収束

同義語：点列の収束convergence

概要

前提知識: 位相空間, 開集合, 近傍, 点列, 距離空間

定義

位相空間 $X$ の点列とは、自然数全体 $\mathbb{N}$ から $X$ への写像 $n\mapsto x_n$ のことであり、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ と書く（番号を $1$ から始めて $(x_n)_{n\ge1}$ と書くこともある）。点列そのものの定義と部分列などの操作は点列が扱い、本記事は点列が「近づく」という概念を扱う。

点列の収束と極限

$X$ を位相空間、$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列、$x\in X$ とする。$(x_n)$ が $x$ に収束する（converge）とは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対して、ある $N\in\mathbb{N}$ が存在し、$n\ge N$ なるすべての $n$ について $x_n\in V$ となることをいう。量化記号で書けば
$$ \forall V\in\mathcal{N}(x)\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\in\mathbb{N}\ \ \bigl(n\ge N\Longrightarrow x_n\in V\bigr) $$
である（$\mathcal{N}(x)$ は $x$ の近傍系）。このとき $x$ を $(x_n)$ の極限（limit）といい、$x_n\to x$（$n\to\infty$）または $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ と書く。ある番号以降のすべての $n$ で $x_n\in V$ となることを、点列が最終的に（eventually）$V$ に入るという。$X$ のある点に収束する点列を収束列といい、どの点にも収束しない点列は発散するという。

定義の「任意の近傍 $V$」は「任意の開近傍（$x$ を含む開集合）$U$」に置き換えてよい。実際、近傍 $V$ に対して $x\in U\subset V$ となる開集合 $U$ があり、点列が最終的に $U$ に入れば最終的に $V$ にも入るからである。同様に、$x$ の基本近傍系に属する近傍だけについて条件を確かめれば十分である。
極限の記号 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ は、極限が一意に定まる空間（prop-convergence-hausdorff）でのみ安全に使える。一般の位相空間では一つの点列が複数の点に収束しうる（ex-convergence-indiscrete、rem-convergence-counterexample-cofinite）ので、「$x$ は $(x_n)$ の極限の一つである」という言い方をする。

直感

収束とは、目標の点 $x$ のまわりにどれほど小さい「網」（近傍）を張っても、点列の尻尾（ある番号以降の項すべて）がその網に捕らえられることである。距離空間では網の大きさを半径 $\varepsilon$ で測り、「誤差 $d(x_n,x)$ がいくらでも小さくなる」という解析学の $\varepsilon$-$N$ 論法になる（prop-convergence-metric）。一般の位相空間には距離がないので、距離の代わりに近傍への包含関係だけで同じことを言い表す。位相が粗い（開集合が少ない）ほど近傍が大きく、収束しやすい。位相が細かい（開集合が多い）ほど収束しにくい。

例と反例

逆数の列と最終的に定数な列

通常の位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ で、$x_n:=1/(n+1)$（$n\in\mathbb{N}$）は $0$ に収束する。実際、$0$ の任意の近傍 $V$ はある開区間（区間）$(-\varepsilon,\varepsilon)$ を含み（開集合）、Archimedes の性質（Rud76 Theorem 1.20）により $1/(N+1)<\varepsilon$ となる $N$ がとれるので、$n\ge N$ ならば $0< x_n\le1/(N+1)<\varepsilon$、すなわち $x_n\in V$ である。
任意の位相空間 $X$ で、ある番号 $N$ 以降 $x_n=x$ となる点列（最終的に定数な列）は $x$ に収束する。$x$ の任意の近傍 $V$ について $x\in V$ なので $n\ge N$ ならば $x_n=x\in V$ だからである。とくに定数列 $(x,x,x,\dots)$ は $x$ に収束する。

離散位相での収束

集合 $X$ に離散位相（すべての部分集合が開集合）を入れる。このとき点列 $(x_n)$ が $x$ に収束することと、$(x_n)$ が最終的に定数 $x$ になることは同値である。実際、後者ならば前者であることは ex-convergence-reciprocal で見た。逆に $x_n\to x$ ならば、一点集合 $\{x\}$ は $x$ の開近傍なので、ある $N$ 以降 $x_n\in\{x\}$、すなわち $x_n=x$ である。離散位相は最も細かい位相であり、収束する点列が最も少ない。

密着位相での収束

集合 $X$ に密着位相 $\{\emptyset,X\}$ を入れる。任意の点 $x$ の近傍は $X$ だけなので、任意の点列 $(x_n)$ は $X$ の任意の点 $x$ に収束する。$X$ が二点以上をもてば、極限は一意でない。密着位相は最も粗い位相であり、収束する点列が最も多い。

反例：収束しない実数列

$\mathbb{R}$ の点列 $x_n:=(-1)^n$ はどの実数にも収束しない。もし $x_n\to x$ ならば、近傍 $(x-1/2,x+1/2)$ に最終的に入るので、十分大きい $n$ について $|x_n-x_{n+1}|<1$ となるはずだが、実際には $|x_n-x_{n+1}|=2$ である。この点列は「有界である」という性質を満たすが「収束する」という性質を満たさず、「有界ならば収束する」という含意を破る（逆向きの含意は prop-convergence-bounded により成り立つ）。

反例：補有限位相では極限が一意でない

無限集合 $X$ に補有限位相（開集合は $\emptyset$ と、補集合が有限な集合）を入れる。このとき、点列 $(x_n)$ が $x$ に収束するための必要十分条件は、$x$ と異なる各点 $y$ について $x_n=y$ となる $n$ が有限個しかないことである。
証明。$x_n\to x$ とし、$y\ne x$ とする。$X\setminus\{y\}$ は $x$ の開近傍なので、ある $N$ 以降 $x_n\ne y$ である。逆に条件が成り立つとし、$U$ を $x$ の開近傍とする。$X\setminus U=\{y_1,\dots,y_k\}$ は有限集合で $x$ を含まないので、各 $y_i$ について $x_n=y_i$ となる $n$ は有限個であり、それらすべてより大きい $N$ をとれば $n\ge N$ ならば $x_n\in U$ である。$\square$
したがって、項がすべて相異なる点列（たとえば $X=\mathbb{N}$ で $x_n:=n$）は $X$ のすべての点に収束する。補有限位相では一点集合が閉集合なので $X$ は T1空間であるが、Hausdorff空間ではない（空でない二つの開集合は必ず交わる）。この例は「$T_1$ である」という性質を満たすが「極限が一意である」という性質を満たさず、「$T_1$ ならば極限は一意」という含意を破る。極限の一意性には prop-convergence-hausdorff の Hausdorff 性が要る。

反例：補可算位相では極限は一意だが Hausdorff でない

非可算集合 $X$（たとえば $\mathbb{R}$）に補可算位相（開集合は $\emptyset$ と、補集合が高々可算な集合）を入れる。

$x_n\to x$ ならば、$(x_n)$ は最終的に定数 $x$ である。実際、$C:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N},\ x_n\ne x\}$ は高々可算なので $X\setminus C$ は $x$ の開近傍であり、ある $N$ 以降 $x_n\in X\setminus C$、すなわち $x_n=x$ である。したがって収束列の極限は一意である。
$X$ は Hausdorff でない。空でない二つの開集合 $U,V$ の補集合はどちらも高々可算なので、$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ も高々可算であり、$X$ が非可算だから $U\cap V\ne\emptyset$ である。
$X=\mathbb{R}$ で $A:=(0,1)$ とすると、$A$ の閉包は $\mathbb{R}$ である（閉集合は $\mathbb{R}$ と高々可算な集合だけであり、$A$ は非可算だから $A$ を含む閉集合は $\mathbb{R}$ のみ）。しかし $A$ の点列で $2\in\overline{A}$ に収束するものは存在しない（1 により収束列は最終的に定数であり、その値は $A$ の点だから）。
この例は「極限が一意である」という性質を満たすが「Hausdorff である」という性質を満たさず、「点列の極限が一意ならば Hausdorff」という含意を破る。また「閉包の各点は、その集合の点列の極限として得られる」という含意も破る。第1可算公理を満たす空間ではこの含意は成り立つが、それは十分条件であって必要条件ではなく、閉包が点列で捉えられる空間は Fréchet–Urysohn 空間と呼ばれ、第1可算でないものもある（列型空間）。一般の空間では点列の代わりにネットやフィルターを用いる必要がある。

性質

距離空間での収束の言い換え

$(X,d)$ を距離空間とし、その距離位相（開集合）で位相空間とみなす。点列 $(x_n)$ と点 $x$ について、次は同値である。

$x_n\to x$（def-convergence-sequence の意味）。
任意の $\varepsilon>0$ に対し、ある $N\in\mathbb{N}$ が存在して、$n\ge N$ ならば $d(x_n,x)<\varepsilon$ である。
実数列 $(d(x_n,x))_{n\in\mathbb{N}}$ が $\mathbb{R}$ の通常の位相で $0$ に収束する。

1 ⇒ 2：$\varepsilon>0$ に対し、開球 $B(x,\varepsilon)$ は $x$ を含む開集合（開集合）だから $x$ の近傍であり、ある $N$ 以降 $x_n\in B(x,\varepsilon)$、すなわち $d(x_n,x)<\varepsilon$ である。
2 ⇒ 1：$V$ を $x$ の近傍とする。$x\in U\subset V$ なる開集合 $U$ があり、距離空間の開集合の定義により $B(x,\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon>0$ がある。仮定 2 の $N$ をとれば、$n\ge N$ ならば $x_n\in B(x,\varepsilon)\subset V$ である。
2 ⇔ 3：$d(x_n,x)\ge0$ なので、$|d(x_n,x)-0|<\varepsilon$ と $d(x_n,x)<\varepsilon$ は同じ条件である。よって 2 は、実数列 $(d(x_n,x))$ に対する条件 2 を $\mathbb{R}$（距離 $|s-t|$）で述べたものにほかならず、上で示した 1 ⇔ 2 を $\mathbb{R}$ に適用すれば 3 と同値である。$\square$

Hausdorff空間では極限は一意

$X$ をHausdorff空間とする。すなわち、相異なる二点 $x\ne y$ に対し、$x$ の開近傍 $U$ と $y$ の開近傍 $V$ で $U\cap V=\emptyset$ となるものが存在するとする。このとき、$X$ の点列 $(x_n)$ が $x$ にも $y$ にも収束するならば $x=y$ である。とくに距離空間では収束列の極限はただ一つである。

$x\ne y$ と仮定し、交わらない開近傍 $U\ni x$、$V\ni y$ をとる。$x_n\to x$ よりある $N_1$ 以降 $x_n\in U$、$x_n\to y$ よりある $N_2$ 以降 $x_n\in V$ である。$n:=\max\{N_1,N_2\}$ とすると $x_n\in U\cap V=\emptyset$ となり矛盾する。よって $x=y$ である。距離空間が Hausdorff であることは、$x\ne y$ に対し $r:=d(x,y)/2$ とおくと三角不等式により $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ となることから従う。$\square$

この命題の逆「点列の極限がつねに一意ならば Hausdorff」は成り立たない（rem-convergence-counterexample-cocountable）。点列をネットに置き換えれば逆も成り立つ（ネット）。

連続写像は収束を保つ

$f\colon X\to Y$ を位相空間の間の連続写像とする。$X$ の点列 $(x_n)$ が $x$ に収束するならば、$Y$ の点列 $(f(x_n))$ は $f(x)$ に収束する。

$W$ を $f(x)$ の近傍とし、$f(x)\in V\subset W$ なる $Y$ の開集合 $V$ をとる。$f$ が連続なので逆像 $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合であり、$x\in f^{-1}(V)$ だから $f^{-1}(V)$ は $x$ の近傍である。$x_n\to x$ よりある $N$ 以降 $x_n\in f^{-1}(V)$、すなわち $f(x_n)\in V\subset W$ である。$\square$

逆に「$x_n\to x$ ならば $f(x_n)\to f(x)$」がすべての点列について成り立つ写像を点列連続といい、$X$ が第1可算公理を満たせば点列連続な写像は連続であるが、一般には成り立たない。この同値と反例は点列連続性が扱う。

収束列は有界

$(X,d)$ を距離空間とする。$X$ の部分集合 $A$ が有界であるとは、ある点 $a\in X$ と実数 $R>0$ について $A\subset B(a,R)$ となることをいい、点列 $(x_n)$ が有界であるとは、その値の集合 $\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ が有界であることをいう。$X$ の収束する点列は有界である。

$x_n\to x$ とする。prop-convergence-metric により、ある $N$ が存在して $n\ge N$ ならば $d(x_n,x)<1$ である。$R:=\max\{1,\ d(x_0,x)+1,\ \dots,\ d(x_{N-1},x)+1\}$ とおけば、すべての $n$ について $d(x_n,x)< R$、すなわち $\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}\subset B(x,R)$ である。$\square$

逆は成り立たない（rem-convergence-counterexample-alternating）。有界な実数列がつねに収束する部分列をもつこと（Bolzano–Weierstrassの定理）は点列で扱う。

次の事実はそれぞれ別の記事が所有し、証明もそこにある。

収束列の任意の部分列は同じ極限に収束する（点列）。したがって、二つの部分列が異なる極限をもつ点列は、Hausdorff 空間では収束しない。
位相空間 $X$ の部分集合 $A$ の点列が $x$ に収束するならば $x\in\overline{A}$ である（第1可算公理）。$X$ が第1可算ならば逆も成り立つが、これは十分条件にすぎない。閉包の各点を点列の極限として捉えられる空間は Fréchet–Urysohn 空間と呼ばれ（列型空間）、第1可算でないものもある。一般には逆は成り立たない（rem-convergence-counterexample-cocountable）。
距離空間の収束列は Cauchy列である。逆が成り立つ距離空間を完備距離空間という（Cauchy列）。

補足

実数列の極限の計算

$\mathbb{R}$ の点列（数列）については、prop-convergence-metric の $\varepsilon$-$N$ 条件が数列の極限の定義として通常採用される。$a_n\to a$、$b_n\to b$ ならば $a_n+b_n\to a+b$、$a_nb_n\to ab$、$b\ne0$ のとき $a_n/b_n\to a/b$ が成り立つ（証明は数列の極限および Rud76 Theorem 3.3 を参照）。極限は順序も保つ（$a_n\le b_n$ がすべての $n$ で成り立てば $a\le b$。証明は数列の極限を参照）。単調な実数列については、有界であることと収束することが同値である（点列）。

関数列の収束

集合 $D$ 上の実数値関数の列（関数列）$(f_n)$ が関数 $f$ に収束するという言い方には、少なくとも二通りの意味がある。各点 $t\in D$ ごとに実数列 $(f_n(t))$ が $f(t)$ に収束するとき $(f_n)$ は $f$ に各点収束するといい、
$$ \sup_{t\in D}|f_n(t)-f(t)|\to0\quad(n\to\infty) $$
が成り立つとき $(f_n)$ は $f$ に一様収束するという。一様収束は各点収束より強く（各 $t$ について $|f_n(t)-f(t)|\le\sup_{s\in D}|f_n(s)-f(s)|$ だから）、連続関数（連続写像）の一様極限は連続であるが、各点収束ではこの性質が保たれない（$[0,1]$ 上の $f_n(t)=t^n$ が典型例である。Rud76 Chapter 7）。各点収束は直積位相を入れた関数空間における点列の収束であり、有界関数の空間では、一様収束は上限距離 $d(f,g)=\sup_{t\in D}|f(t)-g(t)|$ に関する収束である。いずれも本記事の定義の特別な場合である。

ネットとフィルターへの一般化

点列は $\mathbb{N}$ で添字づけられているので、各点が可算個の近傍で「汲み尽くせる」空間（第1可算空間）では位相の多くの情報を点列で取り出せるが、一般の空間ではそうでない（rem-convergence-counterexample-cocountable）。添字集合を $\mathbb{N}$ から一般の有向集合に取り替えたものがネットであり、点列の代わりに近傍系の性質を抽象した集合族の収束を考えるのがフィルターである。ネットまたはフィルターを使えば、任意の位相空間で閉包・連続性・Hausdorff 性・コンパクト性（コンパクト空間）が収束の言葉で特徴づけられる。ネットとフィルターの収束の定義と、それらによる特徴づけはネット・フィルターが扱う。
本記事の記述はおおむね標準的な教科書 Mun00 §17・§21 および Mat68 第4章に従う。