商多様体

多様体の積 $G\times M$ は距離づけ可能なので、その部分集合がコンパクトであることと点列コンパクトであることは同値である。
1．固有とし、$x_i\to x$、$g_i\cdot x_i\to y$ とする。$x$、$y$ のコンパクトな近傍 $K$、$K'$ をとると、十分大きい $i$ で $(g_i,x_i)\in\Theta^{-1}(K'\times K)$ であり、これはコンパクトなので $(g_i)$ は収束する部分列をもつ。逆に点列の条件を仮定し、$L\subset M\times M$ をコンパクトとする。$\Theta^{-1}(L)$ は閉集合である。$(g_i,x_i)\in\Theta^{-1}(L)$ なら $(g_i\cdot x_i,x_i)\in L$ は収束する部分列をもち、その部分列で仮定から $(g_i)$ がさらに収束する部分列をもつ。よって $\Theta^{-1}(L)$ は点列コンパクト、したがってコンパクトである。
2．$\Gamma_K$ は $\Theta^{-1}(K\times K)$ の $G$ への射影の像である。固有ならこれはコンパクトで、離散空間のコンパクト集合は有限である。逆に条件を仮定し、$L\subset M\times M$ をコンパクト、$K$ を $L$ の 2 つの射影の像の和とすると、$\Theta^{-1}(L)$ は $\Gamma_K\times K$（有限集合とコンパクト集合の積）の閉部分集合なのでコンパクトである。$\square$

段 1（Hausdorff 性）． $x,y\in M$ が異なる軌道にあるのに $\pi(x)$ と $\pi(y)$ が開集合で分離できないとする。$x$、$y$ の可算な近傍基 $U_1\supset U_2\supset\cdots$、$V_1\supset V_2\supset\cdots$ をとると、開集合 $\pi(U_i)$ と $\pi(V_i)$ は交わるので、$x_i\in U_i$ と $g_i\in G$ で $g_i\cdot x_i\in V_i$ となるものがある。$x_i\to x$、$g_i\cdot x_i\to y$ なので、lem-qm-proper の 1 から部分列で $g_i\to g$ となり、$g\cdot x=y$ が従って矛盾する。よって $M/G$ は Hausdorff で、上で見たように第 2 可算である。
段 2（軌道写像の微分）． $\mathfrak g=T_eG$ を Lie 環、$\exp$ を Lie 群の指数写像とし、$X\in\mathfrak g$ に対して $M$ のベクトル場 $\hat X_x:=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\exp(tX)\cdot x$ を定める。$p\in M$ の軌道写像 $g\mapsto g\cdot p$ の $e$ での微分は $X\mapsto\hat X_p$ である。これが単射であることを示す。$c(t):=\exp(tX)\cdot p$ とおくと、$\exp((t+s)X)=\exp(sX)\exp(tX)$ から $\dot c(t)=\hat X_{c(t)}$ であり、$c$ は $\hat X$ の積分曲線である。$\hat X_p=0$ なら定値曲線 $p$ も $p$ を通る積分曲線なので、積分曲線の一意性から $c(t)=p$、すなわち $\exp(tX)\cdot p=p$ がすべての $t$ で成り立つ。作用は自由なので $\exp(tX)=e$ で、$t=0$ で微分して $X=0$ である。
段 3（局所微分同相）． 段 2 の像を $E_p:=\{\hat X_p\mid X\in\mathfrak g\}$（$k$ 次元）とする。$p$ のまわりの座標 $\psi$（$\psi(p)=0$）と、$d\psi_p(E_p)$ と補い合う $\mathbb R^m$ の $m-k$ 次元部分空間 $E'$ をとり、$S_0:=\psi^{-1}(E')$ とおく。$S_0$ は $p$ を通る $m-k$ 次元の部分多様体で、$T_pM=E_p\oplus T_pS_0$ である。$\Phi(g,s)=g\cdot s$ の $(e,p)$ での微分は $(X,w)\mapsto\hat X_p+w$ で、段 2 と $E_p\cap T_pS_0=0$ から同型である。左移動を $L_h$、$h$ の作用を $\theta_h$ と書くと $\Phi\circ(L_h\times\mathrm{id})=\theta_h\circ\Phi$ であり、$L_h$、$\theta_h$ は微分同相なので、$d\Phi_{(h,s)}$ が同型であることと $d\Phi_{(e,s)}$ が同型であることは同値である。後者は $s$ についての開条件なので、$p$ の $S_0$ での開近傍 $S_1$ があって、逆関数定理により $\Phi$ は $G\times S_1$ の各点で局所微分同相である。
段 4（単射性）． $p$ の $S_1$ での開近傍 $S$ で、$\Phi|_{G\times S}$ が単射になるものがあることを示す。そうでないとすると、$p$ の可算な近傍基 $S^{(1)}\supset S^{(2)}\supset\cdots$（$S_1$ の中）について、$\Phi(g_i,s_i)=\Phi(g_i',s_i')$、$(g_i,s_i)\ne(g_i',s_i')$、$s_i,s_i'\in S^{(i)}$ となるものがある。$h_i:=g_i'^{-1}g_i$ とおくと $h_i\cdot s_i=s_i'$ である。$s_i=s_i'$ なら自由性から $h_i=e$ となり $(g_i,s_i)=(g_i',s_i')$ に反するので、$s_i\ne s_i'$ である。$s_i\to p$、$h_i\cdot s_i=s_i'\to p$ なので、lem-qm-proper の 1 から部分列で $h_i\to h$ となり、$h\cdot p=p$、自由性から $h=e$ である。$\Phi$ は $(e,p)$ のある近傍 $N$ の上で単射（段 3）なので、十分大きい $i$ で $(h_i,s_i),(e,s_i')\in N$ と $\Phi(h_i,s_i)=s_i'=\Phi(e,s_i')$ から $s_i=s_i'$ となり、矛盾する。
単射な局所微分同相は像の上への微分同相で、像は開集合なので、$\Phi\colon G\times S\to\Omega:=G\cdot S$ は開集合への微分同相である。
段 5（座標）． $\sigma:=\pi|_S\colon S\to\pi(\Omega)$ とおく。$\pi(\Omega)$ は開集合である。$\pi(g\cdot s)=\pi(s)$ から $\sigma$ は全射で、$\pi(s)=\pi(s')$ なら $s'=g\cdot s$ となる $g$ があり、$\Phi(g,s)=\Phi(e,s')$ から $s=s'$ なので単射である。$S$ の開集合 $A$ について $\pi^{-1}(\sigma(A))=\Phi(G\times A)$ は開集合なので $\sigma(A)$ は開集合であり、$\sigma$ は同相写像である。よって $M/G$ は $m-k$ 次元の位相多様体で、$S$ の座標を $\sigma$ で移したものが座標近傍になる。
別のスライス $S'$（$\Omega'=G\cdot S'$、$\sigma'=\pi|_{S'}$）との座標変換を調べる。$\Omega'$ は軌道の和なので、$s\in S$ について $\pi(s)\in\pi(\Omega')$ なら $s\in\Omega'$ で、$\Phi'^{-1}(s)=(g,s')$ と書くと $\pi(s)=\pi(s')$ である。よって
$$ \sigma'^{-1}\circ\sigma=\mathrm{pr}_{S'}\circ\Phi'^{-1}\big|_{S\cap\Omega'} $$
であり、滑らかである。こうして $M/G$ に滑らかな構造が入る。$\Omega$ の上で $\pi\circ\Phi(g,s)=\sigma(s)$ なので、$\Phi$ による座標で $\pi$ は射影 $(g,s)\mapsto s$ に $\sigma$ を合成したものであり、滑らかな沈め込みである。
段 6（2 と一意性）． $F\circ\pi$ が滑らかなら、$\pi(\Omega)$ の上で $F=(F\circ\pi)\circ\sigma^{-1}$ であり、$\sigma^{-1}\colon\pi(\Omega)\to S\subset M$ は滑らかなので $F$ は滑らかである。逆は合成である。$M/G$ に別の滑らかな構造があって $\pi$ がそれについても滑らかな沈め込みなら、その構造でも $\pi$ の滑らかな局所切断が各点のまわりにあり（Lee13 Theorem 4.26、p. 88）、同じ議論で 2 が成り立つ（Lee13 Theorem 4.29、p. 90）。恒等写像に両方向から 2 を当てはめると、2 つの構造の間の恒等写像は両方向に滑らかである。$\square$

thm-qm-main を $k=0$ で使う。$p\in M$ のスライス $S$ は $p$ の開近傍で、$\Phi\colon\Gamma\times S\to\Gamma\cdot S$ が微分同相なので、$\pi^{-1}(\pi(S))=\Gamma\cdot S$ は互いに交わらない開集合 $\gamma\cdot S$ の和である。$\pi|_S\colon S\to\pi(S)$ は微分同相で（定理の 3）、$\pi|_{\gamma\cdot S}=\pi|_S\circ\gamma^{-1}$ も微分同相である。よって $\pi(S)$ は均一に被覆される開集合で、$\pi$ は滑らかな被覆写像、とくに局所微分同相である。局所微分同相は沈め込みなので、一意性は定理の 1 から従う。$\square$

スライス $S$ の上で $\bar g|_{\pi(S)}:=((\pi|_S)^{-1})^*g$ と定める。2 つのスライス $S$、$S'$ について、$\pi(S)\cap\pi(S')$ の点 $\pi(s)=\pi(s')$（$s\in S$、$s'\in S'$）をとると $s'=\gamma\cdot s$ となる $\gamma$ があり、$s$ の近くで $(\pi|_{S'})^{-1}\circ\pi|_S=\gamma$ である（どちらも $\pi$ の局所的な逆を与え、$\pi\circ\gamma=\pi$）。$\gamma^*g=g$ なので 2 つの定義は一致し、$\bar g$ は $M/\Gamma$ の計量として定まる。$\pi\circ\pi|_S^{-1}=\mathrm{id}$ から $S$ の上で $\pi^*\bar g=g$、$\gamma\cdot S$ の上でも $\gamma^*g=g$ から同じである。一意性は、$\pi$ が局所微分同相なので $\pi^*\bar g$ から $\bar g$ が決まることによる。$\square$