Radon–Nikodymの定理

要点：どちらも指示関数で確かめてから、単関数の線形性と単調収束定理で一般の非負関数へ広げる。

要点：2 が成り立たないとすると、$\mu(E_n)<2^{-n}$ で $\nu(E_n)\ge\varepsilon$ となる列がとれる。その上極限集合は $\mu$ では零集合だが、$\nu$ の測度は $\varepsilon$ 以上になる。

非負単関数 $g$ について $\int g\,d\nu\le\int g\,d\kappa$ であり、単調収束定理により非負可測関数 $g$ についても $\int g\,d\nu\le\int g\,d\kappa$ が成り立つ。$\kappa$ は有限なので、$f\in L^2(\kappa)$ について Cauchy–Schwarzの不等式 を $\lvert f\rvert$ と定数関数 $1$ に当てて
$$ \int\lvert f\rvert\,d\nu\le\int\lvert f\rvert\,d\kappa\le\kappa(X)^{1/2}\Bigl(\int\lvert f\rvert^2\,d\kappa\Bigr)^{1/2}<\infty $$
を得る。$\kappa$-零集合は $\nu$-零集合なので、$\kappa$-ほとんどいたるところ等しい関数の $\nu$ に関する積分は等しい。よって $\varphi(f):=\int f\,d\nu$ は実 Hilbert 空間 $L^2(\kappa)$（Lebesgue積分 の記事の命題「$L^1$ と $L^2$ の構造」）上の線形汎関数として定まり、上の不等式から有界である。Rieszの表現定理 の記事の定理「Rieszの表現定理」により、実数値の $b\in L^2(\kappa)$ で、すべての $f\in L^2(\kappa)$ について
$$ \int f\,d\nu=\int fb\,d\kappa $$
となるものがある。$f=1_E$（$\kappa$ が有限なので $L^2(\kappa)$ に属する）とおけば $\nu(E)=\int_Eb\,d\kappa$ である。
$E_-:=\{b<0\}$ とおくと $0\le\nu(E_-)=\int_{E_-}b\,d\kappa\le0$ なので、$\int_{E_-}(-b)\,d\kappa=0$ であり、Lebesgue積分 の記事の補題「零集合と積分」の 2 により $\kappa$-ほとんどいたるところ $1_{E_-}b=0$、すなわち $\kappa(E_-)=0$ である。$E_+:=\{b>1\}$ とおくと $\int_{E_+}(b-1)\,d\kappa=\nu(E_+)-\kappa(E_+)\le0$ であり、被積分関数は $E_+$ の上で正なので同様に $\kappa(E_+)=0$ である。$b$ を $E_-\cup E_+$ の上で $0$ に取り替えても $\int_Eb\,d\kappa$ は変わらず、$0\le b\le1$ となる。$\square$

有限測度の場合。 $\mu,\nu$ が有限とし、$\kappa:=\mu+\nu$ とおく。$\kappa$ は有限測度で $\nu\le\kappa$ なので、lem-rn-bounded により $0\le b\le1$ の可測関数 $b$ で $\nu=b\kappa$ となるものがある。値はすべて有限なので
$$ \mu(E)=\kappa(E)-\nu(E)=\int_E(1-b)\,d\kappa $$
であり、$\mu=(1-b)\kappa$ である。$N:=\{b=1\}$ とおくと $\mu(N)=\int_N0\,d\kappa=0$ であり、$\nu\ll\mu$ から $\nu(N)=0$ である。$x\notin N$ で $h(x):=b(x)/(1-b(x))$、$x\in N$ で $h(x):=0$ とおくと、$h$ は $[0,\infty)$ に値をとる可測関数である。$E\in\mathcal{S}$ について、prop-rn-indefinite-integral の 2 を $\mu=(1-b)\kappa$ に当て、$N$ の上では $1-b=0$ であることと $\nu(N)=0$ を使うと
$$ \int_Eh\,d\mu=\int_{E\setminus N}h\,(1-b)\,d\kappa=\int_{E\setminus N}b\,d\kappa=\nu(E\setminus N)=\nu(E) $$
となる。
σ-有限の場合。 $\mu$ と $\nu$ のそれぞれについて測度有限の集合による可算被覆をとり、それらの共通部分を並べて互いに交わらないように取り直すと、$X=\bigsqcup_kX_k$、$\mu(X_k)<\infty$、$\nu(X_k)<\infty$ となる。$\mu_k(E):=\mu(E\cap X_k)$、$\nu_k(E):=\nu(E\cap X_k)$ は有限測度で $\nu_k\ll\mu_k$ なので、有限測度の場合から $\nu_k=h_k\mu_k$ となる $h_k\colon X\to[0,\infty)$ がある。$h:=\sum_k1_{X_k}h_k$ とおくと、$\mu_k=1_{X_k}\mu$ と prop-rn-indefinite-integral の 2 から $\nu(E\cap X_k)=\int_E1_{X_k}h_k\,d\mu=\int_{E\cap X_k}h\,d\mu$ であり、$k$ について和をとれば（prop-rn-indefinite-integral の 1 の可算加法性）$\nu(E)=\int_Eh\,d\mu$ を得る。
一意性。 $h,h'$ がともに 1 を満たすとする。$\nu(X_k)<\infty$ となる $X_k$ について $F_k:=X_k\cap\{h>h'\}$ とおくと、$\int_{F_k}h\,d\mu=\nu(F_k)=\int_{F_k}h'\,d\mu$ はどちらも有限なので $\int_{F_k}(h-h')\,d\mu=0$ であり、被積分関数は $F_k$ の上で正なので $\mu(F_k)=0$ である。$k$ について和をとって $\mu(\{h>h'\})=0$ を得る。$h,h'$ を入れ替えれば $\mu(\{h'>h\})=0$ である。
可積分性。 $\int_Xh\,d\mu=\nu(X)$ なので、3 は明らかである。$\square$

$\mathcal{G}$ の上で $\nu(G):=\int_GZ\,dP$ とおくと、prop-rn-indefinite-integral の 1 により $\nu$ は $(\Omega,\mathcal{G})$ 上の有限測度で、$P|_{\mathcal{G}}$ に絶対連続である。thm-rn-main を可測空間 $(\Omega,\mathcal{G})$ 上の $\nu$ と $P|_{\mathcal{G}}$ に当てれば、$\mathcal{G}$-可測な $Y=d\nu/d(P|_{\mathcal{G}})\in L^1$ が得られ、一意性も同じ定理による。$\square$