四面体の体積と行列式

方針：どの規則も、def-vtd-det の 6 つの項がどんな形をしているかから出る。4 は 1 と 3 から出す。
段 1（1 を示す）。6 つの項はどれも、$\vec a$ の成分をちょうど 1 つ因数にもつ。$\vec a$ を $s\vec a+t\vec a'$ に替えると、たとえば第 1 項は $(sa_1+ta_1')b_2c_3=s\,a_1b_2c_3+t\,a_1'b_2c_3$ と 2 つに分かれる。6 つの項すべてで同じように分けて集めると、$s\det(\vec a,\vec b,\vec c)+t\det(\vec a',\vec b,\vec c)$ になる。$\vec b$、$\vec c$ の位置についても、各項が $\vec b$ の成分、$\vec c$ の成分をちょうど 1 つずつもつので同じである。
段 2（2 を示す）。$\vec a$ と $\vec b$ を入れ替えた $\det(\vec b,\vec a,\vec c)$ は、def-vtd-det の式で文字 $a$ と $b$ を入れ替えたものなので
$$ b_1a_2c_3+b_2a_3c_1+b_3a_1c_2-b_3a_2c_1-b_2a_1c_3-b_1a_3c_2 $$
である。掛け算の順番を並べ替えると、正の項は $a_2b_1c_3$、$a_3b_2c_1$、$a_1b_3c_2$ で、これらはもとの式の負の項である。負の項は $a_2b_3c_1$、$a_1b_2c_3$、$a_3b_1c_2$ で、もとの式の正の項である。よって $\det(\vec b,\vec a,\vec c)=-\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ である。ほかの 2 つの入れ替え（$\vec b$ と $\vec c$、$\vec a$ と $\vec c$）も、同じように正の項と負の項がそっくり入れ替わる。
段 3（3 を示す）。たとえば $\vec a=\vec b$ とする。2 から $\det(\vec a,\vec a,\vec c)=-\det(\vec a,\vec a,\vec c)$ である（入れ替えても同じ組だから）。$D=-D$ なら $2D=0$ なので $D=0$ である。ほかの 2 つが等しい場合も同じである。
段 4（4 を示す）。1 と 3 により
$$ \det(\vec a+t\vec b,\vec b,\vec c)=\det(\vec a,\vec b,\vec c)+t\det(\vec b,\vec b,\vec c)=\det(\vec a,\vec b,\vec c)+t\cdot0 $$
である。足す相手や足す場所がほかの組み合わせでも、同じ計算になる。
段 5（5 を示す）。$\vec a=(p,x,y)$、$\vec b=(0,q,z)$、$\vec c=(0,0,r)$ では $b_1=c_1=c_2=0$ である。def-vtd-det の 6 つの項のうち、$a_1b_2c_3=pqr$ 以外の 5 つの項は、$c_1$、$b_1$、$c_2$ のどれかを因数にもつ（$a_2b_3c_1$ と $a_3b_2c_1$ は $c_1$、$a_3b_1c_2$ と $a_2b_1c_3$ は $b_1$、$a_1b_3c_2$ は $c_2$）ので $0$ である。よって $\det=pqr$ である。$p=q=r=1$、$x=y=z=0$ とすると $\det(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)=1$ である。$\square$

方針：ex-vtd-slanted と同じ手順を文字で行う。底面 $\mathrm{OAB}$ の面積と、$\mathrm C$ から平面 $\mathrm{OAB}$ までの距離を、外積 $\vec n=\vec a\times\vec b$ で表す。
段 0（つぶれた場合）。$\mathrm O$、$\mathrm A$、$\mathrm B$ が一直線上にあれば、$\vec a$、$\vec b$ は 1 次従属で、空間ベクトルと1次独立 の定理「1 次独立と行列式」の証明の段 1 と同じく $\det(\vec a,\vec b,\vec c)=0$ である。このとき 4 点は同じ平面の上にあり、体積も $0$ である。以下、$\vec a$、$\vec b$ は平行でないとする。
段 1（法線ベクトル）。$\vec n=\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)$ とおく。$\vec n\cdot\vec a=0$、$\vec n\cdot\vec b=0$ で、$\vec a$、$\vec b$ が平行でないので $\vec n\ne\vec 0$ である（空間ベクトルと1次独立 の補題「行列式と外積の性質」の 3 と 5）。よって $\vec n$ は平面 $\mathrm{OAB}$ の法線ベクトルである。
段 2（底面積）。成分を展開して比べると
$$ \lvert\vec n\rvert^2=\lvert\vec a\rvert^2\lvert\vec b\rvert^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 $$
が成り立つ（Lagrange の恒等式。証明は 空間の平面と法線ベクトル の定理「外積の性質」の 3 にあり、de Guaの定理 では $n$ 次元の形で展開して示す）。三角形の面積の公式 の $S=\dfrac12\sqrt{\lvert\vec a\rvert^2\lvert\vec b\rvert^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}$ と合わせて、三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積は $S=\dfrac12\lvert\vec n\rvert$ である。
段 3（高さ）。平面 $\mathrm{OAB}$ は原点を通り法線ベクトルが $\vec n$ なので、その方程式は $\vec n\cdot\vec x=0$ である。点と平面の距離の公式（空間の平面と法線ベクトル の定理「点と平面の距離」）により、$\mathrm C$ からこの平面までの距離は
$$ h=\frac{\lvert\vec n\cdot\vec c\rvert}{\lvert\vec n\rvert} $$
である。
段 4（掛ける）。錐体の体積の公式に段 2・段 3 を代入すると
$$ V=\frac13Sh=\frac13\cdot\frac12\lvert\vec n\rvert\cdot\frac{\lvert\vec n\cdot\vec c\rvert}{\lvert\vec n\rvert}=\frac16\lvert\vec n\cdot\vec c\rvert $$
である。$\vec n\cdot\vec c=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ なので（空間ベクトルと1次独立 の補題「行列式と外積の性質」の 1）、$V=\dfrac16\lvert\det(\vec a,\vec b,\vec c)\rvert$ である。$\square$

方針：1 は四面体そのものが変わらないことから、2 は底面を面 $\mathrm{OBC}$ にとり、高さが変わらないことを法線ベクトルとの内積で確かめる（図 2）。
段 1（1 を示す）。並べ替えても、4 つの頂点 $\mathrm O$、$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ の集まりは同じなので、四面体も体積も同じである。
段 2（2 で、つぶれている場合）。$\mathrm O$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ が一直線上にあれば、$\mathrm A$ をどこに動かしても 4 点は同じ平面の上にあり、体積は動かす前も後も $0$ である。
段 3（2 で、つぶれていない面を底面にとる）。$\mathrm O$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ が一直線上にないとし、底面を三角形 $\mathrm{OBC}$ にとる。$\vec a$ を $\vec a'=\vec a+t\vec b$ に替えることは、頂点 $\mathrm A$ を $\mathrm A'$（$\overrightarrow{\mathrm{OA'}}=\vec a'$）に動かすことで、底面 $\mathrm{OBC}$ は変わらない。
段 4（高さが変わらない）。平面 $\mathrm{OBC}$ の法線ベクトルを $\vec m$ とすると、平面 $\mathrm{OBC}$ は原点を通るので、点 $\mathrm X$ からこの平面までの距離は $\dfrac{\lvert\vec m\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}\rvert}{\lvert\vec m\rvert}$ である（空間の平面と法線ベクトル の定理「点と平面の距離」）。$\vec b$ は平面 $\mathrm{OBC}$ の中の向きなので $\vec m\cdot\vec b=0$ であり、
$$ \vec m\cdot\vec a'=\vec m\cdot\vec a+t\,(\vec m\cdot\vec b)=\vec m\cdot\vec a $$
である。よって $\mathrm A'$ の高さは $\mathrm A$ の高さと等しい。底面積も高さも同じなので、$\dfrac13\times$ 底面積 $\times$ 高さ は変わらない。
段 5（ほかの組み合わせ）。1 つのベクトル $\vec u$ に別のベクトル $\vec w$ の実数倍を足すときは、残りの 2 つのベクトル（$\vec w$ を含む）で作る面を底面にとれば、段 3・段 4 と同じ議論になる。$\square$

方針：lem-vtd-slide と lem-vtd-det-rules により、「順番の並べ替え」と「1 つのベクトルに別のベクトルの実数倍を足す」の 2 つの操作では、体積 $V$ も行列式の絶対値 $\lvert\det\rvert$ も変わらない（並べ替えで行列式は符号が変わることがあるが、絶対値は変わらない）。この 2 つの操作をくり返して、3 つのベクトルを座標軸の上に並べ、ex-vtd-corner の形にする。
段 1（第 1 成分をそろえる）。$a_1$、$b_1$、$c_1$ がすべて $0$ なら、3 つのベクトルはどれも平面 $x=0$ の中にあり、4 点 $\mathrm O$、$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ はこの平面の上にあるので $V=0$ である。一方、def-vtd-det の 6 つの項はどれも $a_1$、$b_1$、$c_1$ のどれかを因数にもつので $\det=0$ で、主張は成り立つ。そうでなければ、並べ替えて $a_1\ne0$ とし、$\vec b$ を $\vec b-\dfrac{b_1}{a_1}\vec a$ に、$\vec c$ を $\vec c-\dfrac{c_1}{a_1}\vec a$ に替える。すると新しい $\vec b$、$\vec c$ の第 1 成分は $0$ になる。
段 2（第 2 成分をそろえる）。いま $\vec b=(0,b_2,b_3)$、$\vec c=(0,c_2,c_3)$ である。$b_2=c_2=0$ なら、$\vec b$ と $\vec c$ はどちらも $z$ 軸の上にあり、$\mathrm O$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ が一直線上にあるので $V=0$ である。このとき lem-vtd-det-rules の 5 で $q=0$ の場合にあたり $\det=0$ で、主張は成り立つ。そうでなければ、$\vec b$ と $\vec c$ を並べ替えて $b_2\ne0$ とし、$\vec c$ を $\vec c-\dfrac{c_2}{b_2}\vec b$ に替える。すると $\vec c=(0,0,c_3)$ になる。
段 3（上三角の形）。いま $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$、$\vec b=(0,b_2,b_3)$、$\vec c=(0,0,c_3)$ で、$a_1\ne0$、$b_2\ne0$ である。$c_3=0$ なら $\mathrm C=\mathrm O$ なので $V=0$ で、lem-vtd-det-rules の 5 により $\det=a_1b_2\cdot0=0$ で、主張は成り立つ。
段 4（座標軸の上に並べる）。$c_3\ne0$ とする。$\vec b$ を $\vec b-\dfrac{b_3}{c_3}\vec c=(0,b_2,0)$ に替え、次に $\vec a$ を $\vec a-\dfrac{a_3}{c_3}\vec c-\dfrac{a_2}{b_2}\vec b$ に替えると $(a_1,0,0)$ になる（いまの $\vec b$ は $(0,b_2,0)$ である）。3 つのベクトルは $(a_1,0,0)$、$(0,b_2,0)$、$(0,0,c_3)$ になった。
段 5（直角をもつ四面体）。段 4 の四面体は、3 本の辺が座標軸の上にあって互いに垂直で、長さは $\lvert a_1\rvert$、$\lvert b_2\rvert$、$\lvert c_3\rvert$ である。ex-vtd-corner と同じく、底面積 $\dfrac12\lvert a_1\rvert\lvert b_2\rvert$、高さ $\lvert c_3\rvert$ なので $V=\dfrac16\lvert a_1b_2c_3\rvert$ である（空間図形の計量 の命題「直角をもつ四面体の面積と高さ」の 1）。一方 lem-vtd-det-rules の 5 により $\det=a_1b_2c_3$ である。よって $V=\dfrac16\lvert\det\rvert$ が成り立つ。
段 6（もとに戻す）。段 1〜段 4 の操作で $V$ も $\lvert\det\rvert$ も変わらなかったので、もとの 3 つのベクトルでも $V=\dfrac16\lvert\det(\vec a,\vec b,\vec c)\rvert$ である。$\square$

方針：$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ などを $\vec a$ などの正の実数倍で書き、行列式の各行の 1 次性で倍率をくくり出す。
段 1（実数倍で書く）。$\mathrm P$ は半直線 $\mathrm{OA}$ の上にあるので、$s=\dfrac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}>0$ として $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec a$ である。同じく $t=\dfrac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}$、$u=\dfrac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OC}}$ として $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\vec b$、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=u\vec c$ である。
段 2（くくり出す）。lem-vtd-det-rules の 1 を $\vec a$ の位置、$\vec b$ の位置、$\vec c$ の位置で 1 回ずつ使うと
$$ \det(s\vec a,t\vec b,u\vec c)=s\det(\vec a,t\vec b,u\vec c)=st\det(\vec a,\vec b,u\vec c)=stu\det(\vec a,\vec b,\vec c) $$
である。
段 3（体積の比）。thm-vtd-volume により $V'=\dfrac16\lvert stu\det(\vec a,\vec b,\vec c)\rvert=stu\cdot\dfrac16\lvert\det(\vec a,\vec b,\vec c)\rvert=stu\,V$ である（$s,t,u>0$）。四面体 $\mathrm{OABC}$ はつぶれていないので $V>0$ で、両辺を $V$ で割れば主張が出る。$\square$

方針：$1\ge x\ge y\ge z\ge0$ の部分が四面体であることを、点を 3 つのベクトルの 1 次結合で表して示す。体積は thm-vtd-volume で求める。ほかの 5 つは座標の名前を入れ替えれば同じである。
段 1（1 次結合で表す）。$\vec u=(1,0,0)$、$\vec v=(1,1,0)$、$\vec w=(1,1,1)$ とおく。点 $(x,y,z)$ について
$$ (x-y)\vec u+(y-z)\vec v+z\vec w=(x-y+y-z+z,\ y-z+z,\ z)=(x,y,z) $$
である。係数 $s=x-y$、$t=y-z$、$u=z$ は、$x\ge y\ge z\ge0$ のときどれも $0$ 以上で、和は $s+t+u=x\le1$ である。逆に、$s,t,u\ge0$、$s+t+u\le1$ なら、$(x,y,z)=s\vec u+t\vec v+u\vec w=(s+t+u,\ t+u,\ u)$ は $1\ge x\ge y\ge z\ge0$ を満たす。
段 2（四面体である）。$s,t,u\ge0$、$s+t+u\le1$ を満たす点 $s\vec u+t\vec v+u\vec w$ の全体は、原点と $\vec u$、$\vec v$、$\vec w$ の終点を頂点とする四面体（の内部と表面）である（点の存在範囲と凸結合）。段 1 から、$1\ge x\ge y\ge z\ge0$ の部分はこの四面体である。
段 3（体積）。$\det(\vec u,\vec v,\vec w)$ の 6 つの項のうち $0$ でないのは $u_1v_2w_3=1\cdot1\cdot1=1$ だけである（$u_2=u_3=v_3=0$ なので、ほかの項は $u_2$、$u_3$、$v_3$ のどれかを因数にもつ）。よって $\det=1$ で、thm-vtd-volume により体積は $\dfrac16$ である。
段 4（6 つで立方体）。立方体のどの点でも、3 つの座標 $x$、$y$、$z$ を大きい順に並べる並べ方は少なくとも 1 つあるので、どれかの部分に入る。2 つの部分に同時に入るのは、2 つの座標が等しい点（平面 $x=y$、$y=z$、$z=x$ の上の点）だけで、そこは体積をもたない。6 つの部分の体積の和 $6\cdot\dfrac16=1$ は立方体の体積と一致する。$\square$