Brocard点

要点：三角形 $ABP$ では $\angle PBA=B-\theta$、$\angle APB=180^\circ-B$ なので、正弦定理から $AP=\dfrac{c\sin(B-\theta)}{\sin B}$ である。三角形 $CAP$ では $\angle APC=180^\circ-A$ なので $AP=\dfrac{b\sin\theta}{\sin A}$ である。2 つを等しいとおき、$c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}$ と加法定理を使って整理すると $\cot\theta-\cot B=\dfrac{\sin B}{\sin A\sin C}$ となり、$\sin B=\sin(A+C)$ を展開すると右辺は $\cot A+\cot C$ になる。

余弦定理から $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$、面積の公式 $S=\dfrac12bc\sin A$ から $\sin A=\dfrac{2S}{bc}$ なので
$$ \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{bc}{2S}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S} $$
である。同じく $\cot B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{4S}$、$\cot C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}$ で、3 つを足すと分子は $a^2+b^2+c^2$ になる。$\square$

方針：式を満たす角 $\omega$ を先に決め、頂点 $A$、$B$ から角 $\omega$ の Ceva 線を引いて交点 $P$ をとる。三角関数形の Ceva の定理で、$C$ での角も $\omega$ になることを示す。
段 1（$\omega$ を決める）。lem-broc-cotsum により $k=\cot A+\cot B+\cot C$ は正である。$\cot$ は $0^\circ<\theta<90^\circ$ で $+\infty$ に近い値から $0$ に近い値まで連続に狭義減少するので、$\cot\omega=k$ となる $\omega$（$0^\circ<\omega<90^\circ$）がただ 1 つある（$\omega$ は $\tan\omega=\dfrac1k$ で決まる）。
段 2（$\omega$ はどの角よりも小さい）。$\sin(B+C)=\sin A$ を使うと
$$ \cot\omega-\cot A=\cot B+\cot C=\frac{\cos B\sin C+\sin B\cos C}{\sin B\sin C}=\frac{\sin A}{\sin B\sin C}>0 $$
なので $\cot\omega>\cot A$ で、$\cot$ は減少するから $\omega< A$ である。同じく $\omega< B$、$\omega< C$ である。
段 3（3 つの比）。段 2 と同じ変形で
$$ \frac{\sin(A-\omega)}{\sin\omega}=\sin A\cot\omega-\cos A=\sin A\,(\cot\omega-\cot A)=\frac{\sin^2A}{\sin B\sin C} $$
である（1 つ目の等号は加法定理 $\sin(A-\omega)=\sin A\cos\omega-\cos A\sin\omega$ を $\sin\omega$ で割ったもの）。同じく $\dfrac{\sin(B-\omega)}{\sin\omega}=\dfrac{\sin^2B}{\sin C\sin A}$、$\dfrac{\sin(C-\omega)}{\sin\omega}=\dfrac{\sin^2C}{\sin A\sin B}$ で、3 つを掛けると
$$ \frac{\sin(A-\omega)}{\sin\omega}\cdot\frac{\sin(B-\omega)}{\sin\omega}\cdot\frac{\sin(C-\omega)}{\sin\omega}=\frac{\sin^2A\sin^2B\sin^2C}{(\sin B\sin C)(\sin C\sin A)(\sin A\sin B)}=1 $$
である。
段 4（2 本の Ceva 線の交点）。段 2 から $\omega< A$ なので、$A$ から、辺 $AB$ と角 $\omega$ をなして角 $\angle BAC$ の内部を通る半直線は、辺 $BC$ と頂点以外の点で交わる。$B$ から、辺 $BC$ と角 $\omega$ をなす半直線も同じである。2 本の Ceva 線は三角形の内部の点 $P$ で交わる（Cevaの定理（高校数学））。$\angle PAB=\omega$、$\angle PBC=\omega$ で、$\varphi=\angle PCA$ とおく。
段 5（$C$ での角）。直線 $AP$、$BP$、$CP$ は $P$ で交わるので、三角関数形のCevaの定理 により
$$ \frac{\sin\omega}{\sin(A-\omega)}\cdot\frac{\sin\omega}{\sin(B-\omega)}\cdot\frac{\sin\varphi}{\sin(C-\varphi)}=1 $$
である（$\angle PAC=A-\omega$、$\angle PBA=B-\omega$、$\angle PCB=C-\varphi$）。段 3 の式と比べると $\dfrac{\sin\varphi}{\sin(C-\varphi)}=\dfrac{\sin\omega}{\sin(C-\omega)}$ である。$\dfrac{\sin\theta}{\sin(C-\theta)}$ は $0^\circ<\theta< C$ で狭義に増加する（三角関数形のCevaの定理 の補題）ので、$\varphi=\omega$ である。よって $P$ は第 1 Brocard 点である。
段 6（ただ 1 つ）。$Q$ も第 1 Brocard 点で、共通の角を $\theta$ とすると、lem-broc-cot により $\cot\theta=k=\cot\omega$ で、$\theta=\omega$ である。すると $Q$ は段 4 の 2 本の半直線の上にあるので、$Q=P$ である。
段 7（第 2 Brocard 点）。三角形の頂点の名前を $B$ と $C$ で入れかえて三角形 $ACB$ と見ると、第 1 Brocard 点の条件は「$\angle PAC=\angle PCB=\angle PBA$」となり、これは三角形 $ABC$ の第 2 Brocard 点の条件である。段 1〜段 6 を三角形 $ACB$ に使うと、第 2 Brocard 点がただ 1 つあり、共通の角 $\theta'$ は $\cot\theta'=\cot A+\cot C+\cot B=\cot\omega$ を満たす。よって $\theta'=\omega$ である。最後の等式は lem-broc-cotsum である。$\square$

$\Omega$ の等角共役点を $Q$ とする（等角共役。三角形の内部の点には等角共役点があり、それも内部の点である）。$AQ$ は $A\Omega$ を角 $A$ の二等分線で折り返した直線なので、$A\Omega$ が辺 $AB$ となす角 $\omega$ と、$AQ$ が辺 $AC$ となす角は等しい。つまり $\angle QAC=\omega$ である。同じく $\angle\Omega BC=\omega$ から $\angle QBA=\omega$、$\angle\Omega CA=\omega$ から $\angle QCB=\omega$ である。よって $Q$ は第 2 Brocard 点の条件を満たし、thm-broc-main のただ 1 つであることから $Q=\Omega'$ である。$\square$

要点：(i) の条件を満たす円はただ 1 つである（中心は $B$ で $BC$ に立てた垂線と $AB$ の垂直二等分線の交点）。一方、3 点 $A$、$B$、$\Omega$ を通る円では、弦 $B\Omega$ と直線 $BC$ のなす角 $\angle CB\Omega=\omega$ が、弦 $B\Omega$ に対する円周角 $\angle BA\Omega=\omega$ に等しいので、接弦定理 の「接弦定理の逆」により直線 $BC$ は $B$ で接する。よって円 $AB\Omega$ が (i) の円である。(ii)、(iii) は頂点の名前を回せばよい。

段 1（引く不等式）。三角形の 3 辺 $a,b,c$ と面積 $S$ について
$$ a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt3\,S $$
が成り立ち、等号は正三角形のときに限る（Weitzenböck の不等式。証明は 余弦定理（高校数学） の数学オリンピックの節にある）。
段 2（余接に直す）。thm-broc-main により $\cot\omega=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$ なので、段 1 は $\cot\omega\ge\sqrt3=\cot30^\circ$ と同じである。
段 3（角に直す）。$\cot$ は $0^\circ<\theta<90^\circ$ で狭義に減少するので、$\cot\omega\ge\cot30^\circ$ は $\omega\le30^\circ$ と同じで、等号 $\omega=30^\circ$ は $\cot\omega=\sqrt3$、つまり段 1 の等号のとき、正三角形のときに限る。$\square$

方針：3 つの角がすべて Brocard 角 $\omega$ より大きいと仮定して、三角関数形の Ceva の定理の式と矛盾させる。すると最も小さい角は $\omega$ 以下で、thm-broc-30 から $30^\circ$ 以下である。
段 1（記号）。$\alpha=\angle PAB$、$\beta=\angle PBC$、$\gamma=\angle PCA$ とおく。$P$ は内部の点なので $0^\circ<\alpha< A$、$0^\circ<\beta< B$、$0^\circ<\gamma< C$ で、$\angle PAC=A-\alpha$、$\angle PBA=B-\beta$、$\angle PCB=C-\gamma$ である。
段 2（Ceva の式）。直線 $AP$、$BP$、$CP$ は $P$ で交わるので、三角関数形のCevaの定理 により
$$ \frac{\sin\alpha}{\sin(A-\alpha)}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(B-\beta)}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin(C-\gamma)}=1 $$
である。
段 3（すべて $\omega$ より大きいとする）。$\alpha>\omega$、$\beta>\omega$、$\gamma>\omega$ と仮定する。$\dfrac{\sin\theta}{\sin(A-\theta)}$ は $0^\circ<\theta< A$ で狭義に増加し、prf-broc-main の段 2 から $\omega< A$ なので、$\dfrac{\sin\alpha}{\sin(A-\alpha)}>\dfrac{\sin\omega}{\sin(A-\omega)}$ である。$\beta$、$\gamma$ でも同じである。3 つの不等式の両辺はどれも正なので、辺々掛けると、段 2 の左辺は
$$ \frac{\sin\omega}{\sin(A-\omega)}\cdot\frac{\sin\omega}{\sin(B-\omega)}\cdot\frac{\sin\omega}{\sin(C-\omega)} $$
より大きい。prf-broc-main の段 3 により、これは $1$ である。すると段 2 の左辺は $1$ より大きくなり、段 2 と矛盾する。
段 4（結論）。よって $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ の少なくとも 1 つは $\omega$ 以下で、thm-broc-30 により $30^\circ$ 以下である。$\square$