Lie群とLie環の対応
概要
Lie群とLie環の対応（Lie group–Lie algebra correspondence）とは、単連結な Lie 群と有限次元の実 Lie 環が、群に単位元での接空間の Lie 環を、準同型にその微分を対応させることで 1 対 1 に対応するという定理である。部分 Lie 環にはそれを Lie 環にもつ連結な Lie 部分群がただ 1 つあり、単連結な群からの準同型は Lie 環の準同型から一意に作れ、どの有限次元実 Lie 環も単連結な Lie 群の Lie 環になる（Lie の第 3 定理）。こうして両者の圏は同値になり、連結な Lie 群は単連結な群を中心の離散部分群で割ったものとして得られる。
Lie 群 $G$ の単位元での接空間は括弧積をもち、Lie 環 $\mathfrak{g}$ になる。Lie 群の準同型は微分によって Lie 環の準同型を引き起こす。では逆に、Lie 環から群はどこまで取り戻せるだろうか。Lie群 の反例「Lie 環が同じでも群は違う」が示すように、$\mathbb{R}$ と円周 $S^1$、$\mathrm{SU}(2)$ と $\mathrm{SO}(3)$ は Lie 環が同型でも群としては違う。違いは基本群にあり、単連結な Lie 群に限れば、Lie 群と Lie 環は完全に対応する。これを Lie 群と Lie 環の対応（Lie group–Lie algebra correspondence、Lie 対応）という。
対応は次の 3 つの定理からなる。
- 部分 Lie 環には、それを Lie 環にもつ連結な Lie 部分群がただ 1 つある（thm-lc-subgroup）。
- 単連結な群の上では、Lie 環の準同型は Lie 群の準同型にただ 1 通りに持ち上がる（thm-lc-lift）。
- 有限次元の実 Lie 環はどれも、ある単連結な Lie 群の Lie 環である（Lie の第 3 定理、thm-lc-third）。
これらをまとめると、単連結な Lie 群の圏と有限次元の実 Lie 環の圏は同値になる（thm-lc-main）。連結な Lie 群は、単連結な群を中心の離散部分群で割ったものとして得られる（cor-lc-connected）。Lie 群の側 Lie 環の側 この記事の定理 連結な $G$ の上の準同型 微分 $\varphi_*$ 準同型は微分で決まる（thm-lc-unique） 連結な Lie 部分群 部分 Lie 環 thm-lc-subgroup 単連結な $G$ からの準同型 任意の準同型 thm-lc-lift 単連結な Lie 群の同型類 有限次元の実 Lie 環の同型類 thm-lc-main 連結な Lie 群 単連結な群の中心の離散部分群による商 cor-lc-connected
準備
Lie 群の Lie 環
Lie群 の記事は主に行列 Lie 群で議論したが、この記事では一般の Lie 群を扱う。
Lie 群 $G$ の上の左不変なベクトル場の全体を $\operatorname{Lie}(G)$ と書き、ベクトル場の Lie 括弧によって実 Lie 環とみる。これを $G$ の Lie 環といい、$\mathfrak{g}$ とも書く。$X\mapsto X_e$ は線形同型 $\mathfrak{g}\to T_eG$ である（Lie群 の注意「一般の Lie 群の Lie 環と指数写像」）。
Lie 群の準同型 $\varphi\colon G\to H$ に対し、$X\in\mathfrak{g}$ に $(\varphi_*X)_e=d\varphi_e(X_e)$ となる左不変なベクトル場 $\varphi_*X\in\mathfrak{h}$ を対応させる線形写像 $\varphi_*\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ を、$\varphi$ の誘導準同型（微分）という。
次の基本事実は、この記事では証明しない。
- $\varphi_*$ は Lie 環の準同型であり、$X$ と $\varphi_*X$ は $\varphi$ で対応するベクトル場（$d\varphi(X_g)=(\varphi_*X)_{\varphi(g)}$）である（Lee13 Theorem 8.44、p. 195）。連鎖律から $(\psi\circ\varphi)_*=\psi_*\circ\varphi_*$、$(\mathrm{id}_G)_*=\mathrm{id}_{\mathfrak{g}}$ である。
- $X\in\mathfrak{g}$ の積分曲線で $e$ を通るものはすべての時刻で定義され、$\exp X$ をその時刻 $1$ での値と定めると、$t\mapsto\exp(tX)$ は滑らかな準同型 $\mathbb{R}\to G$ で、$\exp\colon\mathfrak{g}\to G$ は滑らかであり、$0$ の近傍を $e$ の近傍へ微分同相に写す（Lee13 Proposition 20.5、p. 518、Proposition 20.8、p. 519）。
- 行列 Lie 群 $G\subset\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ では、$\operatorname{Lie}(G)$ は $X\mapsto X_I$ によって Lie群 の Lie 環 $T_IG$（括弧積は交換子 $XY-YX$）と同型であり、$\exp$ は行列の指数関数である（$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ について Lee13 Proposition 8.41、p. 193、その Lie 部分群について Theorem 8.46、p. 197。Lie群 の定理「1 径数部分群と Lie 環」）。
$G\times H$ の射影 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ の誘導準同型を並べた $X\mapsto(\mathrm{pr}_{1*}X,\mathrm{pr}_{2*}X)$ は (R1) により Lie 環の準同型 $\operatorname{Lie}(G\times H)\to\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$ で、単位元では $T_{(e,e)}(G\times H)=T_eG\oplus T_eH$ の恒等写像にあたるので同型である。以下 $\operatorname{Lie}(G\times H)=\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$ と同一視する。
Lie 部分群
Lie 群 $G$ の部分群 $H$ に Lie 群の構造が与えられ、包含写像 $\iota\colon H\to G$ が単射なはめ込み（はめ込みと埋め込み(可微分多様体)）であるとき、$H$ を $G$ の Lie 部分群という。$\iota_*$ は単射なので、$\operatorname{Lie}(H)$ を $\mathfrak{g}$ の部分 Lie 環 $\iota_*\operatorname{Lie}(H)$ と同一視する。
Lie 部分群の位相は $G$ からの相対位相と一致するとは限らない（ex-lc-counterexamples の 3 行目）。$H$ が $G$ の閉集合であることと、$\iota$ が埋め込みであることは同値である（Lee13 Theorem 7.21、p. 159）。
準同型は微分で決まる
Lie 群の準同型 $\varphi\colon G\to H$ と $X\in\mathfrak{g}$ について、$\varphi(\exp X)=\exp(\varphi_*X)$ である。
$\gamma(t):=\varphi(\exp tX)$ は滑らかな準同型 $\mathbb{R}\to H$ で、$\gamma'(0)=d\varphi_e(X_e)=(\varphi_*X)_e$ である。$\gamma(t+s)=\gamma(t)\gamma(s)$ を $s$ で微分して $s=0$ とおくと $\gamma'(t)=d(L_{\gamma(t)})_e\gamma'(0)=(\varphi_*X)_{\gamma(t)}$ である（左不変性）。よって $\gamma$ は $\varphi_*X$ の積分曲線で $\gamma(0)=e$ なので、積分曲線の一意性から $\gamma(t)=\exp(t\varphi_*X)$ であり、$t=1$ とすればよい。$\square$
$G$ を連結な Lie 群、$\varphi,\psi\colon G\to H$ を Lie 群の準同型とする。$\varphi_*=\psi_*$ なら $\varphi=\psi$ である。
- により $\exp(\mathfrak{g})$ は $e$ の近傍 $U$ を含む。$g=\exp X\in U$ なら、lem-lc-exp-natural から $\varphi(g)=\exp(\varphi_*X)=\exp(\psi_*X)=\psi(g)$ である。$G$ は連結なので $U$ の元の有限個の積で書ける（Lie群 の定理「連結な位相群は単位元の近傍で生成される」）。$\varphi$ と $\psi$ は準同型で $U$ の上で一致するので、$G$ 全体で一致する。$\square$
部分 Lie 環と連結な Lie 部分群
$G$ を Lie 群、$\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ を部分 Lie 環とする。$\operatorname{Lie}(H)=\mathfrak{h}$ となる連結な Lie 部分群 $H\subset G$ がただ 1 つある。$H$ は、分布 $D_g:=\{X_g\mid X\in\mathfrak{h}\}$ の葉層構造の、$e$ を含む葉である。
証明の要点は、$\mathfrak{h}$ の左不変なベクトル場が張る分布が包合的で、その葉が左移動で葉に移ることである。
証明を開く
段 1（包合的な分布）．$\mathfrak{h}$ の基底 $X_1,\dots,X_k$ をとる。$X\mapsto X_g$ は線形同型 $\mathfrak{g}\to T_gG$ なので、各点で $X_1,\dots,X_k$ は 1 次独立であり、$D$ はこれを局所枠にもつ階数 $k$ の分布である。$[X_i,X_j]\in\mathfrak{h}$ は $X_1,\dots,X_k$ の定数係数の 1 次結合なので、Frobeniusの定理 の補題「局所枠による判定」により $D$ は包合的である。
段 2（葉は部分群）．葉層構造 の定理「大域的な Frobenius の定理」により $D$ は葉層構造を定める。$e$ を含む葉を $H$ とする。左移動 $L_g$ は微分同相で、$dL_g(X_x)=X_{gx}$ なので $dL_g(D_x)=D_{gx}$ である。よって $L_g$ は $D$ の連結な積分多様体を連結な積分多様体に写す。$h\in H$ とすると、$L_{h^{-1}}(H)$ は $h^{-1}h=e$ を含む連結な積分多様体なので、同じ定理の 2 により $e$ を含む葉 $H$ に含まれる。すなわち $h^{-1}H\subset H$ であり、$e\in H$ から $h^{-1}\in H$、さらに $h^{-1}h'\in H$（$h'\in H$）となる。よって $H$ は部分群である。
段 3（Lie 群の構造）．写像 $H\times H\to G$、$(a,b)\mapsto a^{-1}b$ は、はめ込み $\iota$ と $G$ の演算の合成なので滑らかで、値は $H$ に入る。葉に値をとる滑らかな写像は葉への写像としても滑らかである（Lee13 Theorem 19.17、p. 500。葉層構造 の補足「葉への写像」）。よって $H$ は Lie 群で、$\iota$ は単射なはめ込みである。$T_eH=D_e=\{X_e\mid X\in\mathfrak{h}\}$ なので $\operatorname{Lie}(H)=\mathfrak{h}$ である。
段 4（一意性）．$H'$ を $\operatorname{Lie}(H')=\mathfrak{h}$ となる連結な Lie 部分群とする。$h\in H'$ で、左移動 $L_h$ は $H'$ の微分同相なので $T_hH'=dL_h(T_eH')=dL_h(D_e)=D_h$ である。よって $H'$ は $e$ を含む $D$ の連結な積分多様体であり、大域的な Frobenius の定理の 2 により $H$ の開部分多様体である。$H'$ は $H$ の開部分群なので、その補集合は開集合 $hH'$ の和集合で開であり、$H'$ は $H$ の開かつ閉な部分集合である。$H$ は連結なので $H'=H$ で、構造も一致する。$\square$
$H$ は $G$ の閉部分群とは限らない。トーラス $T^2$ の Lie 環 $\mathbb{R}^2$ の 1 次元部分 Lie 環 $\mathbb{R}(1,\alpha)$（$\alpha$ は無理数）に対応する Lie 部分群は、Lie群 の反例「像が閉でない 1 径数部分群」の稠密な直線である。閉部分群定理 の定理「閉部分群定理」は逆向きの主張で、閉部分群はつねに埋め込まれた Lie 部分群になる。
準同型の持ち上げ
持ち上げの構成では、求める準同型のグラフを先に部分群として作る。グラフから元の群への射影が同型であることを示すのに、次の補題と単連結性を使う。
$K$、$G$ を連結な Lie 群、$p\colon K\to G$ を Lie 群の準同型で $p_*$ が同型であるものとする。このとき $p$ は全射で滑らかな被覆写像であり、核 $\Gamma:=\ker p$ は $K$ の中心に含まれる離散部分群である。
証明を開く
局所微分同相．$dp_e$ は $p_*$ を $T_eK\to T_eG$ に移したものなので同型である。$p\circ L_k=L_{p(k)}\circ p$ を微分すると $dp_k=d(L_{p(k)})_e\circ dp_e\circ d(L_{k^{-1}})_k$ も同型であり、逆関数定理 により $p$ は局所微分同相である。
全射．$p(K)$ は $e$ の近傍を含む部分群なので、Lie群 の定理「連結な位相群は単位元の近傍で生成される」により $p(K)=G$ である。
核．$p$ が単射になる $e$ の開近傍 $V$ をとると $V\cap\Gamma=\{e\}$ である。$\gamma\in\Gamma$ なら $\gamma V\cap\Gamma=\gamma(V\cap\Gamma)=\{\gamma\}$ なので、$\Gamma$ は離散である。$\Gamma$ は正規部分群なので $k\mapsto k\gamma k^{-1}$ は連結な $K$ から離散な $\Gamma$ への連続写像であり、定数 $\gamma$ に等しい。よって $\Gamma$ は中心に含まれる。
被覆．$e$ の開近傍 $V'$ を $V'^{-1}V'\subset V$ となるようにとり、$p\vert_{V'}$ が開集合 $W:=p(V')$ への微分同相になるよう小さくする。$g\in G$ について $p(k)=g$ となる $k$ をとると $p^{-1}(gW)=\bigsqcup_{\gamma\in\Gamma}kV'\gamma$ である。実際、$p(x)=gp(v)$（$v\in V'$）なら $v^{-1}k^{-1}x\in\Gamma$ で $x\in kV'\gamma$ であり、逆は明らかである。$kv\gamma=kv'\gamma'$ なら $v'^{-1}v=\gamma'\gamma^{-1}$ であり、左辺は $V'^{-1}V'\subset V$ に、右辺は $\Gamma$ に属するので $e$ に等しく、$v=v'$、$\gamma=\gamma'$ である。各 $kV'\gamma$ は開集合で、$p$ はその上で $kv\gamma\mapsto g\,p(v)$ となり、$gW$ への微分同相である。$\square$
$G$、$H$ を Lie 群とし、$G$ は単連結（連結かつ基本群が自明）とする。Lie 環の準同型 $\phi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ に対し、$\Phi_*=\phi$ となる Lie 群の準同型 $\Phi\colon G\to H$ がただ 1 つある。
$\phi$ のグラフ $\mathfrak{k}:=\{(X,\phi X)\mid X\in\mathfrak{g}\}$ は $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}=\operatorname{Lie}(G\times H)$ の部分 Lie 環である（$[(X,\phi X),(Y,\phi Y)]=([X,Y],\phi[X,Y])$）。thm-lc-subgroup により、$\operatorname{Lie}(K)=\mathfrak{k}$ となる連結な Lie 部分群 $K\subset G\times H$ がある。$p:=\mathrm{pr}_1\vert_K\colon K\to G$ は Lie 群の準同型で、$p_*(X,\phi X)=X$ は同型である。lem-lc-covering により $p$ は被覆写像で、$K$ は連結、$G$ は単連結なので、被覆空間 の定理「基本群との関係」の 2 によりファイバーの濃度は $\pi_1(G)$ における部分群の指数 $1$ である。よって $p$ は全単射な局所微分同相、すなわち Lie 群の同型である。$\Phi:=\mathrm{pr}_2\circ p^{-1}\colon G\to H$ とおくと、$\Phi_*X=\mathrm{pr}_{2*}(X,\phi X)=\phi X$ である。一意性は thm-lc-unique による。$\square$
単連結な Lie 群 $G$、$H$ の Lie 環が同型なら、$G$ と $H$ は Lie 群として同型である。
同型 $\phi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ と $\phi^{-1}$ を thm-lc-lift で $\Phi\colon G\to H$、$\Psi\colon H\to G$ に持ち上げる。$(\Psi\circ\Phi)_*=\phi^{-1}\phi=\mathrm{id}$ なので、thm-lc-unique により $\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}_G$ であり、同様に $\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}_H$ である。$\square$
Lie の第 3 定理と対応の定理
有限次元の実 Lie 環 $\mathfrak{g}$ に対し、$\operatorname{Lie}(\tilde G)\cong\mathfrak{g}$ となる単連結な Lie 群 $\tilde G$ がある。
Ado–岩澤の定理（標数 $0$ の場合）により、$\mathfrak{g}$ はある $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$ の部分 Lie 環 $\mathfrak{g}'$ と同型である（証明は同記事の定理「標数 0 の Ado の定理」にあり、標数 $0$ の任意の体の上で示されているので $\mathbb{R}$ にそのまま当てはまる。FH91 Theorem E.4、pp. 500–503、Lee13 Theorem 8.49・Corollary 8.50、p. 199 も参照）。(R3) により $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})=\operatorname{Lie}(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}))$ なので、thm-lc-subgroup から $\operatorname{Lie}(G')=\mathfrak{g}'$ となる連結な Lie 部分群 $G'\subset\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ がある。$G'$ の普遍被覆群、すなわち単連結な Lie 群 $\tilde G$ と、滑らかな被覆写像でもある準同型 $\pi\colon\tilde G\to G'$ がある（Lee13 Theorem 7.7、p. 154）。被覆写像は局所微分同相なので $\pi_*$ は同型であり、$\operatorname{Lie}(\tilde G)\cong\mathfrak{g}'\cong\mathfrak{g}$ である。$\square$
$G\mapsto\operatorname{Lie}(G)$、$\varphi\mapsto\varphi_*$ は、単連結な Lie 群と Lie 群の準同型のなす圏から、有限次元の実 Lie 環と Lie 環の準同型のなす圏への関手であり、圏同値 を与える。すなわち
(R1) 単連結な $G$、$H$ について、$\varphi\mapsto\varphi_*$ は Lie 群の準同型 $G\to H$ の全体から Lie 環の準同型 $\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ の全体への全単射である。
(R2) 有限次元の実 Lie 環はどれも、ある単連結な Lie 群の Lie 環と同型である。
(R3) 単連結な Lie 群 $G$、$H$ が同型であることと、$\mathfrak{g}\cong\mathfrak{h}$ であることは同値である。
関手であることは rem-lc-facts の (R1) の連鎖律である。(R1) の全射は thm-lc-lift の存在、単射は thm-lc-unique である。(R2) は thm-lc-third、(R3) は cor-lc-iso と、同型が同型を引き起こすことによる。忠実充満で本質的に全射な関手は圏同値である（圏同値）。$\square$
$\mathfrak{g}$ を有限次元の実 Lie 環、$\tilde G$ を $\operatorname{Lie}(\tilde G)\cong\mathfrak{g}$ となる単連結な Lie 群とする。
(R1) $\operatorname{Lie}(G)\cong\mathfrak{g}$ となる連結な Lie 群 $G$ に対し、被覆写像でもある全射準同型 $p\colon\tilde G\to G$ があり、$\Gamma:=\ker p$ は $\tilde G$ の中心に含まれる離散部分群で、$G\cong\tilde G/\Gamma$ である。$\Gamma$ は $\pi_1(G)$ と同型である。
(R2) 逆に、$\tilde G$ の中心に含まれる離散部分群 $\Gamma$ について、$\tilde G/\Gamma$ は Lie 環が $\mathfrak{g}$ の連結な Lie 群である。
証明を開く
(R1)．同型 $\operatorname{Lie}(\tilde G)\to\operatorname{Lie}(G)$ を thm-lc-lift で $p$ に持ち上げる。lem-lc-covering から $p$ は全射な被覆写像で、$\Gamma$ は中心に含まれる離散部分群、とくに閉正規部分群である。$\tilde G/\Gamma$ は Lie 群で商写像は準同型であり（Lee13 Theorem 21.26、p. 555）、$p$ が引き起こす全単射な準同型 $\tilde G/\Gamma\to G$ は局所微分同相なので Lie 群の同型である。$\gamma\in\Gamma$ による右移動 $x\mapsto x\gamma$ は $p$ の被覆変換で、ファイバー $p^{-1}(e)=\Gamma$ に単純推移的に作用する。連結な被覆の被覆変換は 1 点の行き先で決まる（被覆空間 の定理「持ち上げの一意性」）ので、被覆変換群は $\Gamma$ と一致する。$p$ は普遍被覆なので、その被覆変換群は $\pi_1(G)$ と同型である（被覆空間 の節「性質」の普遍被覆の被覆変換群についての段落）。
(R2)．$\Gamma$ は離散なので閉で、中心に含まれるので正規であり、$\tilde G/\Gamma$ は Lie 群である（Lee13 Theorem 21.26）。$V\cap\Gamma=\{e\}$ となる $e$ の開近傍 $V$ と、$V'^{-1}V'\subset V$ となる $e$ の開近傍 $V'$ をとると、$\gamma\in\Gamma\setminus\{e\}$ について $xV'\gamma\cap xV'=\emptyset$ である（$xv\gamma=xv'$ なら $\gamma=v^{-1}v'\in V\cap\Gamma$）。よって $\Gamma$ の移動による作用は自由で固有不連続であり、商写像は 被覆空間 の命題「自由で固有不連続な作用から得られる被覆」により被覆写像で、局所微分同相なので Lie 環の同型を引き起こす。$\square$
中心でない離散な正規部分群は、連結な群にはない（lem-lc-covering の証明の「核」の段）。連結な Lie 群の分類（cor-lc-connected）を、中心の代わりに離散な正規部分群で述べた形は Lee13 Theorem 21.32（p. 557）にある。
例
$\mathrm{SU}(2)$ は 3 次元球面と同相で単連結であり、$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ である（SO(3)とSU(2) の注意「Lie 群の言葉での位置づけ」）。$\mathrm{SU}(2)$ の中心は $\{\pm I\}$ である（ユニタリ群 の定理「ユニタリ群の中心」の 2）。cor-lc-connected から、Lie 環が $\mathfrak{su}(2)$ と同型な連結な Lie 群は、同型を除いて $\mathrm{SU}(2)$ と $\mathrm{SU}(2)/\{\pm I\}\cong\mathrm{SO}(3)$ の 2 つだけである。後者の同型は二重被覆 $\mathrm{Ad}$ による（SO(3)とSU(2) の定理「二重被覆 $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$」）。
- 括弧積が $0$ の $n$ 次元 Lie 環に対応する単連結な群は $\mathbb{R}^n$ である。$\mathbb{R}^n$ は可換なので、離散部分群 $\Gamma$ はすべて中心に含まれ、商 $\mathbb{R}^n/\Gamma$ が連結な群の全体である。$\Gamma=\mathbb{Z}^n$ でトーラス $T^n$、$\Gamma=\mathbb{Z}^k\times\{0\}$ で $T^k\times\mathbb{R}^{n-k}$ が得られる。
- Lie群 の例「Heisenberg 群」の $H$ では $\exp$ が全単射で、$H$ は座標 $(a,b,c)$ により $\mathbb{R}^3$ と同相なので単連結である。よって $H$ は Heisenberg Lie 環 $\mathfrak{h}$ に対応する単連結な群である。積の式 $(a,b,c)(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab')$ から、中心は $\{(0,0,c)\}$ であり、$\Gamma:=\{(0,0,m)\mid m\in\mathbb{Z}\}$ は中心の離散部分群である。$H/\Gamma$ は Lie 環が $\mathfrak{h}$ の連結な群で、基本群が $\mathbb{Z}$ なので $H$ と同型でない。
$\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ は $\mathrm{SO}(2)\cong S^1$ を変位レトラクトにもち、基本群は $\mathbb{Z}$ である（極分解 の例「群ごとの分解」の 1。岩澤分解 からも分かる）。よって $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ に対応する単連結な群は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ ではなくその普遍被覆群 $\tilde G:=\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ である。被覆準同型を $\pi\colon\tilde G\to\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ とし、その核は $\pi_1\cong\mathbb{Z}$ と同型である（cor-lc-connected）。
主張． Lie 群の準同型 $\rho\colon\tilde G\to\mathrm{GL}_N(\mathbb{C})$ はすべて $\pi$ を経由する（$\rho=\rho'\circ\pi$）。とくに $\ker\rho\supset\ker\pi\ne\{e\}$ であり、$\tilde G$ は $\mathrm{GL}_N(\mathbb{C})$ や $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ のどの Lie 部分群とも同型でない。thm-lc-third の証明で普遍被覆群をとる段は省けない。
証明． $\pi_*$ は同型なので、$\rho_0:=\rho_*\circ\pi_*^{-1}\colon\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})\to\mathfrak{gl}_N(\mathbb{C})$ は Lie 環の準同型である。これを複素線形に $\psi(X+iY):=\rho_0X+i\rho_0Y$ と延ばすと、括弧積は双線形なので $\psi$ は $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$（実 Lie 環とみる）からの Lie 環の準同型である。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ は単連結であり（特殊ユニタリ群 の定理「$\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$ の極分解と $\mathrm{SU}(n)$」の 2）、Lie 環は $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$、$\mathrm{GL}_N(\mathbb{C})$ の Lie 環は $\mathfrak{gl}_N(\mathbb{C})$ である（Lee13 Proposition 8.48、p. 198 と rem-lc-facts の (R3)）。thm-lc-lift により $\Phi_*=\psi$ となる $\Phi\colon\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})\to\mathrm{GL}_N(\mathbb{C})$ がある。包含 $j\colon\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\to\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ について $(\Phi\circ j\circ\pi)_*=\psi\circ j_*\circ\pi_*=\rho_0\circ\pi_*=\rho_*$ である。$\tilde G$ は連結なので thm-lc-unique により $\rho=(\Phi\circ j)\circ\pi$ である。$\square$
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $G$ が連結（thm-lc-unique） | $\det\colon\mathrm{O}(2)\to\{\pm1\}$ と自明な準同型 | 微分が等しければ準同型も等しい |
| $G$ が単連結（thm-lc-lift） | $\operatorname{Lie}(S^1)\to\operatorname{Lie}(\mathbb{R})$ の恒等写像、$\mathfrak{so}(3)\to\mathfrak{su}(2)$ の同型 | 持ち上げの存在 |
| 部分群が閉 | $T^2$ の傾きが無理数の直線 | Lie 部分群の位相が相対位相であること |
| 単連結に限ること（cor-lc-iso） | $\mathbb{R}$ と $S^1$、$\mathrm{SU}(2)$ と $\mathrm{SO}(3)$ | Lie 環の同型から群の同型 |
| 普遍被覆群を許すこと（thm-lc-third） | $\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ | 単連結な群を行列群の中にとること |
各行の確かめを開く
1 行目：$\mathrm{O}(2)$ は連結でない（$\det$ が $\pm1$ の 2 つの成分をもつ）。$\{\pm1\}$ は 0 次元の Lie 群で Lie 環は $0$ なので、$\det$ と自明な準同型の微分はどちらも $0$ であるが、$\det$ は自明でない。連結な $\mathrm{SO}(2)$ に制限すると両者は一致し、thm-lc-unique と整合する。
2 行目：恒等写像 $\mathbb{R}=\operatorname{Lie}(S^1)\to\operatorname{Lie}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ が準同型 $\Phi\colon S^1\to\mathbb{R}$ に持ち上がったとすると、$\Phi(S^1)$ は $\mathbb{R}$ のコンパクトな部分群である。$t\ne0$ を含む部分群は $nt$（$n\in\mathbb{Z}$）を含んで有界でないので、$\Phi(S^1)=\{0\}$ であり、$\Phi_*=0$ となって矛盾する。同様に、$\mathrm{Ad}_*\colon\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{so}(3)$ の逆が $\Psi\colon\mathrm{SO}(3)\to\mathrm{SU}(2)$ に持ち上がったとすると、$(\Psi\circ\mathrm{Ad})_*=\mathrm{id}$ と thm-lc-unique から $\Psi\circ\mathrm{Ad}=\mathrm{id}$ となり、$\mathrm{Ad}(-I)=I$ に反する。$\mathrm{SO}(3)$ の基本群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である（SO(3)とSU(2) の定理「回転群の基本群」）。
3 行目：直線 $\varphi(t)=(e(t),e(\alpha t))$ の像は thm-lc-subgroup の部分群で、Lie 群としては $\mathbb{R}$ と同型であるが、$T^2$ で稠密で閉でない（Lie群 の反例「像が閉でない 1 径数部分群」）。相対位相では、像の点 $\varphi(0)$ のどの近傍も $\varphi(t)$（$\lvert t\rvert$ が大きい点）を含むので、$\varphi$ は像への同相写像でない。
4 行目：Lie群 の反例「Lie 環が同じでも群は違う」。$S^1$ と $\mathrm{SO}(3)$ は単連結でない。
5 行目：ex-lc-sl2。$\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$ は単連結だが、行列 Lie 群の Lie 部分群としては実現できない。
補足
Lie 自身は、多様体や単連結性の言葉がまだない時代に、Euclid 空間の開集合の上のベクトル場と局所的な群の作用について、この対応の局所版（Lie の基本定理）を示した（Lee13 Theorem 20.22、p. 532）。大域的な対応を述べるには、この記事のように Lie 部分群・被覆群・単連結性の言葉が要る。
対応は、群の問題を線形代数に移す標準的な道具である。たとえば連結な Lie 群 $G$ の連結な Lie 部分群 $H$ が正規部分群であることと、$\operatorname{Lie}(H)$ がイデアルであることは同値である（Lee13 Theorem 20.28、p. 535。この記事では証明しない）。行列群の具体的な構造（$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ の位相など）は 岩澤分解 や 極分解 で調べられる。
関連項目
参考文献
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