Thom同型

要点：自明化を取り替えると $dt_1\wedge\cdots\wedge dt_n$ は $\det g(x)$ 倍と $dt$ の少ない項に分かれ、$\det g>0$ なので積分は変数変換で一致する。2 は $t$ 方向の微分の積分が台のコンパクト性で消えることによる。

要点：1 本の $\mathbb R$ について、積分が $1$ の山型関数 $e(t)$ による $\varphi\mapsto\pi^*\varphi\wedge e(t)dt$ が逆写像で、ホモトピー作用素を具体的に書ける。$\mathbb R^n$ は 1 本ずつ積分する。

開集合 $U\subset M$ について $E_U:=\pi^{-1}(U)$ とし、$\pi_*\colon H^\bullet_{cv}(E_U)\to H^{\bullet-n}(U)$ が同型であることを「$U$ で成り立つ」という。$U=\emptyset$ では両辺が $0$ なので成り立つ。
第 1 段：自明化の上．$E$ が $U$ の上で自明なら、$U$ が連結でなくても連結成分ごとに符号を調整して向きを保つ自明化 $E_U\cong U\times\mathbb R^n$ がとれ、ファイバーに沿った積分は $U\times\mathbb R^n\to U$ のものと一致する。lem-thom-poincare-cv により $U$ で成り立つ。$E$ が $U_i$ の上で自明なら、$U_i$ に含まれるどの開集合の上でも自明である。
第 2 段：Mayer–Vietoris の梯子．$U,U'\subset M$ を開集合とし、$\{\rho,\rho'\}$ を $U\cup U'$ 上の $U,U'$ に従属する 1 の分割とする。列
$$ 0\to\Omega^\bullet_{cv}(E_{U\cup U'})\to\Omega^\bullet_{cv}(E_U)\oplus\Omega^\bullet_{cv}(E_{U'})\to\Omega^\bullet_{cv}(E_{U\cap U'})\to0 $$
（最初の写像は制限の組、次は差 $(\omega,\omega')\mapsto\omega'-\omega$）は完全である。左と中央の完全性は形式の制限と貼り合わせによる（重なりで一致する $\omega,\omega'$ を貼り合わせた形式は、$U\cup U'$ のコンパクト集合 $K$ を $U$ 内のコンパクト集合 $K\cap\operatorname{supp}\rho$ と $U'$ 内の $K\cap\operatorname{supp}\rho'$ に分ければ、垂直コンパクト台をもつ）。右端の全射性を確かめる：$\tau\in\Omega^\bullet_{cv}(E_{U\cap U'})$ について、$\pi^*\rho'\,\tau$ を $E_U$ 上へ、$\pi^*\rho\,\tau$ を $E_{U'}$ 上へ $0$ で延ばすと $C^\infty$ 級で（$\operatorname{supp}\rho'$ は $U\cup U'$ の閉集合で $U'$ に含まれる）、垂直コンパクト台をもつ。実際、$U$ のコンパクト集合 $K$ について $K\cap\operatorname{supp}\rho'$ は $U\cap U'$ のコンパクト集合であり、$\operatorname{supp}(\pi^*\rho'\tau)\cap\pi^{-1}(K)\subset\operatorname{supp}\tau\cap\pi^{-1}(K\cap\operatorname{supp}\rho')$ はコンパクトである。$(-\pi^*\rho'\tau,\pi^*\rho\tau)$ の差は $\tau$ である。このことから、長完全列の連結準同型 $d^*$ は、$\tau$ が閉のとき、$E_U$ 上で $-d(\pi^*\rho'\tau)$、$E_{U'}$ 上で $d(\pi^*\rho\,\tau)$ となる大域的な閉形式の類を $[\tau]$ に対応させる。
$E$ 側の Mayer–Vietoris 完全列と、$U\cup U'$ の de Rham コホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列（次数を $n$ ずらす）を、$\pi_*$ を縦の写像として並べる：
$$ \xymatrix{ H^{q}_{cv}(E_{U\cup U'}) \ar[r] \ar[d]^{\pi_*} & H^{q}_{cv}(E_U)\oplus H^{q}_{cv}(E_{U'}) \ar[r] \ar[d]^{\pi_*\oplus\pi_*} & H^{q}_{cv}(E_{U\cap U'}) \ar[r]^{d^*} \ar[d]^{\pi_*} & H^{q+1}_{cv}(E_{U\cup U'}) \ar[d]^{\pi_*} \\ H^{q-n}(U\cup U') \ar[r] & H^{q-n}(U)\oplus H^{q-n}(U') \ar[r] & H^{q-n}(U\cap U') \ar[r]^{d^*} & H^{q-n+1}(U\cup U') } $$
ファイバーに沿った積分は局所的に定義されるので制限と可換であり、最初の 2 つの四角形は可換である。3 つ目は、prop-thom-fiber-integration の 2・3 から
$$ \pi_*d(\pi^*\rho\,\tau)=d\,\pi_*(\pi^*\rho\,\tau)=d(\rho\,\pi_*\tau) $$
（$E_U$ 上の $-d(\pi^*\rho'\tau)$ も同様）であり、右辺は底空間の側の $d^*[\pi_*\tau]$ の代表なので可換である。したがって $U$、$U'$、$U\cap U'$ で成り立てば、五項補題 により $U\cup U'$ でも成り立つ。
第 3 段：帰納法．$k$ についての帰納法で、「$E$ がそれぞれの上で自明な開集合 $W_1,\dots,W_l$（$l\le k$）の和で成り立つ」ことを示す。$k=1$ は第 1 段である。$A:=W_1\cup\cdots\cup W_k$、$B:=W_{k+1}$ とすると、$A\cap B=\bigcup_{i\le k}(W_i\cap B)$ は $E$ がそれぞれの上で自明な高々 $k$ 個の開集合の和なので、帰納法の仮定と第 1 段から $A$、$B$、$A\cap B$ で成り立ち、第 2 段により $A\cup B$ で成り立つ。$M=U_1\cup\cdots\cup U_N$ に当てはめればよい。$\square$

$\Phi$ を代表する閉形式を同じ記号で書く。$\pi_*\Phi$ は $M$ 上の閉 $0$ 形式、すなわち局所定数関数で、その値は定義から各ファイバーでの $\Phi$ の積分である。0 次の de Rham コホモロジーでは完全形式は $0$ しかないので、$[\pi_*\Phi]=1$ は関数として $\pi_*\Phi=1$ を意味し、1 が従う。$\Phi'$ の各ファイバーでの積分が $1$ なら $\pi_*\Phi'=1=\pi_*\Phi$ であり、$\pi_*$ が単射なので $[\Phi']=[\Phi]$ である。これが 2 である。3：射影公式（prop-thom-fiber-integration の 3）により $\pi_*(\pi^*a\wedge\Phi)=a\wedge\pi_*\Phi=a$ なので $\pi_*\circ\mathcal T=1$ であり、$\pi_*$ が同型なので $\mathcal T=\pi_*^{-1}$ である。$\square$

右辺の形式は閉で、ファイバー $E_x\oplus F_x$ の上では $\Phi(E)|_{E_x}$ と $\Phi(F)|_{F_x}$ の積であるから、$M$ のコンパクト集合 $K$ の上での台は 2 つのコンパクト集合のファイバー積に含まれ、垂直コンパクト台をもつ。$E_x\oplus F_x\cong\mathbb R^m\times\mathbb R^n$ の上の積分は Fubini の定理により $1\cdot1=1$ である。prop-thom-class の 2 により、右辺は $\Phi(E\oplus F)$ である。$\square$

$H(t,v):=tv$ は $\mathbb R\times E\to E$ の $C^\infty$ 級写像で、$H(0,\cdot)=s\circ\pi$、$H(1,\cdot)=\mathrm{id}_E$ である。de Rham コホモロジーのホモトピー不変性（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」）により $\omega-\pi^*s^*\omega=d\eta$ となる形式 $\eta$ がある。$M$ はコンパクトなので $\Phi$ はコンパクト台をもち、$\eta\wedge\Phi$ もコンパクト台をもつ。$d(\eta\wedge\Phi)=d\eta\wedge\Phi$（$\Phi$ は閉）なので、Stokes の定理により $\int_Ed\eta\wedge\Phi=0$ である。よって prop-thom-fiber-integration の 3・4 により
$$ \int_E\omega\wedge\Phi=\int_E\pi^*(s^*\omega)\wedge\Phi=\int_M\pi_*\bigl(\pi^*(s^*\omega)\wedge\Phi\bigr)=\int_Ms^*\omega\wedge\pi_*\Phi=\int_Ms^*\omega $$
である。$\square$

1：1 の分割で $E$ にファイバー計量 $|\cdot|$ をとる。$v$ をどこでも $0$ にならない切断とすると、$M$ がコンパクトなので $|v|\ge c>0$ となる $c$ がある。$\Phi$ の代表の台 $C$ はコンパクトなので、$C$ 上で $|\cdot|\le R$ となる $R$ がある。$\lambda> R/c$ をとると、切断 $\lambda v$ の像は $C$ と交わらないので $(\lambda v)^*\Phi=0$ である。$H(t,x):=t\lambda v(x)$ は零切断 $s$ と $\lambda v$ を結ぶ $C^\infty$ 級ホモトピーなので、ホモトピー不変性により $e(E)=s^*[\Phi]=(\lambda v)^*[\Phi]=0$ である。
2：$A\colon E\to E$、$v\mapsto-v$ とする。向きを保つ自明化の上で $A^*(\beta\wedge dt_1\wedge\cdots\wedge dt_n)=\beta(x,-t)\wedge(-1)^ndt_1\wedge\cdots\wedge dt_n$ なので、$\pi_*A^*\omega=(-1)^n\pi_*\omega$ である。$n$ が奇数なら $-A^*\Phi$ の各ファイバーでの積分は $1$ なので、prop-thom-class の 2 により $A^*\Phi=-\Phi$（コホモロジー類として）である。$A\circ s=s$ なので $e(E)=s^*\Phi=s^*A^*\Phi=-s^*\Phi=-e(E)$ となり、$e(E)=0$ である。$\square$