Donaldsonの定理

前提知識: 可微分多様体, Poincaré双対, Rokhlinの定理, Freedmanの定理, E8多様体

Donaldson の定理（Donaldson's theorem）は、向き付けられた滑らかな閉 $4$ 次元多様体 $M$ の交叉形式 $Q_M$ が正定値ならば、$Q_M$ は整数上で対角化でき、単位行列 $n\langle1\rangle$（$n=b_2(M)$）と同型である、という定理である。負定値なら $n\langle-1\rangle$ と同型である。Donaldson が 1983 年に単連結な場合を示した。基本群を仮定しない形でも成り立つ。
Freedmanの定理 により、どのユニモジュラな対称形式も単連結な閉 $4$ 次元位相多様体の交叉形式として現れる。定値なユニモジュラ形式は非常に多く、偶で正定値のものだけでも階数 $32$ で $10^7$ 個以上ある。Donaldson の定理は、そのうち滑らかな閉多様体に現れるのは対角形式だけだと述べる。こうして、$4$ 次元では位相多様体と滑らかな多様体の差が、Rokhlinの定理 よりはるかに大きいことが分かった。たとえば交叉形式 $E_8\oplus E_8$ の位相多様体は、Rokhlin の定理にも Kirby–Siebenmann 不変量にも妨げられないのに、滑らかな構造をもたない。この食い違いから エキゾチックR⁴ の存在も従う。
この記事では、主定理は所在を示して引用する。そのうえで、定値な形式が対角化できるかを長さ $1$ のベクトルの個数で判定する補題、主定理と Freedman の定理から滑らかで単連結な定値の閉多様体の同相類が決まること、$E_8\oplus E_8$ などを交叉形式にもつ位相多様体が滑らかな多様体とホモトピー同値にすらならないことを完全に証明する。

定義と規約

多様体は Hausdorff かつ第 2 可算とし、閉多様体はコンパクトで境界のない多様体をいう。ホモロジー・コホモロジーは $\mathbb{Z}$ 係数とする。形式（有限階数の自由アーベル群の上の対称な双線形形式）とそのユニモジュラ・偶・奇・符号数・定値・不定値は Rokhlinの定理 の定義「ユニモジュラ・偶・符号数」の意味とし、記号 $\langle a\rangle$、$nQ$、$H$、$E_8$、形式の同型は Freedmanの定理 の節「形式」に従う。
向き付けられた閉 $4$ 次元多様体 $M$ の交叉形式は、$FH^2(M):=H^2(M)/(\text{ねじれ})$ の上の
$$ Q_M(a,b):=\langle a\smile b,[M]\rangle $$
で、ユニモジュラである（FNOP25 Definition 8.1、p. 60）。$b_2(M)$ はその階数である。

向きの約束。 向きを反転した多様体 $-M$ では $Q_{-M}=-Q_M$ である。したがって「正定値なら $n\langle1\rangle$」と「負定値なら $n\langle-1\rangle$」は、向きを反転して互いに移り合う同じ主張である。文献によって一方の形で述べる（FNOP25 Theorem 8.11 は正定値、Remark 8.12 で負定値、p. 65。Kir89 Ch. III Theorem 3.1 は両方をまとめて $\pm$ で、p. 32）。$\mathbb{C}P^2$ には複素構造から定まる向きを入れて $Q_{\mathbb{C}P^2}\cong\langle1\rangle$ とし、$\overline{\mathbb{C}P^2}:=-\mathbb{C}P^2$ とする。K3曲面 には複素構造から定まる向きを入れ、交叉形式は $-E_8\oplus-E_8\oplus3H$、符号数は $-16$ である（FNOP25 Example 8.2 (4)、p. 61 は向きを反転した $E_8\oplus E_8\oplus3H$ の形で述べる）。

主定理

これは Donaldson の定理で、FNOP25 Theorem 8.11 と Remark 8.12（p. 65。Donaldson の 1983 年の論文の Theorem A と 1987 年の論文の Theorem 1 を引く）、Kir89 Ch. III Theorem 3.1（p. 32。単連結な場合）、Kos93 Ch. VIII §7（p. 164）による。この記事では証明しない。証明は微分幾何的なゲージ理論による（Kos93 p. 164）。2 は 1 を $-M$ に当てはめたものである。
定理は定値な形式についてのもので、不定値の形式には何も言わない。$b_2(M)=0$ の場合（交叉形式が階数 $0$）は正定値とも負定値とも見なせ、主張は自明に成り立つ。

対角化できるかの判定

定値な形式が対角化できるかは、長さ $1$ のベクトルを数えれば判定できる。正定値な形式 $(L,Q)$ について
$$ N_1(L):=\#\{x\in L: Q(x,x)=1\} $$
とおく。正定値なので $Q(x,x)=0$ となるのは $x=0$ だけで、$N_1(L)$ は有限である（$Q$ を $L\otimes\mathbb{R}$ の内積と見ると、$\{Q(x,x)\le1\}$ は有界で、$L$ はその中に有限個の点しかもたない）。

$N_1$ は形式の同型で保たれるので、2 の $k$ と $L_0$ の同型類は $L$ だけで決まる。

3 から、Donaldson の定理の制約は偶奇によらないことが分かる。Rokhlin の定理は偶な形式にしか効かないが、$E_8\oplus\langle1\rangle$ のような奇な形式も滑らかな閉多様体には現れない。

帰結

滑らかで定値な単連結閉多様体の位相型

この系は Kir89 Ch. III Theorem 3.1（p. 32）の括弧内の主張である。結論は同相までで、微分同相かどうかは分からない。$n=0$ の場合、$M$ が $S^4$ と微分同相かは滑らかな $4$ 次元 Poincaré 予想の問題になる。

滑らかな構造をもたない位相多様体

3 は FNOP25 Example 9.4（p. 74）の形である。同じ所で、$\kappa(N)=0$ から $N\times\mathbb{R}$ は滑らかな構造をもつことが示されている。$N$ は E8多様体 $V$ の連結和 $V\#V$ と同相である（Freedmanの定理 の例「主定理から分かる多様体」）。$V$ は Rokhlin の定理だけで滑らかでないことが分かるが、$V\#V$ ではその障害が消え、Donaldson の定理が必要になる。

例

2 と 3 のように不定値の場合は、偶な形式 $2pE_8\oplus mH$ が現れうる。ここでは別の制約がかかり、$p\ne0$ で滑らかに実現されるなら $m\ge2\lvert p\rvert+1$ である（Furuta の 10/8 定理。FNOP25 Theorem 8.13、p. 66）。

反例

補足

• 滑らかな h 同境定理の破れ：Donaldson の仕事から、h 同境だが微分同相でない単連結な滑らかな閉 $4$ 次元多様体の組（$\mathbb{C}P^2\#9\overline{\mathbb{C}P^2}$ と Dolgachev 曲面）が得られ、$5$ 次元の滑らかな h同境定理 は成り立たない（Kir89 Ch. III §3、p. 32、Kos93 Ch. VIII §7、pp. 164–165）。位相的な h 同境定理は Freedman により成り立つ。
• エキゾチック $\mathbb{R}^4$：Donaldson の定理と Freedman の仕事を組み合わせると、$\mathbb{R}^4$ と同相だが微分同相でない滑らかな多様体が作れる（エキゾチックR⁴、Kir89 Ch. XIV、pp. 95–101）。
• 定値な形式の多さ：偶で正定値なユニモジュラ形式の同型類は、階数 $8,16,24,32,40$ でそれぞれ $1$、$2$、$24$、$10^7$ 以上、$10^{51}$ 以上ある（FNOP25 p. 65 の表）。Freedman の定理によりこれらはすべて位相多様体の交叉形式になるが、Donaldson の定理によりどれも滑らかな閉多様体の交叉形式にならない。

関連項目

• 前提: 可微分多様体, Poincaré双対, Rokhlinの定理, Freedmanの定理
• 比較: E8多様体, Kirby–Siebenmann不変量, K3曲面, h同境定理, 多様体の構造の階層
• 直後に読む: エキゾチックR⁴
• 発展: Donaldson理論, 平滑化理論