逆関数の連続性

$f(x)=x$（$x< 0$）、$f(x)=x+1$（$x\ge0$）で定まる $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は狭義単調増加で、$0$ で不連続である。値の集合は $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$ で、逆関数は $f^{-1}(y)=y$（$y< 0$）、$f^{-1}(y)=y-1$（$y\ge1$）である。$(-\infty,0)$ と $[1,\infty)$ はどちらも $f(\mathbb{R})$ の中の開集合で（$f(\mathbb{R})$ の点で $0$ と $1$ の間にあるものはない）、$f^{-1}$ はそれぞれの上で連続なので、$f(\mathbb{R})$ 上で連続である（Leb Example 3.6.7）。thm-inv-monotone のとおり、もとの関数の跳びは逆関数の定義域の隙間になるだけである。

1. $n\ge1$ を整数とする。$f(x)=x^n$ は $[0,\infty)$ で連続かつ狭義単調増加で、値の集合は $[0,\infty)$ である（正の数の冪根の存在は 中間値の定理 の記事の命題「正の数の冪根の存在」）。thm-inv-interval により、逆関数 $\sqrt[n]{y}$ は $[0,\infty)$ で連続である。
2. 指数関数 $e^x$ は $\mathbb{R}$ で連続かつ狭義単調増加で、値の集合は $(0,\infty)$ である。逆関数 $\log y$ は $(0,\infty)$ で連続である（対数関数）。
3. $\sin x$ は $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ で連続かつ狭義単調増加で、値の集合は $[-1,1]$ である。逆関数 $\arcsin y$ は $[-1,1]$ で連続である（逆三角関数）。
   いずれも、逆関数の連続性を逆関数の式から直接確かめる必要はない。

$f(x)=x^3$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続な全単射なので、逆関数 $\sqrt[3]{y}$ は連続である。しかし $f'(0)=0$ なので、$\sqrt[3]{y}$ は $y=0$ で微分できない（$h\ne0$ について $\sqrt[3]{h}/h=\lvert h\rvert^{-2/3}\to\infty$）。逆関数の連続性は単調性だけから従うが、逆関数の微分可能性には導関数が $0$ でないことが要る（逆関数の微分 の記事の定理「逆関数の微分係数」）。

$0\le e< 1$ とし、$f(E):=E-e\sin E$（$E\in\mathbb{R}$）とおく。$f'(E)=1-e\cos E\ge1-e>0$ なので、prop-inv-lipschitz により $f$ は狭義単調増加である。$\lvert e\sin E\rvert\le1$ より $f(E)\to\pm\infty$（$E\to\pm\infty$）なので、これと thm-inv-interval の 2 から $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ であり、方程式 $M=E-e\sin E$ はどの $M\in\mathbb{R}$ に対してもただ 1 つの解 $E=f^{-1}(M)$ をもつ。解を式で書き下すことはできないが、
$$ \lvert f^{-1}(M)-f^{-1}(M')\rvert\le\frac{1}{1-e}\lvert M-M'\rvert $$
なので、$M$ を少し変えたときの $E$ の変化は $1/(1-e)$ 倍以下に抑えられる。これは天体力学で、平均近点角 $M$ から離心近点角 $E$ を求める方程式である。

1 行目：$f$ は $[0,1]$ と $(2,3]$ のそれぞれの上で連続かつ狭義単調増加で、$f([0,1])=[0,1]$、$f((2,3])=(1,2]$ なので $f$ は値の集合 $[0,2]$ への狭義単調増加な全単射である。逆関数は $f^{-1}(y)=y$（$y\le1$）、$f^{-1}(y)=y+1$（$y> 1$）で、$y\to1+0$ のとき $f^{-1}(y)\to2\ne1=f^{-1}(1)$ なので、$y=1$ で連続でない。thm-inv-monotone の証明で、$x_0=1$ の右側に定義域の点がない（最大元でないのに $(1,1+\varepsilon)$ に点がない）ことが効いている。
2 行目：$f([0,1))=[0,1)$、$f([1,2])=[1,2]$ なので $f$ は $[0,2]$ から $[0,2]$ への全単射である。$f$ は $1$ で連続でなく、狭義単調でもない（$f(0)< f(1)> f(2)$）。thm-inv-monotone により区間上の狭義単調関数の逆関数はつねに連続なので、連続性を外した反例は必ず狭義単調でない。狭義単調性は thm-inv-interval の仮定ではなく結論なので、仮定のうち破れているのは連続性だけである。逆関数は $f^{-1}(y)=y$（$y< 1$）、$f^{-1}(y)=3-y$（$y\ge1$）で、$y\to1-0$ のとき $f^{-1}(y)\to1\ne2=f^{-1}(1)$ である。
3 行目：$\sqrt2$ は有理数でないので、$f$ は $\mathbb{Q}\cap[0,2]$ の全体で定義され、$\sqrt2$ の左側と右側のそれぞれの上で 1 次式なので連続である。左側の値は $[0,\sqrt2)$ の有理数、右側の値 $2\sqrt2-x$ は $[2\sqrt2-2,\sqrt2)$ の無理数なので、$f$ は単射である。$f(1)=1< f(1.5)$、$f(1.5)> f(2)$ なので狭義単調でない。$x_n\to2\sqrt2-1$（$\approx1.83$）となる有理数 $x_n\in(\sqrt2,2]$ をとると、$f(x_n)=2\sqrt2-x_n\to1$ だが $f^{-1}(f(x_n))=x_n\to2\sqrt2-1\ne1=f^{-1}(1)$ なので、逆関数は $1$ で連続でない。thm-inv-interval の証明は中間値の定理を通して実数の連続性を使っており、有理数の範囲では成り立たない（実数の連続性 の記事の定理「連続性と中間値の定理・最大値の定理」）。一方、thm-inv-monotone は有理数の区間でも成り立つ。
4 行目：$f$ は連続な全単射だが、$(1,0)=f(0)$ の近くで円周の下半分から近づく点の逆像は $2\pi$ に近い（同相写像 の記事の例「反例：半開区間から円周への連続全単射」、Rud76 Example 4.21、p. 93）。$[0,2\pi)$ はコンパクトでない。
5 行目：密着位相の開集合は $\emptyset$ と全体だけなので、どんな写像もそこへは連続であり、恒等写像は連続な全単射である。逆写像は、通常の位相の開集合 $[0,\frac12)$ の逆像が $[0,\frac12)$ で密着位相の開集合でないので、連続でない。$[0,1]$ はコンパクトだが、密着位相は Hausdorff でない。
6 行目：$\ell^1$ を絶対値の和が収束する実数列の空間とし、$\|x\|_1=\sum_i\lvert x_i\rvert$、$\|x\|_\infty=\sup_i\lvert x_i\rvert$ とする。定義域 $(\ell^1,\|\cdot\|_1)$ は Banach 空間である（Banach空間 の記事の命題「数列の空間の完備性」の 1）。$\|x\|_\infty\le\|x\|_1$ なので恒等写像 $(\ell^1,\|\cdot\|_1)\to(\ell^1,\|\cdot\|_\infty)$ は連続な線形全単射である。$x^{(n)}:=(1,\dots,1,0,\dots)$（$1$ が $n$ 個）は $\|x^{(n)}\|_\infty=1$、$\|x^{(n)}\|_1=n$ なので、逆写像は有界でなく、連続でない。終域 $(\ell^1,\|\cdot\|_\infty)$ は完備でない。実際、$y^{(n)}:=(1,\tfrac12,\dots,\tfrac1n,0,\dots)$ は $m< n$ について $\|y^{(n)}-y^{(m)}\|_\infty=\frac1{m+1}$ なので Cauchy 列である。ある $z\in\ell^1$ に $\|\cdot\|_\infty$ で収束したとすると、各成分は $\lvert y^{(n)}_k-z_k\rvert\le\|y^{(n)}-z\|_\infty$ により $z_k=\frac1k$ となるが、$\sum_k\frac1k$ は発散するので $z\notin\ell^1$ となり矛盾する。定義域は完備なので、破れている仮定は終域の完備性だけである。両側が Banach空間 なら、連続な線形全単射の逆写像は連続である（有界逆写像定理 の記事の定理「有界逆写像定理」）。