Spieker中心

同義語：シュピーカー中心Spieker円Spieker center

概要

前提知識: Gergonne点とNagel点, 中点連結定理, 三角形の重心（高校数学）, 位置ベクトルと内分点

高校での出発点：板の重心と針金の重心

三角形の重心 $G$ は、3 本の中線の交点である。厚さが一様な三角形の板は $G$ で釣り合い、3 つの頂点に同じ重さのおもりを置いたときも $G$ で釣り合う（三角形の重心（高校数学））。では、三角形の形に曲げた一様な針金（3 本の辺だけでできた枠）は、どこで釣り合うだろうか。
一様な針金の棒 1 本は、その中点で釣り合う。棒の重さは長さに比例する。そこで、三角形の針金を「3 辺の中点に、それぞれの辺の長さに比例する重さのおもりを置いたもの」と考えて、釣り合う点を計算してみる。
以下、三角形 $ABC$ の辺の長さを $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$、周の長さの半分を $s$ とし、点をその位置ベクトルと同じ文字で表す。辺 $BC$、$CA$、$AB$ の中点を $M_a$、$M_b$、$M_c$ とする。

3 辺 3, 4, 5 の直角三角形の針金

$B(0,0)$、$C(4,0)$、$A(0,3)$ とする。$a=4$、$b=5$、$c=3$ で、中点は $M_a(2,0)$、$M_b\left(2,\dfrac32\right)$、$M_c\left(0,\dfrac32\right)$ である。
(1) 針金の釣り合いの点。$M_a$ に重さ $4$、$M_b$ に重さ $5$、$M_c$ に重さ $3$ を置いた重心は
$$ \frac{4M_a+5M_b+3M_c}{12}=\left(\frac{8+10+0}{12},\ \frac{0+\frac{15}2+\frac92}{12}\right)=\left(\frac32,\ 1\right) $$
である。
(2) 頂点の重心。$G=\dfrac{A+B+C}3=\left(\dfrac43,1\right)$ で、(1) の点とは違う。
(3) 中点三角形の内心。3 つの中点を結ぶ三角形 $M_aM_bM_c$ は、$M_b$ での角が直角で、直角をはさむ 2 辺が $M_bM_a=\dfrac32$、$M_bM_c=2$、斜辺が $M_aM_c=\sqrt{4+\dfrac94}=\dfrac52$ の直角三角形である。直角三角形の内接円の半径は「直角をはさむ 2 辺の和から斜辺を引いて 2 で割る」ので $\dfrac{\frac32+2-\frac52}2=\dfrac12$ で、内心は直角の頂点 $M_b\left(2,\dfrac32\right)$ から 2 本の辺の内側へ $\dfrac12$ ずつ入った点 $\left(\dfrac32,1\right)$ である。
(1) の針金の釣り合いの点と、(3) の中点三角形の内心が、同じ点 $\left(\dfrac32,1\right)$ になった。

3 辺 3, 4, 5 の三角形の針金は、3 辺の中点に辺の長さの重さを置いたものと考えると Sp で釣り合い、Sp は中点三角形の内接円の中心で、頂点の重心 G とは違う
ex-spk-start (3) で使った半径の式 $\dfrac{p+q-h}2$（$p,q$ は直角をはさむ 2 辺、$h$ は斜辺）は次のように出る。直角の頂点、そこから 2 本の辺への接点、内心の 4 点は、1 辺が内接円の半径の正方形を作るので、半径は直角の頂点から接点までの長さに等しい。その長さは周の長さの半分から斜辺を引いた $\dfrac{p+q+h}2-h$ である（三角形の内心と傍心の命題「接点までの長さ」）。
この記事で答える問いは次の 3 つである。

針金の釣り合いの点と中点三角形の内心は、いつも一致するか。→ thm-spk-wire
その点は、内心・重心・Nagel 点とどう並ぶか。→ thm-spk-nagel

その点を通る特別な直線はあるか。→ prop-spk-cleaver

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
辺の中点に辺の長さの重さを置いた重心	周の重心（針金の重心）	曲線に沿った積分で定める重心
中点連結定理	中点三角形とその内心 $S_p$	重心 $G$ を中心とする比 $-\dfrac12$ の相似拡大
位置ベクトルの和	Nagel 線の上の 4 点 $I,G,S_p,N_a$	Euler 線との対応

言葉の準備：中点三角形と周の重心

中点三角形・周の重心・Spieker 中心

3 辺の中点 $M_a$、$M_b$、$M_c$ を頂点とする三角形を、三角形 $ABC$ の 中点三角形 という。
3 辺の中点 $M_a$、$M_b$、$M_c$ に、それぞれ辺の長さ $a$、$b$、$c$ の質量を置いた質点の集まりの質量中心
$$ \frac{aM_a+bM_b+cM_c}{a+b+c} $$
を、三角形 $ABC$ の 周の重心（針金の重心）という。
中点三角形の内心を、三角形 $ABC$ の Spieker 中心 といい、$S_p$ で表す。中点三角形の内接円を Spieker 円 という。

の「質量中心」は三角形の重心（高校数学）の定義「質点の集まりの質量中心」のものである。(2) を針金の釣り合いの点とみなすのは、「一様な棒は中点で釣り合う」「いくつかの部分に分けて、それぞれの釣り合いの点に部分の重さを置いてよい」という物理の考え方による。後者は、質点については同記事の命題「質量中心はまとめて計算できる」で数学として示されている。この記事では (2) の式を周の重心の定義とする（積分で定める見方は「大学数学で見る」で触れる）。
中点三角形の辺の長さは、中点連結定理により
$$ M_bM_c=\frac a2,\qquad M_cM_a=\frac b2,\qquad M_aM_b=\frac c2 $$
で、$M_bM_c\parallel BC$、$M_cM_a\parallel CA$、$M_aM_b\parallel AB$ である。つまり中点三角形は、もとの三角形を $\dfrac12$ に縮めて $180^\circ$ 回した形をしていて、頂点 $M_a$ の向かいの辺の長さは $\dfrac a2$ である。
三角形の内心は、各頂点に向かい合う辺の長さを重さにした質量中心
$$ I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c} $$
である（三角形の内心と傍心）。

主定理 1：Spieker 中心は周の重心

Spieker 中心と周の重心

三角形 $ABC$ の Spieker 中心 $S_p$ は周の重心に一致し、
$$ S_p=\frac{(b+c)A+(c+a)B+(a+b)C}{4s} $$
である。

2 つの点を同じ式で書く

方針：中点三角形の内心の公式と周の重心の定義が、同じ式になることを確かめる。
段 1（中点三角形の内心）。内心の公式を中点三角形 $M_aM_bM_c$ に使う。頂点 $M_a$、$M_b$、$M_c$ に向かい合う辺の長さは $\dfrac a2$、$\dfrac b2$、$\dfrac c2$ なので
$$ S_p=\frac{\frac a2M_a+\frac b2M_b+\frac c2M_c}{\frac a2+\frac b2+\frac c2}=\frac{aM_a+bM_b+cM_c}{a+b+c} $$
である（分母と分子に $2$ を掛けた）。これは def-spk (2) の周の重心の式そのものである。
段 2（$A$、$B$、$C$ で書く）。$M_a=\dfrac{B+C}2$、$M_b=\dfrac{C+A}2$、$M_c=\dfrac{A+B}2$ を代入すると、分子は
$$ aM_a+bM_b+cM_c=\frac{a(B+C)+b(C+A)+c(A+B)}2=\frac{(b+c)A+(c+a)B+(a+b)C}2 $$
である。$a+b+c=2s$ で割ると、定理の式を得る。$\square$

段 1 のとおり、2 つの点が一致する理由は、内心の公式の重さ（向かい合う辺の長さ）と、周の重心の重さ（その中点がのる辺の長さ）が、中点三角形では同じものになることにある。中点三角形で頂点 $M_a$ に向かい合う辺 $M_bM_c$ の長さは、$M_a$ がのる辺 $BC$ の長さのちょうど半分である。

3 辺 15, 13, 14 の三角形の Spieker 中心

$B(0,0)$、$C(15,0)$、$A\left(\dfrac{42}5,\dfrac{56}5\right)$ とする（Gergonne点とNagel点の例と同じ三角形）。$a=15$、$b=13$、$c=14$、$s=21$ で、重さは $b+c=27$、$c+a=29$、$a+b=28$ なので
$$ S_p=\frac{27A+29B+28C}{84}=\left(\frac{27\cdot\frac{42}5+28\cdot15}{84},\ \frac{27\cdot\frac{56}5}{84}\right)=\left(\frac{\frac{1134}5+420}{84},\ \frac{\frac{1512}5}{84}\right)=\left(\frac{77}{10},\ \frac{18}5\right) $$
である。重心は $G=\left(\dfrac{39}5,\dfrac{56}{15}\right)=(7.8,\ 3.73\ldots)$ で、$S_p=(7.7,\ 3.6)$ とは少しずれている。

周の重心と重心が一致する三角形

$S_p=G$ となるのは、三角形 $ABC$ が正三角形のときに限る。

係数を比べる

正三角形なら $a=b=c$ で、thm-spk-wire の係数はすべて $2a$、$4s=6a$ なので $S_p=\dfrac{A+B+C}3=G$ である。逆に $S_p=G$ とする。三角形の点は $A$、$B$、$C$ の係数の和が $1$ の式でただ 1 通りに書ける（位置ベクトルと内分点）ので、係数を比べて $\dfrac{b+c}{4s}=\dfrac{c+a}{4s}=\dfrac{a+b}{4s}=\dfrac13$ である。$b+c=c+a$ から $a=b$、$c+a=a+b$ から $b=c$ で、正三角形である。$\square$

三角形の重心（高校数学）では、3 頂点に同じ重さを置いたときの重心と、一様な板の重心が、どちらも $G$ になることを示している。周の重心だけは一般に $G$ と違う。重さの置き方（点・面・線）によって釣り合いの点が変わる例である。

主定理 2：Nagel 線の上の 4 点

Gergonne点とNagel点では、3 つの傍接円が辺に接する点と向かい合う頂点を結ぶ 3 本が 1 点 $N_a$（Nagel 点）で交わり、
$$ N_a=\frac{(s-a)A+(s-b)B+(s-c)C}s,\qquad G=\frac{2I+N_a}3 $$
であることを示した（同記事の定理「Gergonne 点と Nagel 点の位置ベクトル」と定理「Nagel 線」）。後の式は、$I\ne N_a$ なら内心 $I$、重心 $G$、Nagel 点 $N_a$ が一直線上にあって $IG:GN_a=1:2$ であることを表す。この直線を Nagel 線という。Spieker 中心もこの直線の上にある。

Spieker 中心と Nagel 線

三角形 $ABC$ の内心を $I$、重心を $G$、Nagel 点を $N_a$、Spieker 中心を $S_p$ とする。
(1) $S_p=\dfrac{I+N_a}2$ である。つまり $S_p$ は線分 $IN_a$ の中点である。
(2) $S_p=G-\dfrac12(I-G)$ である。つまり $G$ を中心とする比 $-\dfrac12$ の相似拡大は $I$ を $S_p$ に移す。
(3) 三角形 $ABC$ が正三角形でなければ、4 点は $I$、$G$、$S_p$、$N_a$ の順に一直線上に並び、
$$ IG:GS_p:S_pN_a=2:1:3 $$
である。

位置ベクトルを足す

方針：$I$ と $N_a$ を $A$、$B$、$C$ の係数で書いて足し、thm-spk-wire の式と比べる。
段 1（(1)）。$I=\dfrac{aA+bB+cC}{2s}$、$N_a=\dfrac{2(s-a)A+2(s-b)B+2(s-c)C}{2s}$ なので
$$ \frac{I+N_a}2=\frac{\bigl(a+2(s-a)\bigr)A+\bigl(b+2(s-b)\bigr)B+\bigl(c+2(s-c)\bigr)C}{4s} $$
である。$a+2(s-a)=2s-a=b+c$、同じく $2s-b=c+a$、$2s-c=a+b$ なので、右辺は thm-spk-wire の $S_p$ の式に一致する。
段 2（(2)）。$G=\dfrac{2I+N_a}3$ から $N_a=3G-2I$ である。(1) に代入すると
$$ S_p=\frac{I+3G-2I}2=\frac{3G-I}2=G-\frac12(I-G) $$
である。
段 3（(3)）。正三角形でなければ、cor-spk-equilateral により $S_p\ne G$ なので、段 2 の式から $I\ne G$ である。$\vec v=I-G$ とおくと $\vec v\ne\vec 0$ で、段 2 と $N_a=3G-2I$ から
$$ I=G+\vec v,\qquad S_p=G-\frac12\vec v,\qquad N_a=G-2\vec v $$
である。4 点はどれも $G$ を通り $\vec v$ に平行な直線の上にあり、この直線の上で $\vec v$ の係数は $1$、$0$、$-\dfrac12$、$-2$ の順に減るので、$I$、$G$、$S_p$、$N_a$ の順に並ぶ。長さは
$$ IG=\lvert\vec v\rvert,\qquad GS_p=\frac12\lvert\vec v\rvert,\qquad S_pN_a=\left(2-\frac12\right)\lvert\vec v\rvert=\frac32\lvert\vec v\rvert $$
なので $IG:GS_p:S_pN_a=1:\dfrac12:\dfrac32=2:1:3$ である。$\square$

は図形の言葉でも説明できる。$G$ を中心とする比 $-\dfrac12$ の相似拡大は、$A$ を $G-\dfrac12(A-G)=\dfrac{3G-A}2=\dfrac{B+C}2=M_a$ に移し、同じく $B$ を $M_b$、$C$ を $M_c$ に移す。つまり三角形 $ABC$ を中点三角形に移す（相似変換と相似の中心）。相似拡大は角を保つので、角の二等分線を角の二等分線に移し、三角形 $ABC$ の内心を中点三角形の内心 $S_p$ に移す。同じ理由で、内接円（半径 $r$）は中点三角形の内接円に移るので、Spieker 円の半径は $\dfrac r2$ である。

4 点を 2 つの三角形で確かめる

ex-spk-start の三角形（$a=4$、$b=5$、$c=3$、$s=6$）。$I(1,1)$、$G\left(\dfrac43,1\right)$、$N_a=3G-2I=(2,1)$ で、
$$ \frac{I+N_a}2=\left(\frac32,\ 1\right)=S_p $$
である。4 点はどれも直線 $y=1$ の上にあり、$x$ 座標は $1$、$\dfrac43$、$\dfrac32$、$2$ で、間の長さは $\dfrac13$、$\dfrac16$、$\dfrac12$、比は $2:1:3$ である。Spieker 円の半径は ex-spk-start (3) の $\dfrac12$ で、内接円の半径 $r=1$ の半分である。
ex-spk-151314 の三角形。$I(8,4)$、$N_a\left(\dfrac{37}5,\dfrac{16}5\right)$（Gergonne点とNagel点の例）で、$\dfrac{I+N_a}2=\left(\dfrac{77}{10},\dfrac{18}5\right)=S_p$ となり、thm-spk-wire で求めた値と一致する。$G-\dfrac12(I-G)=\left(\dfrac{39}5-\dfrac12\cdot\dfrac15,\ \dfrac{56}{15}-\dfrac12\cdot\dfrac4{15}\right)=\left(\dfrac{77}{10},\dfrac{54}{15}\right)$ で、$\dfrac{54}{15}=\dfrac{18}5$ である。

鈍角三角形で確かめる

3 辺が $a=7$、$b=5$、$c=3$ の三角形（$A=120^\circ$）を $B(0,0)$、$C(7,0)$、$A\left(\dfrac{33}{14},\dfrac{15\sqrt3}{14}\right)$ におく。$s=\dfrac{15}2$ で、thm-spk-wire の重さは $b+c=8$、$c+a=10$、$a+b=12$ なので
$$ S_p=\frac{8A+10B+12C}{30}=\left(\frac{\frac{132}7+84}{30},\ \frac{\frac{60\sqrt3}7}{30}\right)=\left(\frac{24}7,\ \frac{2\sqrt3}7\right) $$
である。一方 $I=\dfrac{7A+5B+3C}{15}=\left(\dfrac52,\dfrac{\sqrt3}2\right)$、$G=\left(\dfrac{131}{42},\dfrac{5\sqrt3}{14}\right)$、$N_a=3G-2I=\left(\dfrac{61}{14},\dfrac{\sqrt3}{14}\right)$ で、$\dfrac{I+N_a}2=\left(\dfrac{35+61}{28},\dfrac{7\sqrt3+\sqrt3}{28}\right)=\left(\dfrac{24}7,\dfrac{2\sqrt3}7\right)$ と一致する。$IG=\dfrac23$、$GS_p=\dfrac13$、$S_pN_a=1$ で、比は $2:1:3$ である。

3 辺 15, 13, 14 の三角形で、内心 I、重心 G、Spieker 中心 Sp、Nagel 点 Na は一直線上にこの順に並び、右上の拡大図のように間の長さの比は 2 対 1 対 3 である

角 A が 120 度の鈍角三角形でも、I、G、Sp、Na は一直線上に並び、Sp は中点三角形の内接円の中心である

thm-spk-nagel (2) の相似拡大は、Gergonne点とNagel点の注意「Spieker 中心と中点三角形」で見た「三角形 $ABC$ の内心は、中点三角形の Nagel 点である」という事実とも対になっている。同じ相似拡大が $N_a\mapsto I$ と $I\mapsto S_p$ を与えるので、中点三角形の中で $I$ と $S_p$ は、もとの三角形の中の $N_a$ と $I$ と同じ役を果たしている。

周を二等分する直線

周の重心には、周の長さに関するもう 1 つの顔がある。

周を二等分する 3 本の直線

辺 $BC$ の中点 $M_a$ を通り、角 $A$ の二等分線に平行な直線を $k_A$ とする。$k_B$、$k_C$ も同じように定める。
(1) $k_A$ は三角形の周を、長さ $s$ ずつの 2 つの部分に分ける。$k_B$、$k_C$ も同じである。
(2) 3 本の直線 $k_A$、$k_B$、$k_C$ は Spieker 中心 $S_p$ で交わる。

中点連結定理と二等辺三角形

段 1（(1)、$b\le c$ の場合）。辺 $BA$ を $A$ の先へ延ばし、$AD=b$ となる点 $D$ をとる。三角形 $ADC$ は $AD=AC=b$ の二等辺三角形で、頂角 $\angle DAC=180^\circ-A$ なので、底角は $\angle ADC=\dfrac{180^\circ-(180^\circ-A)}2=\dfrac A2$ である。角 $A$ の二等分線 $AI$ が半直線 $AB$ となす角も $\dfrac A2$ なので、同位角が等しく $DC\parallel AI$ である。三角形 $BDC$ で、$M_a$ は辺 $BC$ の中点で、$k_A$ は $M_a$ を通り $DC$ に平行なので、$k_A$ は辺 $BD$ の中点 $X$ を通る（中点連結定理の定理「中点連結定理の逆」）。$BD=c+b$ なので $BX=\dfrac{b+c}2\le c$ で、$X$ は辺 $AB$ の上にある。周を $M_a$ から $B$ を回って $X$ まで進む長さは
$$ M_aB+BX=\frac a2+\frac{b+c}2=s $$
である。周全体の長さは $2s$ なので、残りの部分も長さ $s$ である。$b>c$ の場合は、$B$ と $C$、$b$ と $c$ の役を入れかえて同じように示せる（$X$ は辺 $AC$ の上にくる）。$k_B$、$k_C$ も頂点の名前を回せば同じである。
段 2（(2)）。$M_c-M_a=\dfrac{A-C}2$、$M_b-M_a=\dfrac{A-B}2$ なので、中点三角形の頂点 $M_a$ から出る 2 辺は、$C$ から $A$ への向きと $B$ から $A$ への向きをもつ。長さ $1$ のベクトル $\vec e_1=\dfrac{A-C}b$、$\vec e_2=\dfrac{A-B}c$ を使うと、角 $M_cM_aM_b$ の二等分線の向きは $\vec e_1+\vec e_2$（ひし形の対角線の向き）である。一方、角 $A$ の二等分線の向きは $\dfrac{B-A}c+\dfrac{C-A}b=-(\vec e_1+\vec e_2)$ である。したがって $k_A$ は、中点三角形の頂点 $M_a$ での角の二等分線である。$k_B$、$k_C$ も同じなので、3 本は中点三角形の 3 つの角の二等分線で、中点三角形の内心 $S_p$ で交わる。$\square$

3, 4, 5 の三角形で周を二等分する

ex-spk-start の三角形（$a=4$、$b=5$、$c=3$、$s=6$）で $k_A$ を求める。$b>c$ なので、$X$ は辺 $AC$ の上の $CX=\dfrac{b+c}2=4$ の点で、$C(4,0)$ から $A$ への長さ $1$ のベクトル $\left(-\dfrac45,\dfrac35\right)$ を $4$ 倍して $X=\left(\dfrac45,\dfrac{12}5\right)$ である。周を $M_a(2,0)$ から $C$ を回って $X$ まで進む長さは $2+4=6=s$ である。$\overrightarrow{M_aX}=\left(-\dfrac65,\dfrac{12}5\right)$ は $(-1,2)$ の向きで、$\overrightarrow{AI}=(1,1)-(0,3)=(1,-2)$ に平行である。直線 $M_aX$ は $y=-2(x-2)$ で、$S_p\left(\dfrac32,1\right)$ は $-2\left(\dfrac32-2\right)=1$ を満たし、この直線の上にある。

辺の中点を通り、向かい合う角の二等分線に平行な 3 本の直線は、どれも周を半分ずつに分け、Spieker 中心 Sp で交わる
prop-spk-cleaver (1) の直線は、周の重心という名前とよく合っている。周の重心を通るこの 3 本は、どれも針金を同じ長さの 2 つの部分に分ける。ただし、周の重心を通る直線がいつも周を二等分するわけではない。ex-spk-start の三角形で $S_p\left(\dfrac32,1\right)$ を通る直線 $y=1$ は、辺 $AB$ と $(0,1)$ で、辺 $CA$ と $\left(\dfrac83,1\right)$ で交わり、上側の部分の長さは $2+\dfrac{10}3=\dfrac{16}3\ne6$ である。これは三角形の重心（高校数学）の反例「重心を通る直線は面積を 2 等分するとは限らない」の、針金の版にあたる。

比べる：3 つの重心と 2 本の直線

重さの置き方で 3 つの重心を比べる。

	頂点の重心	板の重心	周の重心
重さの置き方	3 頂点に同じ重さ	面に一様に	辺に一様に
点	$G$	$G$	$S_p$
式	$\dfrac{A+B+C}3$	$\dfrac{A+B+C}3$	$\dfrac{(b+c)A+(c+a)B+(a+b)C}{4s}$
3 辺 $4,5,3$ の値	$\left(\dfrac43,1\right)$	$\left(\dfrac43,1\right)$	$\left(\dfrac32,1\right)$
$G$ と一致する三角形	すべて	すべて	正三角形だけ

板の重心が $G$ になることは三角形の重心（高校数学）の命題「三角形の板の重心」で示されている。
Nagel 線は、Euler線とよく似た形をしている。

	Euler 線	Nagel 線
並ぶ 4 点	外心 $O$、重心 $G$、九点円の中心 $N$、垂心 $H$	内心 $I$、重心 $G$、Spieker 中心 $S_p$、Nagel 点 $N_a$
中点三角形での役	$N$ は中点三角形の外心	$S_p$ は中点三角形の内心
長さの比	$OG:GN:NH=2:1:3$	$IG:GS_p:S_pN_a=2:1:3$
$G$ を中心とする比 $-\dfrac12$ の相似拡大	$O\mapsto N$、$H\mapsto O$	$I\mapsto S_p$、$N_a\mapsto I$

Euler 線の側は、$OG:GH=1:2$ と、九点円の中心 $N$ が線分 $OH$ の中点であること（Euler線、九点円）から、thm-spk-nagel (3) と同じ計算で $2:1:3$ が出る。2 本の直線は、「外接円・外心」を「内接円・内心」に替えた対応になっている。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
中点の重さが辺の長さ	3 辺の中点に同じ重さを置く	中点三角形の内心と一致する
三角形	四角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,2)$、$D(0,3)$	周の重心が「辺の中点を結ぶ図形」の内心になる

反例：中点に同じ重さを置く

ex-spk-start の三角形で、3 辺の中点に同じ重さを置くと
$$ \frac{M_a+M_b+M_c}3=\frac13\left(2+2+0,\ 0+\frac32+\frac32\right)=\left(\frac43,\ 1\right) $$
で、重心 $G$ になる（一般に $\dfrac{M_a+M_b+M_c}3=\dfrac{(B+C)+(C+A)+(A+B)}6=\dfrac{A+B+C}3$）。中点三角形の内心 $S_p=\left(\dfrac32,1\right)$ とは一致しない。周の重心が中点三角形の内心になるのは、thm-spk-wire の証明の段 1 のとおり、重さが辺の長さに比例しているからである。

反例：四角形では中点の四角形に内接円がない

四角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,2)$、$D(0,3)$ の 4 辺の中点は $(2,0)$、$(4,1)$、$\left(2,\dfrac52\right)$、$\left(0,\dfrac32\right)$ で、これを結ぶ四角形は平行四辺形である（Varignonの定理）。その辺の長さは対角線の半分で、$\dfrac{AC}2=\dfrac{2\sqrt5}2=\sqrt5$ と $\dfrac{BD}2=\dfrac52$ である。平行四辺形に内接円があるなら、向かい合う辺の和が等しいこと（Pitotの定理）から隣り合う辺が等しく、ひし形でなければならない。$\sqrt5\ne\dfrac52$ なので、この平行四辺形には内接円がなく、「中点の四角形の内心」は存在しない。
一方、周の重心は辺の長さ $4$、$2$、$\sqrt{17}$、$3$ を重さにして計算でき、$\left(\dfrac{55+\sqrt{17}}{32},\dfrac{1+\sqrt{17}}4\right)\approx(1.848,\ 1.281)$ である。

周の重心の計算を開く

重さの合計は $9+\sqrt{17}$ で、$x$ 座標は $\dfrac{4\cdot2+2\cdot4+\sqrt{17}\cdot2+3\cdot0}{9+\sqrt{17}}=\dfrac{16+2\sqrt{17}}{9+\sqrt{17}}=\dfrac{(16+2\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}{64}=\dfrac{110+2\sqrt{17}}{64}=\dfrac{55+\sqrt{17}}{32}$、$y$ 座標は $\dfrac{4\cdot0+2\cdot1+\sqrt{17}\cdot\frac52+3\cdot\frac32}{9+\sqrt{17}}=\dfrac{13+5\sqrt{17}}{2(9+\sqrt{17})}=\dfrac{(13+5\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}{128}=\dfrac{32+32\sqrt{17}}{128}=\dfrac{1+\sqrt{17}}4$ である。

四角形の周の重心は計算できるが、辺の中点を結ぶ平行四辺形はひし形でないので内接円をもたない

大学数学で見る：曲線の重心と回転面の面積

def-spk (2) では、棒が中点で釣り合うことを認めて周の重心を定めた。大学では、曲線の重心を積分で定める。曲線の長さを $L$、曲線に沿って測った長さを $\ell$ とすると、重心は
$$ \bar P=\frac1L\int P\,d\ell $$
である（曲線の上の点 $P$ を、長さの重みで平均する）。線分 $PQ$ を $P+u(Q-P)$（$0\le u\le1$）と表すと $d\ell=\lvert Q-P\rvert\,du$ で、$\displaystyle\int_0^1\bigl(P+u(Q-P)\bigr)du=\frac{P+Q}2$ なので、線分の重心は中点、重さは長さになる。3 本の線分をつないだ周の重心は、def-spk (2) の式と一致する。

回転面の面積と周の重心

三角形の周を、周と交わらない直線（軸）のまわりに 1 回転させてできる曲面の面積は、「周の長さ × 周の重心 $S_p$ が 1 回転で動く距離」に等しい。

理由を開く

線分を軸のまわりに回すと円錐台の側面（軸に平行な線分なら円柱の側面、軸に垂直な線分なら平らな円環）になり、その面積はどの場合も $\pi(r_1+r_2)\ell=2\pi\cdot\dfrac{r_1+r_2}2\cdot\ell$（$r_1,r_2$ は両端の軸からの距離、$\ell$ は線分の長さ。円錐の側面積から引き算で得られる公式で、この記事では証明しない）である。$\dfrac{r_1+r_2}2$ は中点の軸からの距離なので、これは「線分の長さ × 中点が動く距離」である。軸の片側にある点の軸からの距離は座標の 1 次式なので、3 辺について足すと、辺の長さを重さにした中点の平均、つまり $S_p$ の軸からの距離が現れる。

ex-spk-start の三角形の周（長さ $12$）を直線 $y=-1$ のまわりに回すと、$S_p\left(\dfrac32,1\right)$ は半径 $2$ の円を描くので、面積は $12\cdot2\pi\cdot2=48\pi$ である。

3 辺ごとに分けて確かめる計算を開く

辺 $BC$ は $r_1=r_2=1$、$\ell=4$ で $8\pi$、辺 $CA$ は $r_1=1$、$r_2=4$、$\ell=5$ で $25\pi$、辺 $AB$ は軸に垂直なので円環になり、$r_1=4$、$r_2=1$、$\ell=3$ で $15\pi$（$=\pi(4^2-1^2)$）である。合計は $48\pi$ で一致する。

板の重心で回転体の体積が求まる（Pappus–Guldinus の定理。体積と回転体、三角形の重心（高校数学）の例「回転体の体積を重心で求める」）のと同じように、周の重心で回転面の面積が求まる。

演習

二等辺三角形の Nagel 線

$A(0,4)$、$B(-3,0)$、$C(3,0)$ の三角形で、$I$、$G$、$S_p$、$N_a$ を求め、thm-spk-nagel (3) の比を確かめよ。

解答を開く

$a=6$、$b=c=5$、$s=8$、面積 $12$、$r=\dfrac{12}8=\dfrac32$ で、$I=\left(0,\dfrac32\right)$、$G=\left(0,\dfrac43\right)$ である。thm-spk-wire で $S_p=\dfrac{10A+11B+11C}{32}=\left(0,\dfrac{40}{32}\right)=\left(0,\dfrac54\right)$、$N_a=3G-2I=(0,1)$ である。4 点は対称軸 $x=0$ の上にあり、$y$ 座標は $\dfrac32$、$\dfrac43$、$\dfrac54$、$1$ で、間の長さは $\dfrac16$、$\dfrac1{12}$、$\dfrac14$、比は $2:1:3$ である。

周を二等分する直線

ex-spk-start の三角形で、辺 $CA$ の中点 $M_b$ を通り角 $B$ の二等分線に平行な直線 $k_B$ の式を求め、周を二等分することと $S_p$ を通ることを確かめよ。

解答を開く

角 $B$ は直角で、二等分線は $y=x$ の向きである。$M_b\left(2,\dfrac32\right)$ を通るので $k_B$ は $y=x-\dfrac12$ で、辺 $BC$ と $X\left(\dfrac12,0\right)$ で交わる。周を $M_b$ から $C$ を回って $X$ まで進む長さは $M_bC+CX=\dfrac52+\dfrac72=6=s$ である。$S_p\left(\dfrac32,1\right)$ は $1=\dfrac32-\dfrac12$ を満たすので $k_B$ の上にある。

さらに先へ

Spieker 中心の定義、周の重心であること、Nagel 線の上にあって $S_pG=\dfrac12IG$ であることは Wei26a に、Spieker 円の半径が $\dfrac r2$ であることは Wei26b にある。Wei26a によると、Spieker 中心は 3 つの傍接円のすべてに直交する円の中心でもある（この記事では証明しない）。
Nagel 点を通る円として Fuhrmannの円がある。
周を二等分する直線は、傍接円の接点と頂点を結ぶ直線（Gergonne点とNagel点の例「傍接円の接点は周の長さを二等分する」）にも現れる。そちらは頂点から出て、ここでは辺の中点から出る。