アフィン代数的集合

包含 $I\subseteq J$ のもとで $a\in V(J)$ なら、特に $I$ の全要素が $a$ で消えるので $a\in V(I)$ である。零多項式は全点で消え、$1$ はどの点でも消えないため、2も従う。
点 $a$ が $V(\sum_\lambda I_\lambda)$ に属することは、すべての $I_\lambda$ の全要素が $a$ で消えることと同値なので、3が成り立つ。
$IJ\subseteq I\cap J$ より $V(I\cap J)\subseteq V(IJ)$ である。一方、$a\in V(IJ)$ とする。$a\notin V(I)$ ならば $f(a)\ne0$ となる $f\in I$ が存在する。任意の $g\in J$ に対し $fg\in IJ$ だから $f(a)g(a)=0$ であり、$f(a)\ne0$ より $g(a)=0$ を得る。従って $a\in V(J)$ である。よって $V(IJ)\subseteq V(I)\cup V(J)$ である。逆包含は、$a\in V(I)$ または $a\in V(J)$ ならば $IJ$ の各積が $a$ で消えることから従う。また $I\cap J\subseteq I,J$ より $V(I)\cup V(J)\subseteq V(I\cap J)$ なので、4を得る。
$I\subseteq\sqrt I$ より $V(\sqrt I)\subseteq V(I)$ である。逆に $a\in V(I)$、$f\in\sqrt I$ とする。ある正の整数 $m$ について $f^m\in I$ なので $f(a)^m=0$、従って体 $k$ では $f(a)=0$ である。よって $a\in V(\sqrt I)$ となり、5を得る。

$S\subseteq I(Y)$ であることは、各 $f\in S$ がすべての $a\in Y$ で消えること、すなわち各 $a\in Y$ が $V(S)$ に属することと同値である。これが最初の同値である。
$S\subseteq I(V(S))$ なので、零点集合の包含反転性から
$$ V(I(V(S)))\subseteq V(S) $$
を得る。反対に、消滅イデアルの定義から $V(S)$ の各点では $I(V(S))$ の全要素が消えるので $V(S)\subseteq V(I(V(S)))$ である。従って最初の等式が成り立つ。
$Y\subseteq V(I(Y))$ なので、消滅イデアルの包含反転性から
$$ I(V(I(Y)))\subseteq I(Y) $$
を得る。逆包含 $I(Y)\subseteq I(V(I(Y)))$ は、最初の同値に $S=I(Y)$ を適用すれば従う。従って二つ目の等式も成り立つ。

$Y\subseteq V(I(Y))$ であり、右辺はアフィン代数的集合だから、$V(I(Y))$ は $Y$ を含むZariski閉集合である。
$X$ を $Y$ を含む任意のZariski閉集合とする。ある $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ により $X=V(S)$ と書ける。$Y\subseteq V(S)$ なので、Galois対応から $S\subseteq I(Y)$ である。包含反転性により
$$ V(I(Y))\subseteq V(S)=X $$
となる。従って $V(I(Y))$ は $Y$ を含むすべてのZariski閉集合に含まれ、まさに $Y$ の閉包である。

有限集合 $\{a_1,\ldots,a_m\}$ は $V((x-a_1)\cdots(x-a_m))$ であり、空集合は $V(1)$、全体は $V(0)$ である。逆に $X=V(S)$ とする。$k[x]$ は単項イデアル整域なので $(S)=(g)$ となる $g$ があり、$X=V((S))=V(g)$ である。$g=0$ なら $X=\mathbb{A}^1(k)$ である。$g\ne0$ なら、$g$ の根は高々 $\deg g$ 個なので $X$ は有限集合である。
空でない開集合 $U_1,U_2$ の補集合は真部分の閉集合、すなわち有限集合 $F_1,F_2$ である。$k$ は無限だから $k\setminus(F_1\cup F_2)$ は空でなく、$U_1\cap U_2\ne\emptyset$ である。相異なる二点 $a,b$ を交わらない開近傍で分けられないので、Hausdorff でない。

$\Delta$ は多項式 $x-y$ の零点集合なので、$\mathbb{A}^2(k)$ のZariski閉集合である。積位相で $\Delta$ が閉だとすると、その補集合は開集合である。点 $(a,b)$（$a\ne b$）は補集合に属するので、積位相の基本開集合 $U\times W$ で $(a,b)\in U\times W$ かつ $(U\times W)\cap\Delta=\emptyset$ となるものがある。後者は $U\cap W=\emptyset$ ということである。しかし prop-affine-algebraic-set-line により $U$ と $W$ は空でない $\mathbb{A}^1(k)$ の開集合なので交わる。これは矛盾である。

$X$ は空でないので $1\notin I(X)$ であり、$I(X)$ は真のイデアルである。
$X$ が既約だとし、$fg\in I(X)$ とする。$X$ の各点で $f$ か $g$ のどちらかが消えるので
$$ X=(X\cap V(f))\cup(X\cap V(g)) $$
となる。右辺の二つは代数的集合 $X$ と $V(f)$、$X$ と $V(g)$ の共通部分なので代数的集合である。既約性より、例えば $X=X\cap V(f)$ であり、これは $f$ が $X$ 上で消えること、すなわち $f\in I(X)$ を意味する。もう一方の場合は $g\in I(X)$ である。したがって $I(X)$ は素イデアルである。
逆に $I(X)$ が素イデアルだとし、$X=X_1\cup X_2$ とする。消滅イデアルの定義から $I(X)=I(X_1)\cap I(X_2)\supseteq I(X_1)I(X_2)$ である。素イデアルが二つのイデアルの積を含めば、どちらか一方を含むので、例えば $I(X_1)\subseteq I(X)$ である。$X_1\subseteq X$ から逆の包含 $I(X)\subseteq I(X_1)$ も成り立つので $I(X_1)=I(X)$ となる。アフィン代数的集合は消滅イデアルから復元できるので、$X_1=V(I(X_1))=V(I(X))=X$ である。

消滅イデアルを取ると増加列 $I(X_1)\subseteq I(X_2)\subseteq\cdots$ を得る。Hilbertの基底定理により $k[x_1,\ldots,x_n]$ はNoether環なので、この列はある $N$ から先で一定になる。$m\ge N$ なら $I(X_m)=I(X_N)$ であり、代数的集合は消滅イデアルから復元できるから $X_m=V(I(X_m))=V(I(X_N))=X_N$ である。

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では、零でない一変数多項式の根は高々次数の個数しかないので、無限個の点で消える $f$ は $0$ である。
$n\ge2$ とし、$f=\sum_{i=0}^d g_i(x_1,\ldots,x_{n-1})\,x_n^i$ と書く。$(a_1,\ldots,a_{n-1})\in k^{n-1}$ を固定すると、一変数多項式 $f(a_1,\ldots,a_{n-1},x_n)$ はすべての $x_n\in k$ で消えるので、$n=1$ の場合から係数 $g_i(a_1,\ldots,a_{n-1})$ はすべて $0$ である。$(a_1,\ldots,a_{n-1})$ は任意なので、帰納法の仮定から各 $g_i=0$ であり、$f=0$ となる。

$(xy)\subseteq I(V(xy))$ は明らかである。逆に $f\in k[x,y]$ が $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ で消えるとする。$f$ の単項式を、$x$ だけを含むもの、$y$ だけを含むもの、両方を含むもの、定数項に分けて
$$ f=c+x\,a(x)+y\,b(y)+xy\,h(x,y) $$
と書ける。$y$ 軸 $x=0$ 上で消えることから、一変数多項式 $c+y\,b(y)$ は $k$ の全点で消え、prop-affine-algebraic-set-infinite-field により $c=0$、$b=0$ である。$x$ 軸 $y=0$ 上で同様に $a=0$ を得る。したがって $f=xy\,h\in(xy)$ である。