Sobolev空間の基本事項

$v$ と $w$ がともに $D^\alpha u$ ならば、$h:=v-w\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ は
$$ \int_\Omega h\varphi\,dx=0 $$
をすべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について満たす。非負の標準軟化子 $\rho$ を取り、$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$ とする。$x$ が境界から $\varepsilon$ より遠ければ、$y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ はテスト関数なので $(h*\rho_\varepsilon)(x)=0$ である。一方、軟化子近似により $h*\rho_\varepsilon\to h$ が任意の相対コンパクトな部分集合上で $L^1$ 収束する。したがって $h=0$ ほとんど至るところ、すなわち $v=w$ ほとんど至るところである。

有界性から $\eta u$ と右辺は $L^p(\Omega)$ に属する。任意の $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対して $\eta\varphi$ もテスト関数なので、弱微分の定義から
$$ \begin{aligned} \int_\Omega\eta u\,\partial_j\varphi\,dx &=\int_\Omega u\bigl(\partial_j(\eta\varphi)-(\partial_j\eta)\varphi\bigr)\,dx\\ &=-\int_\Omega(\partial_ju)\eta\varphi\,dx -\int_\Omega u(\partial_j\eta)\varphi\,dx. \end{aligned} $$
これは右辺の関数が $\eta u$ の $j$ 番目の弱偏微分であることを示す。

$(u_j)_j$ を $W^{k,p}(\Omega)$ のCauchy列とする。多重指数は有限個なので、各 $|\alpha|\leq k$ について $(D^\alpha u_j)_j$ は $L^p(\Omega)$ のCauchy列である。$L^p$ の完備性から、ある $v_\alpha\in L^p(\Omega)$ が存在して
$$ D^\alpha u_j\longrightarrow v_\alpha\quad\text{in }L^p(\Omega) $$
となる。特に $u_j\to v_0=:u$ が $L^p$ で成り立つ。
任意の $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、$L^p$ 収束は $\operatorname{supp}\varphi$ 上の $L^1$ 収束を含意する。$p<\infty$ ではHölderの不等式を、$p=\infty$ では台の有限測度を使えばよい。したがって極限を積分の中へ移して
$$ \int_\Omega uD^\alpha\varphi\,dx =\lim_{j\to\infty}\int_\Omega u_jD^\alpha\varphi\,dx =(-1)^{|\alpha|}\lim_{j\to\infty}\int_\Omega D^\alpha u_j\varphi\,dx =(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v_\alpha\varphi\,dx. $$
ゆえに $D^\alpha u=v_\alpha\in L^p$ であり、$u\in W^{k,p}(\Omega)$ である。各成分の $L^p$ 収束を有限和または有限個の最大値にまとめれば $u_j\to u$ がSobolevノルムで成り立つ。$p=2$ では表示した内積がこのノルムを与えるため、Hilbert空間である。