(n)$ のデッキ変換を $\tau$ とする。2が可逆なので、余鎖上の射影 $(1+\tau^*)/2$ によって、$p^*$ は $H^*(BO(n);\Lambda)$ を $H^*(BSO(n);\Lambda)$ の固定部分環と同一視する。詳しくは、固定余鎖は被覆の二つの持ち上げに同じ値を取るため底の余鎖と一致する。固定コホモロジー類には射影で固定コサイクル代表を取れ、固定コサイクルが境界なら原始余鎖も射影で固定にできるので、固定複体のコホモロジーは固定部分群そのものである。
向き反転は $p_i$ を固定し $e$ を $-e$ へ送る。奇階数の環はすべて固定される。偶階数では $e$ の奇数冪の係数は固定条件から2倍が0となり、2が可逆なので消える。固定部分環は $\Lambda[p_1,\ldots,p_{m-1},e^2]=\Lambda[p_1,\ldots,p_m]$ である。$n=0$ は一点として直接計算する。$\square$

$n$ 本の普遍実直線束の直和による写像 $s\colon(\mathbb{RP}^{\infty})^n\to BO(n)$ を使う。その引き戻しは $s^*w_i=e_i(x_1,\ldots,x_n)$ である。ここで $x_j$ は各因子の次数1の生成元、$e_i$ は基本対称多項式である。実射影空間の胞体余鎖は整数係数で次数1から2への微分が2倍なので、上のBocksteinの持ち上げ公式から $d(x_j)=x_j^2$ となる。整数胞体微分と法2環は 実射影空間 の定理「実射影空間のホモロジー」と定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」で計算されている。ここではその結果と、胞体・特異コホモロジー比較の係数写像に関する自然性を使う。
導分の公式で $d(e_i)$ を展開する。一方 $e_1e_i$ を、選んだ添字が $i$ 元集合に入る項と、入らない項に分ける。前者が $d(e_i)$ であり、後者では各 $i+1$ 元集合が $i+1$ 回現れる。ゆえに $d(e_i)=e_1e_i+(i+1)e_{i+1}$ である。
積の法2環は $\mathbb F_2[x_1,\ldots,x_n]$ である。これは各因子の上記の環と体係数のKünneth公式による。各次数の胞体数が有限で因子数も有限なので、ここで次数付きテンソル積に余分な無限積は生じない。
この検出写像の引き戻しは単射である。実際、辞書式順序 $x_1>\cdots>x_n$ で $e_i$ の最高単項式は $x_1\cdots x_i$ であり、$\prod_i e_i^{a_i}$ の最高指数列は $(\sum_i a_i,\sum_{i\geq2}a_i,\ldots,a_n)$ である。異なる指数組に異なる最高項が対応するので、多項式の非零関係は生じない。よって引き戻した等式は $BO(n)$ 上の等式を与える。向き被覆の自然性で $BSO(n)$ の式も従う。$\square$

$BO(2m+1)$ では $x=w_1$、$a_i=w_{2i}$、$b_i=d(a_i)=xa_i+w_{2i+1}$ と置く。逆に $w_{2i+1}=b_i+xa_i$ なので、これらは多項式環の変数の取り替えである。微分は $dx=x^2$、$da_i=b_i$、$db_i=0$ となる。
一変数の因子では $d(x^r)=(r\bmod2)x^{r+1}$ であり、奇数冪から次の偶数冪へ写る二項の組がすべてを尽くし、単位1だけが残る。二変数の因子では
$$ d(a^rb^s)=(r\bmod2)a^{r-1}b^{s+1} $$
である。$r$ が奇数の単項式と、$r$ が偶数で $s\geq1$ の単項式が一対一に組になる。各組は微分が同型の二項複体であり、逆向きの写像で収縮できる。残る単項式は $a^{2r}$ だけなので、この因子のコホモロジーは $\mathbb F_2[a^2]$ である。各元は有限個の単項式の和であり、有限テンソル積でこれらの二項収縮を取れるから、奇階数の $BO$ の式を得る。
$BO(2m)$ では $i< m$ の組を同じように処理し、最後に $x=w_1$、$a=w_{2m}$ が残る。この因子は $dx=x^2$、$da=xa$ を満たすので、
$$ d(x^ra^s)=(r+s\bmod2)x^{r+1}a^s $$
である。$r+s$ が奇数の始域と、$r\geq1$ かつ $r+s$ が偶数の終域が一対一の二項の組を作り、残るのは $r=0$ かつ $s$ 偶数の単項式だけである。よって最後の因子は $\mathbb F_2[a^2]$ を残す。
$BSO(2m+1)$ では $w_1=0$ なので、$a_i=w_{2i}$、$b_i=w_{2i+1}$ の各組に $da_i=b_i$、$db_i=0$ を用いればよい。$BSO(2m)$ では $i< m$ の組に加えて、$dw_{2m}=0$ の一変数因子がそのまま残る。したがって最後の生成元は平方だけでなく $w_{2m}$ 自身である。端の場合は生成元のない環を直接読めばよい。$\square$

有限生成性と奇素数のねじれ． Grassmann多様体のSchubert胞体は、各固定次元で有限個しかない。胞体の添字の次元公式は非負整数の有限長の和であり、和を固定すれば候補は有限個だからである。向き被覆では各胞体を二つ持ち上げるので同じ性質を持つ。ゆえに各次数の整数胞体余鎖群は有限生成自由であり、各 $H^j(X;\mathbb Z)$ は有限生成である。CW構造は MS74 Theorem 6.4（p. 79）による。
有限生成自由な各胞体余鎖群では、係数を $\mathbb Z[1/2]$ に変更することは局所化と一致する。局所化は完全なので、$H^j(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb Z[1/2]\cong H^j(X;\mathbb Z[1/2])$ である。前の多項式環の計算から右辺はねじれを持たないため、整数のねじれに奇素数位数の元はない。自由階数 $r_j$ は、有理係数の多項式環の次数 $j$ の単項式数である。
高い2冪ねじれの排除． $H^j(X;\mathbb Z)=\mathbb Z^{r_j}\oplus T_j$ とし、$t_j$ を $T_j$ の巡回2冪因子の総数、$a_j$ をそのうち位数2の因子の数とする。Bockstein長完全列は
$$ 0\to H^j(X;\mathbb Z)/2\to H^j(X;\mathbb F_2) \xrightarrow{\beta}H^{j+1}(X;\mathbb Z)[2]\to0 $$
を与えるので、$\dim H^j(X;\mathbb F_2)=r_j+t_j+t_{j+1}$ である。$d_{j-1}$ の像は $\rho(H^j(X;\mathbb Z)[2])$ である。巡回群 $\mathbb Z/2^k$ の位数2元は $2^{k-1}$ 倍の生成元であり、その法2還元が非零になるのは $k=1$ のときだけである。したがって $\operatorname{rank}d_{j-1}=a_j$、$\operatorname{rank}d_j=a_{j+1}$ である。
以上から、微分複体のコホモロジーの次元は
$$ \dim H^j(H^*(X;\mathbb F_2),d) =r_j+(t_j-a_j)+(t_{j+1}-a_{j+1}) $$
となる。前の定理で計算した生成元の次数は、有理係数環の生成元の次数と同じだから、左辺は $r_j$ に等しい。右辺の二つの差は非負なので、すべての $j$ で $t_j=a_j$ である。よって $T_j$ は位数2の巡回群の直和であり、位数4以上の因子はない。
整数の格子の決定． 有理係数で多項式環だから、$L_X$ の整数単項式の間にも非零の関係はない。$F_j=H^j(X;\mathbb Z)/T_j$ とすると、$L_X^j\to F_j$ は同じ有限階数の格子の包含である。$T_j$ は2倍で0なので $\operatorname{im}\beta=T_j$ であり、$\rho|_{T_j}$ は単射である。実際、$\ker\rho=2H^j$ は自由部分の2倍だけからなり、ねじれ部分と交わらない。
この単射性から $\ker d=\ker\beta=\operatorname{im}\rho$、$\operatorname{im}d=\rho T_j$ となり、
$$ H^j(H^*(X;\mathbb F_2),d)\cong F_j/2F_j $$
を得る。先の単項式計算では、$\rho p_i$、偶階数の $BSO$ ではさらに $\rho e$ の単項式がこの空間の基底だった。ゆえに格子包含 $L_X^j\to F_j$ は法2で同型となり、その指数は奇数である。一方、$\mathbb Z[1/2]$ 係数の環同型から、局所化後の格子包含は同型である。その指数は2の冪でもなければならない。両条件から指数は1であり、$L_X^j\cong F_j$ となる。したがって $H^j=L_X^j\oplus T_j$ で、$T_j=\operatorname{im}\beta$ も従う。$\square$