Riemann–Lebesgueの補題

1. $h\cdot\xi=\frac12$ なので $e^{-2\pi ih\cdot\xi}=-1$ である。変数を $x=y-h$ と置き換えると
$$ \widehat f(\xi)=\int f(y-h)e^{-2\pi i(y-h)\cdot\xi}\,dy=-\int\tau_hf(y)\,e^{-2\pi iy\cdot\xi}\,dy $$
となる。もとの式と平均すると $\widehat f(\xi)=\frac12\int\bigl(f-\tau_hf\bigr)(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx$ であり、評価が従う。$|h|=1/(2|\xi|)\to0$ なので、右辺は 軟化子 の補題「平行移動の連続性」（$p=1$）により $0$ に近づく。
2. $e^{-in(x+\pi/n)}=-e^{-inx}$ と周期性から、1 と同じく $\hat f(n)=\frac1{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-f(x+\frac\pi n)\bigr)e^{-inx}\,dx$ である。$G:=f1_{[-2\pi,2\pi]}\in L^1(\mathbb R)$ とおくと、$|t|\le\pi$、$x\in[-\pi,\pi]$ で $f(x+t)=G(x+t)$、$f(x)=G(x)$ なので $\|f-f(\cdot+t)\|_{L^1(\mathbb T)}\le\frac1{2\pi}\|G-\tau_{-t}G\|_{L^1(\mathbb R)}$ であり、1 と同じ補題で $t\to0$ のとき $0$ に近づく。
3. $f$ を $(a,b)$ の外で $0$ として $F\in L^1(\mathbb R)$ を作ると、$\int_a^bf(x)e^{-i\lambda x}dx=\widehat F(\lambda/2\pi)$ なので、1 を 1 次元で使えば $0$ に近づく。$\cos\lambda x=\frac12(e^{i\lambda x}+e^{-i\lambda x})$、$\sin\lambda x=\frac1{2i}(e^{i\lambda x}-e^{-i\lambda x})$ により、残りの二つも従う。$\square$

$|f(x)-f(x+t)|\le K|t|^\alpha$ がすべての $x$ で成り立つので $\omega_1(f;\delta)\le K\delta^\alpha$ であり、$\delta=\pi/|n|$ として上の評価に代入すればよい。$\square$

$\varepsilon_n\to0$ なので、帰納的に $m_1< m_2<\cdots$ を $\varepsilon_{m_k}\le4^{-k}$ となるようにとれる。$f(x):=\sum_{k\ge1}2^{-k}e^{im_kx}$ とおくと、項の絶対値の和が収束するので級数は一様に収束し、$f$ は連続である。一様収束なので項別に積分でき、Fourier級数 の命題「三角関数系の直交性」から $\hat f(m_k)=2^{-k}$、$m_k$ の形でない $n$ では $\hat f(n)=0$ である。よって $\hat f(m_k)/\varepsilon_{m_k}\ge2^{-k}4^k=2^k\to\infty$ である。$\square$

$\|g\|_\infty:=\sup|g|$ とし、$\lambda>0$ について区間 $I_k:=[kT/\lambda,(k+1)T/\lambda)$（$k\in\mathbb Z$）とその左端 $x_k:=kT/\lambda$ を考える。$y=\lambda x$ と置き換えると、周期性から $\int_{I_k}g(\lambda x)\,dx=\frac1\lambda\int_{kT}^{(k+1)T}g=\frac T\lambda\bar g$ である。
連続でコンパクトな台をもつ関数の場合。 $w$ を連続で $[-R,R]$ の外で $0$ の関数とし、$\omega(\delta):=\sup\{|w(x)-w(y)|\mid|x-y|\le\delta\}$ とおく。$w$ は一様連続なので $\omega(\delta)\to0$（$\delta\to0$）である。$I_k$ が $[-R,R]$ と交わらなければ $I_k$ の上で $w$ も $w(x_k)$ も $0$ なので、和は $[-R,R]$ と交わる有限個の $k$ についてとればよく、それらの $I_k$ の長さの合計は $2R+2T/\lambda$ 以下である。$\int_{I_k}w(x_k)g(\lambda x)\,dx=w(x_k)\frac T\lambda\bar g=\bar g\int_{I_k}w(x_k)\,dx$ だから
$$ \int w(x)g(\lambda x)\,dx-\bar g\int w\,dx=\sum_k\int_{I_k}\bigl(w(x)-w(x_k)\bigr)g(\lambda x)\,dx-\bar g\sum_k\int_{I_k}\bigl(w(x)-w(x_k)\bigr)\,dx $$
であり、$|\bar g|\le\|g\|_\infty$ から、絶対値は $2\|g\|_\infty\,\omega(T/\lambda)\,(2R+2T/\lambda)$ 以下で、$\lambda\to\infty$ で $0$ に近づく。
一般の場合。 $\eta>0$ に対し $\|f-w\|_1<\eta$ となる上の形の $w$ をとる（軟化子 の命題「連続でコンパクトな台をもつ関数の稠密性」）。$\bigl|\int(f-w)(x)g(\lambda x)\,dx\bigr|\le\|g\|_\infty\eta$、$|\bar g|\,\bigl|\int(f-w)\bigr|\le\|g\|_\infty\eta$ なので、$\limsup_{\lambda\to\infty}\bigl|\int fg(\lambda\cdot)-\bar g\int f\bigr|\le2\|g\|_\infty\eta$ であり、$\eta$ は任意である。$\square$

段 1（Stieltjes 和）。 $K\ge1$ とし、$2^K$ 個の区間 $I_a$ の端点を分点とし、さらにそのすき間（$C_K$ の補集合の各成分の閉包）を長さ $3^{-K}$ 以下に細かく分けた分割 $P_K$ をとる。すき間は取り除いた開区間の閉包の和集合なので、そこで $F$ は定数であり（Cantor関数 の定理「Cantor関数の基本性質」の 3）、すき間の小区間の増分は $0$ である。$I_a$ の両端は $\varphi(s,0,0,\dots)$ と $\varphi(s,1,1,\dots)$（$s=a/2\in\{0,1\}^K$）なので、同じ定理の 1 から増分は $\sum_{j\ge K}2^{-(j+1)}=2^{-K}$ である。$I_a$ の代表点を左端 $t_a$ にとると、連続関数 $u$ について Stieltjes 和は $\sum_{a}2^{-K}u(t_a)$ であり、$|P_K|\le3^{-K}\to0$ なので、Riemann–Stieltjes積分 の定理「連続関数の有界変動関数による積分」の評価から $\int_0^1u\,dF=\lim_K\sum_a2^{-K}u(t_a)$ である。
段 2（積への分解）。 $u(x)=e^{-2\pi inx}$ とすると、$t_a$ の各桁は独立に $0$ か $2$ をとるので
$$ \sum_{a\in\{0,2\}^K}2^{-K}e^{-2\pi int_a}=\prod_{k=1}^{K}\frac{1+e^{-4\pi in/3^k}}2 $$
である。$\bigl|\frac{1+e^{-i\theta}}2\bigr|=\bigl|\cos\frac\theta2\bigr|$ なので主張の式を得る。
段 3（$n=3^m$）。 $k\le m$ の因子は $\cos(2\pi3^{m-k})=1$ であり、$k=m+j$（$j\ge1$）の因子は $\cos(2\pi/3^j)$ である。$\cos\frac{2\pi}3=-\frac12$ で、$j\ge2$ なら $0<2\pi/3^j\le2\pi/9<\frac\pi2$ である。$0\le t\le0.8$ で $\cos t\ge1-\frac{t^2}2\ge e^{-t^2}$ が成り立つ（後半は $\psi(t):=1-\frac{t^2}2-e^{-t^2}$ が $\psi(0)=0$、$\psi'(t)=t(2e^{-t^2}-1)\ge0$ を満たすことによる。$t^2\le0.64<\log2$）。$2\pi/9<0.8$ なので
$$ \prod_{j=2}^{J}\cos\frac{2\pi}{3^j}\ge\exp\Bigl(-\sum_{j\ge2}\frac{4\pi^2}{9^j}\Bigr)=\exp\Bigl(-\frac{4\pi^2}{72}\Bigr)=e^{-\pi^2/18} $$
であり、$|\check F(3^m)|\ge\frac12e^{-\pi^2/18}$ を得る。$\square$