Rademacher関数

1 は $\lfloor2^nt\rfloor\equiv t_n\pmod 2$ から従う。2：整数 $N\ge1$ と実数 $x$ について $\lfloor x/N\rfloor=\lfloor\lfloor x\rfloor/N\rfloor$ なので、$t\in I_{m,k}$、$j\le m$ のとき $\lfloor2^jt\rfloor=\lfloor k/2^{m-j}\rfloor$ である。よって $t_j$ は $k$ の 2 進表示の下から第 $m-j$ 桁（最下位を第 $0$ 桁とする）であり、$k=\sum_{j=1}^mt_j2^{m-j}$ となる。これは $k$ の 2 進表示そのものなので全単射である。3 は 1 と 2 から従う。$\square$

$m:=n_k$ とおく。lem-rad-digits により、左辺の集合は、第 $n_1,\ldots,n_k$ 桁が指定された値（$\varepsilon_j=1$ なら $0$、$-1$ なら $1$）をとる $i$ に対する $I_{m,i}$ の和集合である。$\{0,1\}^m$ のうち $k$ 個の座標を指定した元は $2^{m-k}$ 個あり、各 $I_{m,i}$ の長さは $2^{-m}$ なので、測度は $2^{m-k}\cdot2^{-m}=2^{-k}$ である。
積 $r_{n_1}\cdots r_{n_k}$ は、上の集合の上で値 $\varepsilon_1\cdots\varepsilon_k$ をとる。よって
$$ \int_0^1r_{n_1}\cdots r_{n_k}\,dt=\sum_{\varepsilon\in\{\pm1\}^k}\varepsilon_1\cdots\varepsilon_k\,2^{-k}=2^{-k}\prod_{j=1}^k\bigl(1+(-1)\bigr)=0 $$
である。$\square$

$|r_n|=1$ なので $\|r_n\|_2=1$ である。$1\le m< n$ なら prop-rad-independent の $k=2$ の場合で $\langle r_m,r_n\rangle=\int r_mr_n=0$、$r_0=1$ との内積は $k=1$ の場合で $\int r_n=0$ である。これで 1 が示された。
2：$|u|=1$ なので $u\ne0$ である。$\langle u,r_0\rangle=\int r_1r_2=0$、$\langle u,r_1\rangle=\int r_1^2r_2=\int r_2=0$、$\langle u,r_2\rangle=\int r_1=0$ であり、$n\ge3$ なら $\langle u,r_n\rangle=\int r_1r_2r_n=0$ である（いずれも prop-rad-independent）。$u$ が $(r_n)$ の閉線形包 $R$ に入れば $u$ は自分自身に直交して $u=0$ となるので、$R\ne L^2(0,1)$ であり、$(r_n)$ は完全でない（Hilbert空間 の記事の定理「完全正規直交系の特徴づけとParsevalの等式」）。
3：$|r_ir_j|=1$ である。$\{i,j\}\ne\{i',j'\}$ なら $r_ir_jr_{i'}r_{j'}$ は $r^2=1$ で約分すると 2 個または 4 個の相異なる $r_n$（$n\ge1$）の積になり、積分は $0$ である。$r_ir_j$ と $r_n$ の内積も、$n=0$ なら $\int r_ir_j$、$n\ge1$ なら約分して 1 個または 3 個の相異なる $r$ の積の積分なので $0$ である。正規直交系 $\{r_ir_j\}$ は無限個の元をもつので、$R^\perp$ は無限次元である。$\square$

1：$s\in D_m$ と $n>m$ をとる。各 $I_{m,k}$ は長さ $2^{-n}$ の 2 進区間 $2^{n-m}$ 個（偶数個）に分かれ、$r_n$ はそこで $1$ と $-1$ を交互にとるので $\int_{I_{m,k}}r_n=0$ であり、$s$ は $I_{m,k}$ の上で定数だから $\int r_ns=0$ である。$g\in L^1$ と $\varepsilon>0$ について、lem-rad-dense により $\|g-s\|_1<\varepsilon$ となる $s\in D_m$ がある。$n>m$ なら
$$ \Bigl|\int_0^1r_ng\Bigr|\le\Bigl|\int_0^1r_ns\Bigr|+\int_0^1|r_n||g-s|<\varepsilon $$
である。
2：$1\le p<\infty$ のとき、$L^p(0,1)$ 上の連続線形汎関数はある $g\in L^{p'}(0,1)$ による $f\mapsto\int fg$ で表される（Lp空間の双対 の定理「$L^p$ の双対の表現定理（$1< p<\infty$）」と定理「$L^1$ の双対の表現定理」。$p'$ は共役指数）。区間の長さが有限なので $L^{p'}(0,1)\subset L^1(0,1)$ であり、1 から弱収束が従う。引いた表現定理は実数値の関数についてのものである。複素数値の $L^p(0,1)$ 上の連続線形汎関数 $\Phi$ については、実数値の関数に制限した $\operatorname{Re}\Phi$ と $\operatorname{Im}\Phi$ が実数値の $L^p(0,1)$ 上の連続線形汎関数なので、実数値の $g_1,g_2\in L^{p'}(0,1)$ で表され、$r_n$ は実数値だから $\Phi(r_n)=\int r_ng_1+i\int r_ng_2\to0$ である。$L^\infty$ の弱スター位相での収束は 1 そのものである。
3：$|r_n|=1$ から $\|r_n\|_p=1$ である。$n>n'$ とすると、prop-rad-independent（$n'\ge1$ のとき $k=2$、$n'=0$ のとき $k=1$）により $r_n\ne r_{n'}$ となる集合の測度は $1/2$ で、そこで $|r_n-r_{n'}|=2$、ほかで $0$ である。よって $\|r_n-r_{n'}\|_p^p=2^p/2$ である。
4：3 により、どの部分列も $L^p$（$p<\infty$）の Cauchy 列でない。$\|r_n-r_{n'}\|_\infty=2$ なので $p=\infty$ でも同じである。部分列 $r_{n_l}$ がほとんど至る所である関数 $f$ に収束したとすると、$|r_{n_l}|\le1$ なので優収束定理により $L^1$ で $f$ に収束し（優収束定理）、3 に反する。$\square$

展開すると $\int f^4=\sum_{i,j,k,l}a_ia_ja_ka_l\int r_ir_jr_kr_l$ である。$r_n^2=1$ で約分すると、積 $r_ir_jr_kr_l$ は、4 つの番号のうち奇数回現れるものについての相異なる $r$ の積になる。そのような番号があれば prop-rad-independent により積分は $0$ であり、なければ積は $1$ である。すべての番号が偶数回現れるのは、4 つが等しいとき（寄与 $\sum_na_n^4$）と、2 つずつ相異なる値に分かれるときである。後者は、4 つの位置を 2 組に分ける方法が 3 通りあり、各組に相異なる値 $i\ne j$ を順序をつけて割り当てるので、寄与は $3\sum_{i\ne j}a_i^2a_j^2$ である。$(\sum a_n^2)^2=\sum a_n^4+\sum_{i\ne j}a_i^2a_j^2$ と $a_n^4\le3a_n^4$ から不等式が従う。最後の等号は thm-rad-onb の正規直交性による。$\square$

$S_N:=\sum_{n=1}^Nr_n$ とおく。prop-rad-fourth で $a_n=1$ とすると $\int S_N^4=N+3N(N-1)\le3N^2$ である。よって
$$ \int_0^1\sum_{N=1}^\infty\Bigl(\frac{S_N}N\Bigr)^4dt=\sum_{N=1}^\infty\int_0^1\Bigl(\frac{S_N}N\Bigr)^4dt\le\sum_{N=1}^\infty\frac3{N^2}<\infty $$
である（非負の関数の級数なので、項別積分は 単調収束定理 による）。左辺の被積分関数はほとんど至る所で有限なので、その項 $(S_N/N)^4$ はほとんど至る所で $0$ に収束する。後半は、lem-rad-digits の 1 により $\frac1N\#\{n\le N:t_n=1\}=\frac12-\frac{S_N(t)}{2N}$ となることから従う。$\square$